Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Тема. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Мета: домогтися закріплення учнями змісту алгоритмів зведення раціональних дробів до спільного знаменника та додавання (відніман­ня) раціональних дробів з різними знаменниками; сформувати вміння свідомого виконання дій відповідно до вивчених алгоритмів; вдоско­налити вміння виконувати перетворення раціональних дробів за алго­ритмами, вивченими на попередніх уроках (скорочення раціональних дробів, застосування правила знаків, зведення до нового знаменника).

Тип уроку: застосування знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Додавання і відніман­ня раціональних дробів».

Хід уроку

I. Організаційний стан

II. Перевірка домашнього завдання

Для перевірки засвоєння учнями змісту алгоритму та вмінь зводити раціональні дроби до спільного знаменника можна організувати роботу з перевірки домашнього завдання за зразком (у парах) або провести ро­боту з відшукання помилок (учитель заздалегідь готує розв'язання до­машніх вправ з «помилками», які учні мають відшукати). Зрозуміло, що в цьому разі проводиться перевірка та корекція виконаних учнями робіт одразу після її завершення.

III. Формулювання мети і завдань уроку. Мотивація навчальної діяльності учнів

 Створенню відповідної мотивації навчальної діяльності учнів сприятиме усвідомлення проблем, сформульованих на попе­редньому уроці, а саме: зведення раціональних дробів до спільного знаменника не є самоціллю — це лише засіб, за допо­могою якого додавання і віднімання будь-яких раціональних дробів можна виконувати за правилом додавання та віднімання раціональних дробів з однаковим знаменником. Свідоме сприйняття учнями цих тверджень приводить до розуміння того, що важливим постає питання про вивчення алгоритму додавання та віднімання раціональних дробів із різними зна­менниками — це і с основна дидактична мета уроку, — а також допомагає окреслити коло завдань на урок: на основі вивчених алгоритмів додавання і віднімання раціональних дробів з одна­ковими знаменниками та зведення раціональних дробів до спільного знаменника сформулювати алгоритм додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками, а також сформувати первинні вміння застосовувати сформуль­ований алгоритм для розв'язування відповідних завдань.

(Цей коментар має місце у випадку, коли на попередньому уроці було опрацьовано лише навчальний матеріал, що стосується зведення раціо­нальних дробів до спільного знаменника. В іншому випадку метою уроку є закріплення вивченого на попередньому уроці порядку дій під час зве­дення раціональних дробів до спільного знаменника та виконання дода­вання та віднімання раціональних дробів із різними знаменниками).

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 Для успішної роботи учнів на уроці перед, початком вивчення основного питання слід поновити знання та вміння щодо вико­нання арифметичних дій з раціональними числами, дій зі сте­пенями з натуральним показником, перетворень цілих виразів, а також перетворень раціональних дробів, що розглядатись на початку вивчення теми (скорочення раціональних дробів, зна­ходження ОДЗ раціональних дробів, застосування правила знаків та зведення раціонального дробу до нового знаменника).

Виконання усних вправ

1. Обчисліть: ; ; .
2. Який вираз слід підставити замість *, щоб утворилася тотожність?

а) ; б) ; в) .

3. Подайте у вигляді добутку: т² – п²; 4m² – п²; т² – 2тп + п²; mп – п²;

т²n – mn²; 5m² – 10mn + 5n².

4. Знайдіть найменший спільний знаменник для дробів:

а) і ; б) і ; в) і ;

г) і .

V. Застосування знань

 Якщо на попередньому уроці вивчалося лише питання про зве­дення раціональних дробів до нового знаменника, то єдиним новим моментом цього уроку є запис алгоритму додавання та віднімання раціональних дробів з різними знаменниками, а та­кож розгляд прикладів його застосування в типових ситуаціях.

Доведення тотожностей, що виражають правила додавання та відні­мання раціональних дробів з різними знаменниками, спираються на основну властивість дробу та правила додавання і віднімання раціональ­них дробів з однаковими знаменниками. Всі міркування докладно подані в підручнику, тому вчитель на свій розсуд або пропонує учням са­мостійно за підручником опрацювати цей матеріал, або здійснює дове­дення під час фронтальної бесіди.

Формулювання і доведення алгоритму додавання і віднімання раціо­нальних дробів з різними знаменниками обов'язково має завершитись де­монстрацією його застосування. Тому після доведення алгоритму слід так само ретельно опрацювати приклади його застосування. Цю роботу також можна провести із використанням уміщених у тексті підручника при­кладів: бажано організувати роботу так, щоб учні виділяли в розв'язанні послідовні кроки, записані в алгоритмі (тобто усвідомили послідовність виконаних дій). У будь-якому разі учні мають вивчити не тільки запис ал­горитму у вигляді формули, але й отримати опис орієнтовної схеми дій у стандартних ситуаціях.

У роботі над вивченням цього питання, як і на попередньому уро­ці, вчитель звертається до опорного конспекту (див. урок №5).

VI. Застосування вмінь

Виконання усних вправ

1. Зведіть дріб до знаменника: 5 – а; 2а – 10; а(а – 5); 25 – а²; а³ – 125.
2. Закінчіть виконання дій:

а) ; б) .

3. Подайте у вигляді дробу вираз: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

Виконання письмових вправ

 Для реалізації дидактичної мети уроку на цьому уроці слід розв'язати завдання такого змісту.

1. Додавання та віднімання раціональних дробів, з попереднім зведенням їх до нового знаменника.

1) Зведіть до спільного знаменника дроби:

а) і ; б) і ; в) і ;

г) і ; д) і ; є) і .

2) Перетворіть у дріб вираз:
а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) .

3) Перетворіть у дріб вираз: а) ; б) ;

в) ; г) .

4) Спростіть вираз: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

є) ; ж) ; з) .

2. Доведення тотожностей (виконання перетворення суми або різниці
   раціональних дробів у раціональний дріб).

1) Доведіть тотожність:

а) ; б) .

2) Доведіть тотожність:

а) ; б) .

3. Знаходження значення виразу з попереднім спрощенням його, із
   застосуванням алгоритмів додавання або віднімання раціональних
   дробів з різними знаменниками.

Знайдіть значення виразу: а) при х = 4;

б) при а = -2; b = 3.

4. Виконання логічних вправ та завдань підвищеного рівня склад­ності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) При яких натуральних п значення виразу є натуральним числом:

а) ; б) ; в) ?

2) Знайдіть значення виразу, знаючи, що :

а) ; б) ; в) ; г) .

3) Вставте пропущений вираз:

Вправи, запропоновані до розв'язання на уроці, мають відповідати за змістом прикладам, розв'язаним у підручнику, але з поступовим ускладненням, а саме:

• за рахунок збільшення кількості перетворень для пошуку спільного знаменника;
• збільшення кількості перетворень після зведення дробів до нового знаменника та запису їх суми або різниці у вигляді дробу (скорочен­ня дробів та застосування правила знаків).

Вчителеві слід ясно уявляти собі, що перетворення суми (різниці) раціональних дробів приводить до раціонального виразу, тотожному до даного виразу на спільному ОДЗ даного і здобутого виразів, що співпадає з ОДЗ даного виразу (на цей факт слід звертати увагу учнів, бо він використовуватиметься надалі під час розв'язування раціональних рівнянь; зрозуміло, що вимагати від усіх учнів розуміння таких вказівок зарано).

Перетворюючи суми або різниці раціональних дробів у дріб, учні можуть пропонувати різні форми запису відповіді (наприклад відпо­відь виду записувати як ), тобто необов'язково у вигляді дробу. Тому слід вказати учням на відмінність таких форм запису, хоча самі вирази тотожно рівні (перший вираз є раціональним дробом, дру­гий є алгебраїчною сумою цілого виразу та раціонального дробу), а звідси — на необхідність усвідомлення учнями змісту завдання, яке вони беруться виконувати.

VII. Підсумки уроку

Серед рівностей виберіть правильну. Поясніть свій вибір.

Тестове завдання

В якому з випадків правильно виконано додавання? В інших ви­падках укажіть помилку.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити правило додавання та віднімання дробів з різними знаменниками (з доведенням) та алгоритм (схему дій) під час його застосування.
2. Розв'язати вправи репродуктивного характеру на застосування ви­вченого алгоритму.
3. На повторення: завдання, що передбачають повторення правил скорочення дробів, застосування правила знаків та знаходження ОДЗ дробового виразу.