Цикл задач "Геометрія 10-11 клас. Практична спрямованість"

Геометрия. 10-11 класс. Стереометрические задачи с практическим содержанием.

В повседневной жизни люди постоянно сталкиваются с решением тех или иных ситуаций. Зачастую школьникам приходится прилагать много усилий для разрешения возникших трудностей реальной жизни: они не знают с чего начать, как действовать, какое решение лучше предпринять. Для того, чтобы в реальной жизни ученики могли не бояться встретившихся на их пути проблем, необходимо в школьном курсе разбирать такие задачи, которые будут отражать реальную действительность и которые можно с легкостью решить математическими методами.

Геометрические знания широко применяются в жизни - в быту, на производстве, в науке. 

 Под практической задачей следует понимать задачу, в которой отражаются реальные ситуации из жизни и после решения, которой ученики научаться применять математические знания на практике. Как известно, школьники с восторгом решают и осознают задачи практического характера, им интересно наблюдать, как практическая задача превращается в теоретическую и как теоретическую задачу можно применить на практике.

На сегодняшний день интерес к задачам с практическим содержанием только увеличивается, потому что их включают в содержание НВО. Разбор задач практического содержания с учениками помогает повысить практическую значимость изучения математики в школе; научить необходимым навыкам решения таких задач и умениям рассчитывать величины и их примерное значение; усилить интерес, мотивацию к обучению математике; увеличить результативность обучения школьного курса математики.

Практические задачи, связанные с телами вращения.

1.По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на

1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются, и дерево может быть источником напряжения.

Вычислите высоту молниеотвода, если радиус "защищенного" круга 50 м, а угол между молниеотводом и образующей конуса безопасности 60⁰ .

2.Необходимо вычислить поверхность конуса, высота и радиус которого не доступны для непосредственного измерения.

Как найти радиус?

(измерить окружность основания и разделить на 6,28 = 2п);

Как найти образующую?

(определить две образующие: перекинув метровую ленту через вершину кучи);

Как найти высоту? (определить по теореме Пифагора).

 Пусть окружность конической кучи щебня 12 м. Длина двух образующих - 4,6 м.

Найти площадь поверхности кучи щебня.

3. Свинцовый шар радиуса 5 см переплавили в шарики одинакового размера, радиус каждого из которых – 1 см. Сколько таких шариков получили? Потерями свинца при переплавке пренебречь.

4. Во избежание парковки транспорта на площади города установили 50 цельных бетонных полушаров, радиус каждого из которых равен 30 см. Какой объем бетона ( в м³) использован для изготовления этих полушаров?

5. На приусадебном участке воду для полива сохраняют в цилиндрическом резервуаре, диаметр основания  которого равен 2,5 м. Вычислить высоту резервуара с точностью до  0,01 м, если его емкость равна 3 м³.

6. Колодец имеет форму цилиндра, диаметр основания которого равен 1,2 м, а глубина – 3 м. Он наполнен водой на глубины. Вычислить с точностью до 0,01 м³ объем воды в колодце.

7. Город N находится на 60⁰ северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.

8. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см³).

9.Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту.

10.Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы?

11. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи щебня.

12. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см³. Определите массу стога сена.

13. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м. переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?

14. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в середине бревна?

15. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см³).

16. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11.4 г/см³).

17. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

18 Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?

19.Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.

20.Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.

21. Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?

22. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.

23. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор. У которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м?

24. Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметром оснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м²  требуется 150 г олифы.

25. Сколько квадратных метров жести пойдет на изготовление водосточной трубы длиной 5 м и диаметром 20 см, если на швы добавляют 10% площади поверхности трубы?

26. Хватит ли 8500 м²  изоленты для двукратного  покрытия ею километра трубы газопровода диаметром 1420 мм?

27 Высота консервной банки цилиндрической формы равна 4 см, а радиус основания – 6 см. Сколько таких банок можно изготовить из 15000 м² жести, если 10% материала идет на отходы и швы?

28. Диаметр цилиндрического парового котла длиной 3,8 м равен 0,8 м. Найдите давление пара на полную поверхность котла, если на 1 см²  пар давит с силой 10 Н.

29. Найдите площадь кругового пятна на поверхности моря, образованного 1 м³ вылитой нефти, если толщина пленки 1 мм.

30. В цилиндрической посуде уровень жидкости достигает 16 дм. Каким он станет, если жидкость перелить в посуду, диаметр которой в 2 раза больше первого?

31. Сколько метров стального провода в мотке, если его масса 30 кг, а диаметр провода 6 мм? Плотность стали 7600 кг/м³.

32.Сколько тонн стальных труб пошло на сооружение газопровода длиной 4450 км, если его внешний диаметр 1420 мм, а толщина трубы 22 мм? Плотность стали 7600 кг/м³.

33. Сколько квадратных метров бумаги в рулоне, высота которого 85 см, а радиусы 45 см и 2 см? Толщина бумаги 0,1 мм.

34. Диаметр одного арбуза в 2 раза большего диаметра другого. Во сколько раз первый арбуз тяжелее второго?

35.Масса полого чугунного шара 1,57 кг, его внешний диаметр 10 см. Найдите внутренний диаметр, если плотность чугуна 7,3 кг/дм³.

36.Какой должна быть общая масса космического аппарата, в форме шара радиуса 1 м, чтобы он не тонул в воде?

37. Из капли мыльного раствора диаметра 6 мм мальчик выдул пузырь диаметром 30 см. Найдите толщину пленки пузыря.

38. Шар плавает в воде так, что погружена в воду только его половина. Найдите плотность материала, из которого изготовлен шар.

39. Найдите площадь листа жести, если из него изготовлена труба длиной 8 м и диаметром 32 см?

40. Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала)?

41. Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1 м, длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла.

42. Сколько 2-х килограммовых банок краски нужно купить для окрашивания полуцилиндрического свода подвала длиной 6 м и высотой

2,9 м. Расход краски 100 г на 1 м^2.

43. Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м x 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% от площади крыши.

44. Сколько м² ткани потребуется для пошива шатра цирка «Шапито», если диаметр шатра составляет 32 м, а высота 22 м, причем высота крыши равна 12 м? Добавить 5% ткани на швы и отходы.

45. Наибольшая высота орбиты корабля «Восток-2», на котором летал космонавт Г.С. Титов, равна 244 км. Найдите угол, под которым космонавт видел Землю в момент наибольшего удаления от нее (радиус Земли примерно равен 6371 км).

46.Найти объем нефтяной цистерны, которая имеет форму цилиндра, если ее диаметр равен высоте и составляет 10 м.

47. Металлический конус, радиус основания которого 9 см, а высота – 4 см, переплавили в шарики одинакового размера, радиус каждого из них -1 см. Сколько таких шариков получили? Потерями при переплавке пренебречь.

48. Металлический цилиндр объемом 192π см³ переплавили в шары одинакового размера, радиус каждого из которых равен 2 см. Найти количество полученных шаров (потерями металла при переплавке пренебречь).

49. Металлический шар, радиус которого 6 см, переплавили в конусы одинакового размера с высотой 3 см и радиусом основания 2 см. Сколько таких конусов получили?  Потерями металла при переплавке пренебречь.

50. В пустую цилиндрическую посуду с радиусом основания 18 см налили воду. В воду полностью погрузили шар радиуса 9 см. На сколько сантиметров поднялась в посуде вода ( известно, что вода через край не переливалась)?

51. Стаканчик для мороженного конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженного в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

52. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см³?

53. Собор Сан-Себастьян в Бразилии построен в виде усеченного конуса. Высота этого сооружения 75 м. Если собор обойти вокруг, то можно узнать внешний диаметр, которой равен 106 м, а диаметр крыши равен 40 м. Фото-блоки, освещенные разными цветами, разделяют балки, высота которых равна 64 м. По боковой поверхности собор облицован стеклянными панелями, на одну панель приходится 2 м². Сколько минимально потребовалось панелей для облицовки данного собора, если ширина входа в собор 18 м, а высота 3 м?

54. Сколько материала понадобиться для изготовления колпака «Петрушки» на утренник, если обхват головы ребенка 60 см, а высота колпака 20 см?

55. Фонарь установлен на высоте 8м. Угол рассеивания фонаря 120⁰. Определите, какую поверхность освещает фонарь.

56. Вычислите, сколько метров гирлянды понадобится для украшения елки? Гирлянды будут висеть под углом 30⁰ при вершине, высота елки -12 м, а длина еловой ветви при основании -5 м.

57. Шар диаметром 1 м откатился по прямой на 10 м. Сколько полных оборотов он сделал?

58. Апельсин в два раза больше мандарина. Мандарин весит 40 г. Считая их форму шарообразной и удельный вес одинаковым, найдите вес апельсина.

59. Мякоть вишни окружает косточку толщиной, равной диаметру косточки. Считая шарообразной форму вишни и косточки, найдите отношение объема мякоти к объему косточки.

60. Чугунная труба имеет длину 2 м и внешний диаметр 20 см. Толщина стенок трубы равна 2 см. Найдите вес трубы, если удельный вес чугуна примерно равен 7,5 г/см3 . Ответ дайте в килограммах. (Примите π≈3.)

61. Найдите размеры цилиндра, объём которого равен 2π, имеющего наименьшую площадь поверхности.

Практические задачи, связанные с многогранниками.

1.Деревянный брусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 20 см, 80 см. Сколько лака нужно для того, чтобы один раз покрыть им всю поверхность этого бруска, если на 1 м² расходуется 100 г лака?

2. Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда (ширина комнаты – 4 м, длина – 5 м, высота – 2,5 м). Площадь стен комнаты равна 0,8 площади боковой поверхности этого параллелепипеда. Сколько краски ( в кг) нужно для того. Чтобы полностью покрасить стены и потолок этой комнаты, если на 1 м² расходуется 0,25 кг краски?

3. Для сохранения 1,8 м³ воды на приусадебном участке изготовили резервуар в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, сторона которого равна 1,2 м. Вычислить высоту резервуара.

4. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см, 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?

5.Металлический куб имеет внешнее ребро 10.» см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.

6. Кирпич размером 25Х12Х6,5 см имеет массу  3,51 кг. Найдите его плотность.

7. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м³ на площадке размером 2,5Х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.

8. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы

 ( плотность чугуна 7,3 г/см³).

9.Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 час) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.

10. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции  нижнее основание 14 м, верхние 8 м и высота 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

11. Железобетонная панель имеет размеры 600Х120Х22 см. По всей ее длине 6 цилиндрических отверстий, диаметры которых 14 см. Найдите массу панели, если плотность материала 2,5 т/м³.

12. Вы тратите мыло равномерно. Через семь дней все размеры куска мыла уменьшились в 2 раза. На сколько дней вам еще хватит этого мыла?

13. Дно котлована – прямоугольник со сторонами 12 м и 24 м, его глубина 4м. Найдите объем котлована, если его двугранные углы при основании по 120⁰. Можно ли объем такого многогранника вычислить по формуле объем усеченной пирамиды?

14. Для установки отопительной системы в доме нужны радиаторы из расчета: три единицы на 50 м. Какое количество единиц радиаторов необходимо заказать на новый дом, если он имеет форму прямоугольного параллелепипеда размером 15 мХ20 м Х30 м?

15. Класс имеет форму прямоугольного параллелепипеда (ширина класса 6 м, длина – 8м, а высота – 4м). Площадь стен класса равна 0,8 площади боковой поверхности этого параллелепипеда. Сколько рулонов обоев необходимо купить для того, чтобы покрыть стены класса, если один рулон обоев имеет длину 10 м, а ширину – 1м?

16. Коробку с крышкой, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 8 см, 5 см и 4,5 см, обшивают материей. Найти площадь материала, если на швы идет 10% от площади всей ткани.

17. Холодильник имеет форму правильной четырехугольной призмы, высота которой в 2 раза больше стороны основания. В холодильник поместили коробку с размерами 20х20х50 см, и еще 2 коробки в форме куба со стороной 20 см. Это заняло 1,8% объема холодильника. Найдите высоту холодильника.

18. Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота около 138 м. Найдите угол наклона ее боковой грани к плоскости основания. В ответе укажите целое число градусов.

19.  Основание садового домика — прямоугольник 6×8 (м). Крыша наклонена под углом 45◦ к основанию. Найдите площадь крыши. В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу квадратных метров.

20. Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 30×40×50 (см) можно поместить в кузов машины размерами 2×3×1,5 (м)?

21. Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см×40 см?

22. Размеры кирпича 25×12×6,5 (см). Найдите вес одного кирпича в граммах, если объемный вес кирпича равен 1700 кг/м³ .

23. Какова должна быть площадь кабинета высотой 3,5 м для класса в 28 человек, если на каждого ученика нужно 7,5 м³  воздуха?

24. Какой наименьшей площади поверхности может быть коробка в форме прямоугольного параллелепипеда, объём которой равен 1000 см³?

25.  Какого наибольшего объёма может быть коробка в форме прямоугольного параллелепипеда, площадь поверхности которой равна 600 см²?

26. Найдите размеры правильной треугольной призмы, объём которой равен 2, имеющей наименьшую площадь поверхности.

Практические задачи, связанные с комбинацией тел.

1. Колодец цилиндрической формы, имеющий в диаметре 135 см. , а глубину 180 с м. , надо выложить кирпичом. Сколько штук кирпича для этого потребуется, если размер кирпича 25х12х6,5 см.

2.  Какого наименьшего диаметра должен быть цилиндрический сосуд, чтобы в него можно было поместить деталь в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами 6×8×10 (см)?

3.  Туннель имеет форму полукруга радиуса 3 м. Какой наибольшей высоты должна быть машина шириной 2 м, чтобы она могла проехать по этому туннелю? В ответе укажите приближенное значение в метрах с точностью до одного знака после запятой.

4. Какое наименьшее ребро должна иметь кубическая коробка, чтобы в нее поместился тетраэдр с ребром, равным  см? В ответе укажите целое число сантиметров.

5. В одном углу кубической коробки с размерами 40×40×40 (см) сидит муха. В противоположном углу сидит паук. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности коробки, по которому паук может доползти до мухи. В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу сантиметров.

6. Медный прямоугольный параллелепипед, ребра которого равны 20 см, 20 см и 10 см, переплавлен в шар. Найдите радиус шара. (Примите π≈3.)