Тригонометричні рівняння

Тригонометричні рівняння

Бліц-опитування. Які рівняння називаються найпростішими тригонометричними рівняннями?Яка особливість розв’язку тригонометричних рівнянь?Внаслідок якої властивості тригонометричних функцій тригонометричні рівняння мають безліч розв’язків?

Встановіть відповідність «Рівняння - корені»

Встановіть відповідність «Рівняння - корені» {69 CF1 AB2-1976-4502-BF36-3 FF5 EA218861}1sinx=1 2x=(−1)nπ6+ πk, k∈Zс2cosx=−22x=±3π4+ 2πk, k∈Zі3sinx=0x= πk, k∈Zм4cosx=0x=π2+ πk, k∈Zя 5sinx=1x=π2+ 2πk, k∈Zт6cosx=1x= 2πk, k∈Zа 7tg x=−1x=− π4+ πk, k∈Zш8sinx=−1x=− π2+ 2πk, k∈Zл9cosx=−1x=π+ 2πk, k∈Zю10sinx=−22x=(−1)n+1π4+ πk, k∈Zб{69 CF1 AB2-1976-4502-BF36-3 FF5 EA218861}1с2і3м4я 5т6а 7ш8л9ю10б

Вправа «Чи знаєте Ви…?»

Історія появи назв основних тригонометричних функцій. Підготував учень 10-го класу Мовчан Ярослав

Тригонометрія виникла з практичних потреб людини. За її допомогою ще з давніх часів люди визначали відстань до недосяжних предметів складали географічні карти, здійснювали виміри землі та розрахунки у будівництві.

Історія тригонометрії бере початок у Стародавній Греції більш ніж 3000 років тому. Одним з найважливіших досягнень тих часів є визначення співвідношення катетів і гіпотенузі в прямокутних трикутниках, яке пізніше отримало назву теореми Піфагора.

Сучасний зміст і вид тригонометрії- це заслуга Леонарда Ейлера. Його трактат «Введення в аналіз нескінчених» (1748) містить визначення терміна «тригонометричні функції», яке еквівалентне сучасному. Визначення тригонометричних функцій на всій числовій прямій стало можливим завдяки дослідженням Ейлера не тільки допустимих негативних кутів, але і кутів більших за 3600. Саме він в своїх роботах вперше довів, що косинус і тангенс прямого кута негативні. Розкладання цілих ступенів косинуса і синуса теж стало заслугою цього вченого.  

Слово «тригонометрія» в перекладі з грецької означає «вимірювання трикутників». Термін «тригонометричні функції» ввів німецький математик Георг Клюгель (1739-1812), який визначив тригонометричні функції як відношення сторін трикутника.

Синус – латинський переклад арабського слова «джайб» - пазуха, виріз сукні. Це слово походить від індійського «джива» - тятива лука, хорда. Саме так називали синус в давньоіндійських математичних трактатах. Сучасне позначення sin вживали: Томас Сімпсону 1737-1750 роках. Леонард Ейлеру 1748-1753 роках. Д’Аламбер у 1754 році Жозеф Лагранж у 1774 році

Косинус – від латинського «компліментарі синус» ‒ додатковий синус. Цей термін ввів англієць Едмунд Гюнтер у 1620 році. Е. Гюнтер,Таблиця тригонометрії

Тангенс – у перекладі з латинської «дотичний». Тангенс, як тінь вертикальної жердини, був введений арабським математиком Абу-ль-Вафой у Х ст. – цей термін належить Е. Гюнтеру. В арабській математиці котангенс винайшов Ал-Баттані (ІХ ст.). Графік котангенса для першої чверті побудував Грегорі у 1668 році. Котангенс. Ал-Баттані, арабський астроном та математик. Джеймс Грегорі, шотландський математик та астроном

Цікавими є той факт, що поняття «тангенса» і «котангенса», як і перші таблиці цих величин, з’явились не внаслідок розгляду тригонометричного кола, а із вчення про сонячний годинник. У давнину час вивчали за сонячним годинником. Вивчаючи залежність довжини тіні будівлі від кута нахилу сонячних променів, математики винайшли дві нові тригонометричні функції.

Застосування тригонометрії у фізиці

Хвилі на морі мають форму, що нагадує синусоїду. І це не випадково, бо багато фізичних величин періодично змінюються і можуть бути описані за допомогою тригонометричних функцій. Коливання– найпоширеніша форма руху в навколишньому світі та техніці. Коливаються дерева, хвилі під дією вітру, поршні у двигуні автомобіля тощо.

x=𝐱тп𝐬𝐢𝐧⁡(𝛚𝟎+𝛗𝟎) Основні характеристики коливального руху-рівняння гармонічних коливаньx - зміщення точки від положення рівноваги на даний момент часуxтп- амплітуда (модуль найбільшого переміщення) φ – фаза коливань, яка визначає стан коливальної системи у будь-який момент часу        φ=ω0+ ψ.[ψ]-рад I –період (час одного повного коливання)Т-t/n, де n-число повних коливань. Кількість коливань за одиницю часу називають частотою.v-n/t, v-1/T- лінійна частота коливань[v]=1/с=1 Гц (Герц)

𝒔𝒊𝒏𝜶𝒔𝒊𝒏𝜷=𝒏𝟏𝒏𝟐де n1=1, n2≈1,33 − відповідно показники заломлення повітря і води, α−кут падіння, β−кут заломлення світла. Сила, що діє на рухому в магнітному полі заряджену частинку називають силою Лоренца. Вона пропорційна заряду частинки векторному добутку поля і швидкості руху частинки. F=qv. Bsin𝜶 - сила Лоренца, де q-заряд; v-швидкість заряду; В-магнітна індукція; 𝛼−кут між векторами 𝑣 та  𝐵 

Видимий рух Сонця відносно горизонту протягом дня також відбувається за законом синуса.

Презентацію приготувала учениця 10 класу Іваніченко Наталія. Біологія та тригонометрія

Крила птахів. Тіло дельфіна. Рухи у тваринному світі

Тіло змії рухаючись відтворює графік синусоїди.

Біоритми людиниІнтелектуальний ритм має період 33 дні. Емоційний ритм триває 28 днів . Фізичний ритм складає 23 дні.

Серцевий ритм. Електрокардіографії – ця формула являє собою комплексне алгебраїчно-тригонометричне рівняння, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів і 33 основних параметрів.

Як швидко вивчити значення sinα для кутів 𝟎𝟎,𝟑𝟎𝟎,𝟒𝟓𝟎, 𝟔𝟎𝟎,𝟗𝟎𝟎.  sin𝛂= 𝐧𝟐 де n – номер відповідного пальця: мізинець – 0; безіменний – 1; середній – 2; вказівний – 3; великий – 4.

Тригонометрія в спортіРухи стопи бігуна по твердій поверхні відтворюють графік функції y=|sinx|

Ресторан "Лос Манантіалес" у Мехіко створив мескиканский архітектор Фелікс Кандела

Залізнична станція в Реджо-Емілія,Італія

Виноробня у місті Логроньо провинції Ла-Риоха

Океанографічний парк у Валенсії

Дякую за увагу

Тригонометричні рівняння1.   sin𝑥4=−1 2.   tg3x − 3=0 3.   2cos𝑥5−𝜋3=3 4.   tg2x+3tgx −4=0 5.   2cosx+2=5sin2x 6.   cos3x+cos5x=0 7.   sin4x−sin2x=0 8.   cosx + sinx=0 9.   2sinxcosx+2−5𝑠𝑖𝑛2𝑥=0 

Яким би складним не було тригонометричне рівняння, розв’язати ми його зможемо за умови дотримання певних орієнтирів (рекомендацій). Звести тригонометричні функції до одного аргументу. Звести тригонометричне рівняння до однієї функції. В інших випадках переносимо всі члени рівняння в ліву частину і намагаємось розкласти на множники.

Домашнє завдання: ст. 111 теорія, повторити ст. 110 самостійна робота по варіантах, + для ДР та ВР №505(б), 506(а, б)

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ !