19 серпня о 18:00Вебінар: Ментальна арифметика: розвиваємо обидві півкулі головного мозку

Добірка вправ з теми" Застосування методу інтервалів та систем рівнянь другого степеня для розв’язування прикладних задач. 1. Підприємницька компетентність.

Про матеріал

Добірка математичних задач із розвязками, які розкривають зміст виховання в учнів підприємницької, дослідницької та екологічної компетентностей. У розвязках демонструється використання методу інтервалів.

Перегляд файлу

Застосування   методу інтервалів та систем рівнянь другого степеня для розв’язування  прикладних задач.

 1. Підприємницька компетентність.

 

А)Функція сукупних витрат фірми РС= Q2 + 4Q + 7,   Q – кількість продукції. Ціна одиниці продукції р=12. При яких обсягах виробництва фірма матиме економічний прибуток ЕР ?

 

Оскільки  ЕР = ТR – РС, , де  виторг ТR = р Q = 12 Q . Тоді ЕР = 12 QQ2 - 4 Q – 7. Фірма матиме прибуток, якщо ЕР0. Тобто:  - Q2 +8 Q - 70  або    Q2 - 8 Q – 7 0 .

Опис : Картинки по запросу зображення проміжків розв'язків квадратної нерівностіЗа теоремою Вієта знайдемо значення  Q:  1 і 7 і, скориставшись методом інтервалів для розв’язування нерівностей, маємо:

                           1 Q  7.

 

             1                           7

Висновок. Якщо обсяг  виробництва буде в межах від 1 до 7, то  фірма матиме економічний прибуток.

 

 Б). Нехай у короткостроковому періоді виробнича функція залежить тільки від чисельності персоналу, похідна якої має вигляд:  = 12 Р – 0,6Р2, де С – похідна функції випуску продукції , Р – кількість працюючих. Якою має бути чисельність персоналу, щоб випуск продукції досягав максимального значення?

 

       Щоб випуск продукції досягав максимального значення , то необхідно, щоб С 0 , тобто

                                                                                                        12Р – 0,6Р2 0

                                                                                                        0,6Р ( 20 – Р) 0

 

          Застосувавши метод розв’язання нерівності, маємо значення Р =0,  Р =20.                                                                                  Опис : Картинки по запросу зображення проміжків розв'язків квадратної нерівності. Звідки     Р ( 0; 20)

                       0                20

Висновок. Випуск продукції буде максимальним при кількості працюючих 19 - 20 чоловік.

 

В) Автослюсар отримав завдання на виготовлення кількох комплектів деталей для восьмициіндрованих автомобільних двигунів. Слюсар підрахував, що коли йому вдасться підвищити продуктивність праці на 0,1 дет/год, то він зможе виконати завдання на 12 год раніше строку. А якщо ще на 0,5 дет/год, то виконає завдання на 36 год раніше строку. Скільки  деталей потрібно виготовити слюсарю? Яка кількість деталей на кожний двигун?

 

Якщо позначити через х год – нормативний час виконання завдання, а через у дет.- нормативну кількість деталей, що виготовляються за цей час, тоді можна записати умову задачі так:

; ; Від першого рівняння, помноженого на  число 3, віднімемо друге і отримаємо:    -0,3х+18=0;   х=60 год.  Тоді у = 0,4 дет/год.

60*0,4 =24 деталі;    24 : 8 = 3 деталі.

Висновок. Автослюсар отримав завдання виготовити 24 деталі, по 3 деталі на кожний двигун.

 

Г) На конвеєрних лініях молочного заводу виготовляють два сорти морозива: шоколадне і полуничне. За 8 год роботи з кожної лінії сходить однакова кількість порцій морозива. В однин із днів на шоколадній лінії трапилася поломка, внаслідок якої денний випуск шоколадного морозива скоротився на 2 тис порцій. При  цьому виявилося, що на випуск однієї порції шоколадного морозива фактично витрачалося на 1,2 с більше, ніж на випуск однієї порції полуничного. Скільки порцій шоколадного і полуничного морозива було випущено в цей день?

Позначимо через х кількість порцій полуничного морозива, що випускається за 8 год=480 хв, а за у – кількість порцій шоколадного, що випускався в день поломки лінії. 1,2 с = 0,02 хв.

Тоді ; .  Звівши до спільного знаменника, маємо      

                                    рівняння:     480х-480(х-2000)=0,02х (х-2000).

Спростивши рівняння, одержимо х2 – 2000х – 480000 =0,

                                                          х = 80000, х = - 60000. Умову задачі задовольняє число  8000 .

Висновок. В цей  день було випущено 8000 порцій полуничного і 6000 порцій шоколадного морозива.  

 

2.Дослідницька компетентність.

 

А)  Бурдж Халіфа – найвища споруда в світі, що розташована в місті Дубай, Об’єднані Арабські Емірати. Вона сягає  828  метрів і складається зі 162 поверхів. Вежу можна побачити з відстані 90 км!  Бейс-джампінг – екстремальний вид спорту. B.A.S.E. – скорочення слів Building, Antenna, Span, Earth – об’єктів, з яких стрибають бейс-джампери.

В 2014 році двоє французьких джамперів Фред Ф’юген та Вінс Реффет встановили новий рекорд Гіннеса - найвищий бейс-стрибок з будівлі –828 метрів. Вони стрибнули з самісінької кінцівки шпиля Бурдж-Халіфи.

А тепер спробуємо описати цей стрибок математично і знайти скільки часу було у джамерів, щоб розкрити парашут для безпечного для життя стрибка.

На примітивному рівні, звичайно.

Висота Бурдж Халіфи – 828метрів. Залежність висоти від часу при вільному падінні описується квадратичною функцією:    h(t) = h0+v0t

g 9.8м/c2– прискорення вільного падіння,

h0– початкова висота, v0– початкова швидкість.

У випадку наших джамперів: h=828м, v=0м/c

Математичною моделлю задачі є рівняння:

h(t) = 8284,9t2

 Xлопці розкривають парашути на висоті близько 100 метрів. За інформацією з інтернет-форумів для джамперів, стало зрозуміло, що ця висота є критичною: якщо розкрити парашут нижче, такий стрибок може стати фатальним.

Час, який є у джамперів для того, щоб розкрити парашут безпечно для життя, можна визначити з нерівності:    8284,9t2  >100;       8284,9t2  100 > 0;     7284,9t2  > 0;   

 t2  148,57 < 0;        (t12,19)(t+12,19) <0.

Значення t = ± 12,19 перетворюють функцію в лівій частині нерівності на нуль і розбивають числову вісь на три проміжки:

Опис : Картинки по запросу зображення проміжків розв'язків квадратної нерівностіВикористаємо той інтервал, де функція є від’ємною – тобто 

   t  (−12,19;12,19).

Оскільки  час – величина невід’ємна , тому треба накласти  

    -12,19                 12,19               додаткову умову: t 0.    В результаті маємо  t  (0;12,19).

 

Висновок.  Ці  бентежні хлопці мали трохи більше, ніж 12,2 секунд для того, щоб насолодитися вільним падінням безпечно для життя.

3.Екологічна компетентність.

 

А) Є 6 г радіоактивної речовини  з періодом піврозпаду 6 років і 24 г радіоактивної речовини з періодом піврозпаду 3 роки. Через скільки років маса першої речовини буде рівна або більша маси другої речовини?

 

Рівняння радіоактивного розпаду речовини має вигляд  m = m , де m -початкова маса радіоактивної речовини, m – маса речовини, що лишилась внаслідок розпаду після х періодів піврозпаду.  х = - відношення часу протікання реакції до періоду піврозпаду даної речовини. За даними задачі через  t років маса першої речовини становить

 6г,  а другої  -  24г. 

Математичною моделлю задачі буде нерівність :     6 24. 

З умови зрозуміло, що період піврозпаду першої речовини вдвічі більший від періоду піврозпаду другої речовини.

Отже,    і, зробивши заміну у нерівності  = у,

Опис : Картинки по запросу зображення проміжків розв'язків квадратної нерівності          маємо нову нерівність:   6у -24у2 0.

Застосуємо метод інтервалів:  6у( 4у -1) 0      

 

                                                                                                     0                            

у  . Повернемось до заміни:      0 .

Зрозуміло , що  2,  тобто t 12.

 

Висновок. Через 12 років маси речовин будуть рівними, а більше, ніж через  12  років  маса першої речовини буде більшою за масу другої речовини.

 

doc
Додано
1 липня 2018
Переглядів
206
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку