Цікаві завдання із тригонометрії

Цікаві завдання із тригонометрії

 Хочу показати різні способи розв’язування деяких цікавих завдань із тригонометрії. Одне з них розв’яжемо чисто алгебричним способом,   для розв’язування іншого покличемо на допомогу геометрію.

1.     Обчислити в радикалах

Запишемо очевидну рівність: . Перепишемо її в наступному вигляді:

 Використаємо наступні відомі формули тригонометрії:

 Звідси:

 Скоротивши на , отримаємо рівняння:

 Але , тому:

Зробимо заміну  і отримаємо рівняння:

Розв’язавши дане квадратне рівняння, отримаємо розв’язок:

  Враховуючи, що , отримаємо:

2.     Обчислити в радикалах .

Розглянемо рівнобедрений з кутами при основі Тоді Проведемо бісектрису (рис.1).

Рис.1

 Нехай основа трикутника , бічні сторони Тоді З іншого боку, За властивістю бісектриси трикутника:

 Тоді отримаємо рівняння:

 З за теоремою синусів:

 Поділимо рівняння  на вираз . Отримаємо рівняння:

 Розв’язавши його, отримаємо:

 Беремо додатний розв’язок:
 

 Звідси: