Цикл лекцій про видатних математиків

Публічні лекції

І лекція : Математика — наука про кількісні співвідношення і просторові форми дійсного світу (Фрідріх Енгельс,)

Слово «математика» походить від грецького слова μάθημα, що означає «наука, знання, вивчення», і грецького μαθηματικός, що означає «любов до пізнання», в підсумку приводить до більш вузького і технічного (прикладного) значення «математичне дослідження», яке використовувалося і в античні (класичні) часи. Зокрема, грецьке μαθηματική τέχνη, латиною ars mathematica, означає математичне мистецтво.

Математика виникла з давніх-давен з практичних потреб людини, її зміст і характер з часом змінювались. Від початкового предметного уявлення про ціле додатне число, від уявлення про відрізок прямої, як найкоротшу відстань між двома точками. Математика пройшла довгий шлях розвитку, перш ніж стала абстрактною наукою з точно сформованими вихідними поняттями і специфічними методами дослідження. Нові вимоги практики, розширюють обсяг понять математики, наповнюють новим змістом старі поняття.

Поняття математики абстраговані від якісних особливостей специфічних для кожного даного кола явищ і предметів. Ця обставина дуже важлива у застосуванні математики. Так, число 2 не має якогось певного предметного змісту. Воно може відноситися і до двох книг, і до двох верстатів, і до двох ідей. Воно добре застосовується і до цих і до багатьох інших об'єктів. Так само геометричні властивості кулі не змінюються від того, зроблено її зі сталі, міді чи скла. Звичайно, абстрагування від властивостей предмету збіднює наші знання про цей предмет і його характерні матеріальні особливості. В той же час саме це абстрагування надає математичним поняттям узагальненості, даючи можливість застосовувати математику до найрізноманітніших за природою явищ. Це означає, що одні й ті ж закономірності математики, один і той же математичний апарат можуть бути достатньо успішно застосовані до біологічних, технічних, економічних та інших процесів.

Розвиток математики опирається на писемність і вміння записувати числа. Напевно, стародавні люди спочатку висловлювали кількість шляхом малювання рисок на землі або видряпували їх на деревині. Стародавні інки, не маючи іншої системи писемності, представляли і зберігали числові дані, використовуючи складну систему мотузяних вузлів, так звані кіпу. Існувало безліч різних систем числення. Перші відомі записи чисел були знайдені в папірусі Рінда, створеному єгиптянами Середнього царства. Індійська цивілізація розробила сучасну десяткову систему числення, що включає концепцію нуля.

Абстрагування в математиці не є її винятковою особливістю, оскільки всілякі загальні поняття містять в собі деякий елемент абстрагування від властивостей конкретних речей. Але в математиці цей процес йде далі, ніж у природничих науках. У ній широко використовують процес абстрагування різних ступенів. Наприклад, поняття групи виникло внаслідок абстрагування від деяких властивостей чисел та інших уже абстрактних понять. У математиці специфічним є також метод одержання результатів. Якщо природознавець, доводячи будь-яке твердження, завжди використовує дослід, то математик доводить свої результати лише на основі логічних міркувань. Жодний результат у математиці не можна вважати доведеним, поки йому не дано логічного обґрунтування, хоч спеціальні досліди і підтвердили його. В той же час істинність математичних теорій перевіряється на практиці, але ця перевірка має особливий характер. Висуваються математичні теорії реальних явищ, а висновки з цих теорій перевіряються на досліді.

Однак зв'язки математики з практикою є ширшими, бо поняття математики: теореми, задачі, математичні теорії пов'язані із запитами практики. З часом ці зв'язки стають глибшими і різноманітнішими. Математику можна застосувати до вивчення будь-якого типу руху. Проте в дійсності її роль в різних галузях наукової і практичної діяльності неоднакова. Особливо великою є роль математики у вивченні тих явищ, для яких навіть значне абстрагування від їхніх специфічних якісних характеристик не змінює істотно притаманних цим явищам кількісних і просторових закономірностей. Наприклад, у небесній механіці тіла вважають матеріальними точками (тобто абстрагуються від реальності); обчислені таким способом рухи небесних тіл збігаються з дійсними рухами цих тіл. Користуючись математичним апаратом, можна не тільки дуже точно передобчислювати небесні явища (затемнення, положення планет тощо), але й за відхиленням істинних рухів від обчислених зробити висновок про наявність невидимих неозброєним оком небесних тіл. Саме так було відкрито планети Нептун (1846) і Плутон (1930). У зв'язку з бурхливим розвитком космічних польотів небесна механіка набула все більшого значення. Механіка і фізика стали, по суті, математичними науками. Менше, але все ж значне місце посідає математика в економіці, біології, медицині, лінгвістиці. Для цих наук особливого значення набула математична статистика. Якісна своєрідність явищ, що вивчаються, наприклад, у біології, настільки значна, що роль математичного аналізу при дослідженні їх поки що є підпорядкованою. Процес математизації наук, що почався з 18 ст., тепер набув винятково інтенсивного розвитку.

Історію математики вчені зазвичай поділяють на чотири періоди:

• період зародження математики як самостійної дисципліни — тривав приблизно до 6—5 століття до н. е. В цей період формувались поняття цілого числа і раціонального дробу, поняття відстані, площі, об'єму, створювались правила дій з числами та найпростіші правила для обчислення площ фігур і об'ємів тіл. Математика не мала ще форми дедуктивної науки, вона являла собою збірник правил для виконання певного роду дій. У всіх математичних текстах (єгипетських, вавилонських), що дійшли до нас, математичні знання викладалися саме в такій формі.

• період елементарної математики — тривав від 6—5 ст. до н. е. до середини 17 століття. В цей період на основі невеликої кількості вихідних тверджень — аксіом будувалася геометрія як дедуктивна наука. Математика перестала бути безіменною наукою. З історії математики відомі імена багатьох вчених давньої Греції (Фалес, Піфагор, Гіппократ Хіоський, Демокріт, Евдокс, Евклід, Архімед та ін.), Китаю (Чжан Цан, Ген Шоу-чан, Цзу Чун-чжі та ін.), Середньої Азії (Джемшід ібн-Масуд аль-Каші, Мухаммед бен-Муса аль Хорезмі та ін.), Індії і пізніше Західної Європи (Лодовіко Феррарі, Нікколо Тарталья, Джироламо Кардано, Сімон Стевін та ін.), що зробили значний вклад у математику.

• Третій період (середина 17 ст. — початок 20 ст.) — період дослідження змінних величин. Природознавство і техніка дістали новий метод вивчення руху і зміни — диференціальне числення та інтегральне числення. Створився ряд нових математичних наук — теорія диференціальних рівнянь, теорія функцій, диференціальна геометрія, варіаційне числення та ін., що значно розширили предмет і можливості математики. Велику роль у розвитку математики цього періоду відіграли й українські математики. Микола Лобачевський відкрив неевклідову геометрію, Михайло Остроградський зробив визначні відкриття в механіці, математичному аналізі, математичній фізиці, Пафнутій Чебишов поклав початок новому напряму в теорії функцій, зробив значні відкриття в теорії чисел, теорії ймовірностей, механіці, наближеному аналізі. До цього ж періоду відноситься діяльність таких видатних вчених, як Олександр Ляпунов, Андрій Марков (старший), Георгій Вороний та багатьох інших.

• Четвертий період — період сучасної математики — характеризується свідомим і систематичним вивченням можливих типів кількісних співвідношень і просторових форм. У геометрії вивчається вже не лише тривимірний простір, а й ін. подібні до нього просторові форми. Характерними напрямами розвитку математики цього періоду є теорія множин, функціональний аналіз, математична логіка, сучасна алгебра, теорія ймовірностей, топологія тощо.

З 17 століття розвиток математики істотною мірою взаємокоординується з розвитком фізики, механіки, низки технічних дисциплін, зокрема гірництва. Математика широко застосовується, наприклад, для складання та опрацювання математичних моделей. Цікава математика: числовий ряд Фібоначчі

Леонардо з Пізи, відомий як Фібоначчі, був першим з великих математиків Європи пізнього Середньовіччя. Будучи народженим у Пізі в багатій купецькій сім’ї, він прийшов у математику завдяки суто практичної потреби встановити ділові контакти. У молодості Леонардо багато подорожував, супроводжуючи батька в ділових поїздках. Під час таких поїздок він багато спілкувався з місцевими вченими.

Числовий ряд, що носить сьогодні його ім’я, виріс із проблеми з кроликами, яку Фібоначчі виклав у своїй книзі «Liber abacci», написаної в 1202 році:

Людина посадив пару кроликів у загін, оточений з усіх боків стіною. Скільки пар кроликів за рік може справити на світ ця пара, якщо відомо, що кожен місяць, починаючи з другого, кожна пара кроликів створює на світ одну пару?

Можете переконатися, що кількість пар в кожен з дванадцяти наступних місяців  буде відповідно

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Іншими словами, число пар кроликів створює ряд, кожен член в якому – сума двох попередніх. Він відомий як ряд Фібоначчі, а самі числа – числа Фібоначчі. Виявляється, ця послідовність має безліч цікавих з точки зору математики властивостей. Ось приклад: ви можете розділити лінію на два сегменти, так що співвідношення між більшим і меншим сегментом буде пропорційно співвідношенню між всією лінією і великим сегментом. Цей коефіцієнт пропорційності, приблизно рівний 1,618, відомий як золотий перетин. В епоху Відродження вважалося, що саме ця пропорція, дотримана в архітектурних спорудах, найбільше радує око. Якщо ви візьмете послідовні пари з ряду Фібоначчі і будете ділити більше число з кожної пари на менше, ваш результат буде поступово наближатися до золотого перетину.

З тих пір як Фібоначчі відкрив свою послідовність, були знайдені навіть явища природи, в яких ця послідовність, схоже, грає важливу роль. Одне з них – филлотаксисом (листорозміщення) – правило, за яким розташовуються, наприклад, насіння в суцвітті соняшнику. Насіннячка впорядковані в два ряди спіралей, один з яких йде за годинниковою стрілкою, інший проти. І яке ж число насінин у кожному випадку? 34 і 55.ологічних процесів.

Вивчення об'єктів у математиці відбувається за допомогою аксіоматичного методу: спочатку для досліджуваних об'єктів формулюється список аксіом і вводяться необхідні означення, а потім з аксіом за допомогою логічних правил виведення одержують цінні теореми.

ІІ лекція : Михайло Васильович Остроградський народився 24 вересня 1801 року в селі Пашенна (Пашенівка) Кобеляцького повіту Полтавської губернії. Це нащадок козацько-старшинського, згодом дворянського роду на Полтавщині, що походить від Матвія Остроградського, миргородського полкового судді. 

До восьми років Михайло ріс серед селянських дітей, знав багато пісень, мав пристрасть до різного роду вимірювань та обчислень, цікавився різними механізмами. 1809 року хлопця, котрий мав неабияку фізичну силу, помістили в пансіоні при полтавській гімназії, в «будинку виховання бідних дворян». Зауважимо, що його вихователем був Іван Петрович Котляревський. Мабуть, тому Михайлові хотілося стати військовим, адже сам Іван Петрович був у минулому хоробрим офіцером…

         Гімназії Михайло не закінчив, у математиці надто не відзначався, і батьки вирішили віддати його до одного з гвардійських полків у Петербург. Але по дорозі, в Чернігові, він зустрівся з братом матері, який став наполягати, щоб Михайла віддали до Харківського університету. Це вирішило долю майбутнього вченого. Помістили хлопця на квартирі викладача університету професора Павловського. Саме він пробудив у Михайла любов до математики. А ще більший вплив на формування його поглядів та наукових інтересів зробили лекції математика й видатного мислителя професора Тимофія Федоровича Осиповського, згодом ректора Харківського університету.

      1818 року Михайло Остроградський блискуче складає екзамени за трирічний курс університету і отримує атестат. Наступного року він витримує ще одні іспити за університетський курс, з тим, щоб (за новими правилами) отримати ступінь кандидата наук.

Хоча ректор Осиповський і присудив Михайлові ступінь кандидата, через різні бюрократичні перепони йому довелося складати іспити і третій раз. Проте він їх склав у 1820 році блискуче. Але викладач філософії Дудрович, ревний прихильник ідеалізму, написав на Остроградського донос, ніби той не відвідував лекцій з філософії, не слухав викладів християнських наук. Наслідком цього стало те, що міністр освіти та релігійних віросповідань, крайній реакціонер, князь Голіцин звелів відібрати в Остроградського диплом про закінчення університетського курсу.

Обурений таким свавіллям, Остроградський повертає атестат у ректорат і вимагає викреслити його прізвище з усіх списків університету.

І повернувся він у Пашенну без будь-якого документа про закінчення навчання. Це був тяжкий удар долі, але любов до математики перемогла. Михайло вирішує покинути Росію і в серпні 1820 року переїздить до Парижа. Тут він знайшов те, що шукав. Тут викладали найвидатніші вчені-математики Лаплас, Коші, Пуасон, Лежандр, Ампер, Пуансо… На Остроградського звернув увагу сам Лаплас. Вже 1825 року Коші, не приховуючи свого захоплення, писав: «…Остроградський, обдарований великою проникливістю і гарний знавець аналізи нескінченно малих… дав нове доведення формул, уміщених мною в 19-му зошиті…»

До речі, Михайла так і називали — лицарем нескінченно малих величин. Такому визнанню певно міг позаздрити не один математик. Але життя молодого вченого в Парижі було тяжким. Через фінансову скруту він навіть потрапив до в’язниці. А визволив його звідти не хто інший, як сам Огюстен Коші, незважаючи на свої скромні статки.

Таке визнання авторитетами давало можливість молодому вченому влаштуватися на роботу. Деякий час за рекомендацією Коші, Остроградський викладає математику, очолює математичну кафедру в популярному тоді коледжі Генріха IV. 5 березня 1827 року помер Лаплас. Останні його слова, сказані Остроградському: «Те, що ми знаємо, — ніщо порівняно з безмежжям непізнаного». Учений сприйняв їх як заповіт. Але життя в Парижі ставало дедалі важчим. Він відчував душевну порожнечу і самоту. І 1828 року Остроградський з великими пригодами повертається в Росію, до Петербурга.

Загалом над Михайлом ніби навис якийсь фатум. Постійні невдачі. Скажімо, їхав з Парижа — обікрали, їхав до Парижа — обікрали. В Парижі потрапив під час повстання на барикади — поруч розірвався снаряд, і він втратив око. На противагу життєвим незгодам Остроградський мав значні успіхи в математиці…

Позитивні рекомендації з Парижа, добрі відгуки на подані до Академії наук мемуари (наукові праці) сформували думку, що Остроградський «…не може не бути вельми сприятливим для інтересів Академії». Тож 17 грудня 1828 року його обирають ад’юнктом прикладної математики, 1830 року — екстраординарним, а 1832 року — ординарним членом Російської Академії наук.

Остроградський, окрилений успіхами, багато працює як науковець і педагог. У 1828 році він читає лекції в Морському кадетському корпусі, в 1830-му працює в Інституті інженерів зв’язку, а в 1832 році його запрошують викладати в Головному педагогічному інституті. Він стає постійним дорадником та наглядачем над навчанням математики в усіх навчальних військових школах. І всюди засвідчували його недосяжні успіхи на терені математики, ставили його поряд з видатними математиками світу. Ось відгук одного з колег: «Щаслива здатність зі швидкістю блискавки зближувати найвіддаленіші речі, запаморочлива вершина, з якої він оглядає широчезні горизонти аналізу, дають йому повну можливість бачити найкоротші шляхи, що ведуть до поставленої мети. Як людина, що володіє досконало своїм предметом, він, здається, жартує, а не працює і для своїх вихованців не шкодує ні часу, ні сил».

Остроградський був палким пропагандистом знань, прекрасним лектором. Він мав дивовижний талант викладати складні положення науки просто, ясно. Лекції Остроградського слухали не лише студенти, а й широка аудиторія.

В педагогіці Остроградський вважав невід’ємним атрибутом навчання дітей практику. Він писав: «Дайте в руки дітям інструменти… дитина мусить сама провадити основні досліди з хімії, математики, астрономії, використовуючи все, що є під рукою… Коли ж діти поступово навчаться користуватися сокирою, молотком, пилкою, рубанком, коли ж вони навчаться виготовляти нескладні геометричні фігури, апарати для астрономічних, механічних спостережень, настане час дати в руки їм компас та рейсфедер…».

За своє життя Остроградський опублікував понад 100 наукових праць, написав понад 60 наукових рецензій на різні роботи, зокрема і на роботи Миколи Лобачевського. Критерієм цінності наукових праць Остроградський вважав практичне впровадження. І сьогодні можна назвати мало кого з видатних математиків світу, чиє ім’я так широко вживалося б у математиці та механіці, як ім’я Остроградського. Ось лише неповний перелік: «метод Остроградського» — відділення раціональної частини невизначеного інтегралу; «рівняння Остроградського», «формула Остроградського» (в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними), «формула Остроградського» для перетворення об’ємного інтегралу в поверхневий; «принцип Остроградського-Гамільтона» — одна з найбільших вершин теоретичної фізики; «рівняння Остроградського-Якобі», а ще важливі формули в теорії наближених обчислень та теорії ймовірностей.

Наукові досягнення Остроградського високо оцінили сучасники. Його було обрано членом Академії наук у Нью-Йорку, членом Турінської Академії наук. Національної Академії деї Лінчеї в Римі, членом-кореспондентом Паризької Академії наук, він був почесним членом багатьох наукових товариств.

Кілька слів про його особисте життя. Остроградський був одружений. Мав сина. З плином часу все більше жалкував, що син не пішов шляхом батька, не став ані вченим, ані інженером. За це докоряла йому і дружина Марія Василівна. В 1857 році й вона не витримала постійної зайнятості чоловіка — покинула його зі словами: «… Будь вона проклята, ваша наука. В усьому винні Ви. Прощавайте». А син Віктор Михайлович вже після смерті батька, хворий, без шматка хліба помер у полтавському будинку для безпритульних дворян.

Особисте життя вченого не можна назвати щасливим. Наука в нього була справді на першому місці. Долі українських вчених дуже подібні, майже всі вони не належали своїй Вітчизні і творили наукову славу чужих держав. Але чи переймався родинними почуттями до України Михайло Остроградський?

Так, він був щирим українцем. Щороку їздив на село, де з усіма спілкувався лише українською мовою. Любив дітей, охоче грався з ними, ходив колядувати та щедрувати. Був у доброму знайомстві з родиною композитора Миколи Лисенка. Мешкаючи в Петербурзі, Михайло Васильович Остроградський входив до кола друзів українського генія Тараса Шевченка.. Познайомив їх у 1837 році Жуковський і відтоді їх єднала щира дружба, Тарас Шевченко виявив себе не тільки геніальним поетом. Він цікавився і суспільними науками, й точними — астрономією, математикою і фізикою. Під час навчання в Петербурзькій Академії мистецтв Шевченко відвідував лекції Остроградського. Про це він згадує у повісті «Художник» (1861): «Я лично знал гениального математика нашего Остроградского (а математики вообще люди неувлекающееся), с которым мне случалось несколько раз обедать вместе…» В «Журналі» 1857 року також є згадка про їхні приязні стосунки: «От Н.Д. Серова мы с Семеном (тобто Гулаком-Артемовським) переехали к М.В. Остроградскому. Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго отлучившегося своего семьянина. Спасибо ему. Остроградский с семейством едет на лето в Малороссию. Принял бы, говорит, и Семена со мной, но боится, что в Полтавской губернии сала не хватит на его довольствие…».

Їх єднала любов до рідної землі, її мови, пісні та думки про визволення українського народу, бо й вони обидва зазнали великих утисків з боку царської влади.

Повернувшись із заслання, Тарас Шевченко зустрівся з Остроградським, читав свої вірші. По щоках в обох текли сльози і Тарас Григорович мовив до господаря: «Дайте волю своїм кріпакам, Михайлк Васильовичу». «Я вже це вирішив», — була відповідь.

Годинами просиджував Остроградський біля хворого поета. Розумів: катастрофа неминуча. Смерть Шевченка, розправа в Росії над освіченими людьми, особиста невлаштованість — все це боляче ранило душу. Михайло Остроградський вирішує їхати в Україну, виконати заповіт перед Поетом — відпустити кріпаків на волю і присвятити своє життя освітянській роботі, вихованню дітей. «Нудьга, — говорив він, — це найнебезпечніша отрута», «людину воднораз трудно вивести із стану лінивства, неробства, самовдоволення і майже повної байдужості».

Останні місяці свого життя Остроградський перебував у Полтаві. Тут він зустрів і своє шістдесятиліття. З ювілеєм великого вченого вітав весь світ. «Ваше життя не вкладається у тривимірний простір, для нього потрібна четверта координата — час. Тільки у часі можна виміряти зроблене Вами. Вашій же школі судилося жити у віках, історія завжди буде вдячна Вам за молоду зміну вітчизняної науки, яку Ви плекали і плекаєте,» — відзначали друзі-науковці.

Остроградський мав ще багато задумів у науці, в математиці. Але не судилось. Перебуваючи у себе в селі Довгому, він тяжко захворів: у нього на спині зробився великий нарив. Піддався операції. Одужав. Хотів їхати до Петербурга, але через кілька тижнів йому стало гірше, з’явилася сильна пропасниця і 1 січня 1862 року Михайло Остроградський помер у Полтаві в домі Старицьких від паралічу легенів.

Тієї трагічної пори український народ втратив двох своїх геніїв — Тараса Шевченка і Михайла Остроградського. І коли Тараса Шевченка ніякі сили не змогли забрати з пам’яті нашого народу, то Михайла Остроградського — академіка, славетного із славетних математиків світ знає лише як російського вченого, одного з основоположників російської школи математиків. А Михайло Остроградський завжди наголошував: "Я, Українець!"