Доповідь на тему: "Народна математика України"

ДОПОВІДЬ З МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ:

"Народна математика України"

Підготувала вчитель математики  Сусідовицької гімназії імені Романа Цапа

Мирга М. С.

План

1. Лічба і рахунок в народній математиці.

2. Старовинне математичне письмо.

3. Народні міри.

4. Народні геометричні знання в побуті.

5. Відображення математичних понять у народних задачах.

Вивчення народної математики, тобто старовинних математичних знань, є складовою частиною дослідження історії математики; воно дуже важливе для глибокого висвітлення історії культури народів. Ознайомлення із способами лічби, народними мірами і способами вимірів на різних етапах історичного розвитку відкриває нам цікавий світ еволюції поняття числа та його властивостей, а також процес формування просторових уявлень і знань у галузі геометрії, дозволяє проникнути в глибини народної мудрості.

Математика не відразу сформувалась у строго наукову дедуктивну систему: вона спочатку пережила період дослідного і практичного розв'язання проблем лічби та виміру, висунутих життям. Якщо спочатку людині для її практичних потреб досить було лічби по пальцях і вимірювання за допомогою розмірів частин свого тіла (п'ядь, лікоть тощо), то далі в зв'язку розвитком стосунків між людьми, знарядь і способів праці виникла потреба в більш швидких і точних методах.

Тільки після накопичення достатньої кількості потрібних даних, коли розум людей зміцнів і розвинувся, вони перейшли до дедуктивного визначення і вивчення математичних істин, поступово набули здатності абстрагуватись від конкретної лічби.

Різні народи, які не мали між собою відносин, здебільшого проходили однакові стадії математичного розвитку, що ще раз підтверджує існування загальних законів суспільного розвитку. Міри довжини різних народів і різних епох часто дуже схожі, а іноді й тотожні. Багато дослідників пояснювали це запозиченнями.

У різних куточках нашої Батьківщини, на різних етапах суспільного життя в своїх математичних пошуках люди приходили раз у раз до цілком однакових обчислювальних і метрологічних висновків, до спільних геометричних узагальнених побудов. Від покоління до покоління передавалися народні математичні знання. Вони частково змінювалися, доповнювалися використовувалися в різних галузях господарської практики залежно від змін історичного життя народу, а з розвитком державного ладу застосовувалися навіть у законодавстві, набували значення загальнодержавних законодавчих норм.

Народні способи лічби та вимірів, а геометричні відомості в різних видах промислів і будівництва набули значного розвитку ще за часів Київської Русі - у ІХ - ХІІ ст. Цілком природно, що в народній математиці українців і білорусів багато спільного. У щоденній практичній діяльності людям доводилось проводити лічильні операції у виробництві й обміні, виконувати землевимірні роботи, будувати житло, башти, стіни кріплень тощо. Зрозуміло, що спочатку система лічби була вельми простою, а прилади для виміру досить примітивними. Проте, як свідчать археологічні знахідки й літописи, народні математичні знання як за часів Київської Русі, так і в наступний період невпинно розвивалися, поглиблювалися, розширювалося їх застосування.

З часом населення українських міст і сіл почалось користуватись не тільки народними способами лічби і вимірів. Братства ХVІ - ХVІІ ст., а в дальшому і початкові школи поширювали вже систематизовано відомості з математики, які сформувалися як наука. Це, однак, не означає, що математична наука стала надбанням широких мас народу; за феодалізму і капіталізму про це не могло бути й мови. Оскільки щоденна практична діяльність людей вимагала від них математичних знань, способи народної математики продовжували розвиватися.

Три поняття, які звичайно перебувають у тісному зв'язку, - числа, величини і геометричні образи - є основними в математиці. Вони виникли цілком з практики, з господарської діяльності ще первісної людини.

З численням український народ був обізнаний давно, але провадив свої обчислювальні операції дуже своєрідно. Щоб звільнитися від запам'ятовування різних чисел, а також для того, щоб сповістити про наслідки лічби іншу людину, у старовину використовували камінці, горошинки, хлібні зернятка, лічильні дерев'яні палички (бирки).

На світанку цивілізації люди задовольнялися так званою "малою лічбою", а саме - трьома числами: "один", "два", "багато". Отже, спочатку людина рахувала до двох. Через деякий час вона стала рахувати до п'яти - шести, а потім і до десяти. Число сім було символом невизначеної множини. Це між іншим, стверджують і народні приказки і прислів'я - "семеро одного не ждуть", "за одного письменного сім неписьменних дають", вираз - "за сімома печатками". Тут число сім вживається в розумінні "багато".

Пройшло немало часу, і таким символом повноти ("багато") стало число дванадцять. Освоївши цей числовий ряд, людина вважала наступне число тринадцять зайвим і через те "нечестивим" чи нещасним. Як пережиток це дійшло і до наших часів.

Що ж до позначення дуже великої (невизначеної) множини, то у Стародавніх слов'ян кількість об'єктів, яку неможливо охопити обліком, називали "тьма", "несведь". Спочатку тьмою називали тисячу, потім десять тисяч. Пізніше, коли потреби життя зумовили виникнення системи більш великих чисел (якщо рахунок досягав (10⁴⁸ і 10⁴⁹), тьма ставала означати вже тисячу тисяч, мільйон мільйонів (10¹² ) називався легіон; легіон легіонів (10²⁴) - леорд; леорд лордів (10⁴⁸) - ворон. "И больше сего числа несть человеку разумевати", - твердив автор слов'янського рукопису. Правда в ХVІІІ ст. зустрічався ще термін колода - десять воронів. Вважалось, що вище цього числа теж "несть больше".

Для позначення чисел великої кількості в повсякденному житті люди лічили групами - парами, трійками, четвірками, п'ятірками, десятками, дюжинами, капами тощо. З далекого минулого (ІХ - Х ст.) вищезгаданий рахунок зберігся подекуди ще й досі. Так, парами й понині рахують худобу (пара волів, пара коней) взуття (пара чобіт). У пряжі нитки рахували трійками, снопи складали в п'ятірки, п'ятнадцятки, полукіпки (30 снопів), в копи (60 снопів). Для позначення дробів вживали такі вислови, як половина, чверть (четверть), восьмушка та ін. Цілі числа з дробами називали "півтретя "(2 ), "півчетверта" (3 ), "півп'ята " (4 ) тощо.

Незважаючи на всю цю різноманітність лічби, основною системою числення в українців, як і у всіх народів, була десяткова. Вона виникла з пальцевого рахунку.

Археологічні пам'ятки свідчать, що вже в ІХ - Х ст. східні слов'яни застосовували прості математичні прийоми лічби і вимірювання. У ХVІІІ­-ХІХст. математичні знання народу поступово набули дальшого розвитку. Але деякі засоби числення та практичних вимірів, що виникли в давнину, подекуди залишилися і ще навіть на початку ХХ ст. були у вжитку.

Цікаво, як ще сотню років тому неписьменні селяни усно розв'язували задачі. Наприклад, на млин привезли спочатку 48 пудів, потім 95 пудів, а пізніше 117 пудів зерна. Мірошник підрахував: перший раз 50 пудів (на 2 менше в пам'яті), другий - 100 пудів (різниця 5 пудів - знову в пам'яті), а третій раз він зазначав так - або 100 пудів (тоді 17 запам'ятовується), або 120 пудів (скидається три пуди). Мірошник спочатку додавав круглі числа, потім відкидав те, що було в "пам'яті" (50+100+120-10). Так само робив він і при відніманні. Назв арифметичних дій селяни тоді не знали, але говорили:

"додати" , "докласти" , "відкинути" , "відлічити".

За таким же принципом здійснювалось і множення. Саму дію множення замінювали повторним послідовним додаванням. Наприклад, 32х8;

32+32=64; 64+64=128; 128+128=100+100+20+20+8+8=256.

Щоб знати, скільки треба одержати грошей за 7 мішків муки, якщо мішок коштував 65 коп., на 7 спочатку множили не одиниці, а десятки з числа 65. Для цього число 65 розбивали на півкарбованця, сороківку (гривеник) і п'ятак. Рахунок вівся так: сім по півкарбованця буде 3 карбованця та сім сороківок (гривеників) буде півкарбованця і дві сороківки, разом 4 крб. і 20 коп. та 7 п'ятаків - ще 35 коп., а всього 4 крб. 55 коп.

З діленням справа була складніша. Наприклад, треба заплатити пастухові 10 крб. за 115 штук овець. Розрахунок проводився так: якби було 100 овець, то за одну вівцю приходилось би платити по 10 коп. Оскільки ж овець більше, то треба покласти по 9 коп. Тоді за 100 штук платили 9 крб., за 10 овець - 90 коп. та ще за 5 штук - 45 коп. Тоді всього буде 10 крб. 35 коп. Десять карбованців треба віддати пастуху, а 35 коп. залишилось в нього.

В с. Келиберда на Черкащині старі люди так виконували ділення при розв'язанні задачі: припустимо, за 5 аршин полотна заплатили 1 крб. 85 коп. Скільки треба грошей, щоб купити ще 2 аршини полотна? Міркували приблизно так: якби 5 аршин коштували 2 крб., то за один аршин треба було заплатити 40 коп. Але заплачено 1 крб. 85 коп. - на 15 коп. менше, а один аршин коштує на 3 коп. менше, тобто 37 коп. Отже, за 2 аршини треба заплатити ще 30+30=60; 7+7=14, всього 74 коп.

Деякі селяни дуже швидко і правильно обчислювали на пальцях, особливо дію множення. Пальцевий рахунок, тобто фіксування чисел за допомогою пальців, був викликаний практичними потребами життя. При цьому треба знати таблицю множення до п'яти і спосіб множення на пальцях.

Треба помножити 6 на 8

      Загнуто           Не загнуто

На одній руці                               1                          4

                +                          Х

На другій руці                 3                           2

                    4                           8

Добуток дорівнює 48.

Множення на пальцях можна виконати до 15х15, як уже зазначалось вище, але воно проводиться інакше, ніж множення в межах 10х10. Наприклад, множення 12 на 14 здійснюється так: загинають на руках надлишку множників над десятьма, а саме: на одній руці 2 пальці, на другій ­4. Знаходять суму 2+4. Збільшивши її у десять разів, додають до цього добутку 2х4 і, нарешті, додають сотню, тобто

                12х14=100+(2+4)*10+2х4=168

Мешканець с. Прохорівки на Чернігівщині Іван Дерева знав простий спосіб, як помножити всяке однозначне число на 9. Припустимо, треба помножити 7х9. Покладемо перед собою обидві руки і загнемо сьомий палець, рахуючи зліва. Тоді перед вами 6 пальців наліво і 3 - направо. Добуток 63.

Іноді при пальцевому рахунку використовувались і пальці ніг.

У різних народів по-різному зароджується позначення числа, те, що називаємо цифрами. У наших предків подібним засобом "запису" чисел були бирки, тобто дерев'яні дощечки чи палички, на яких ножем, сокирою чи шилом робилися риски, хрестики та інші знаки, якими позначали число голів худоби, здобич на полюванні. На бирках наслідки лічби записували майже скрізь однаково:

                      Один - І

                      Два - ІІ

                      Три - ІІІ

                      Десять – Х

                      Сотні - 

                      Тисячі -   

Якщо треба було записати число 1235, то записували так:

 ХХХ  ІІІІІ

Ця народна нумерація була узаконена

Зірка - тисяча карбованців.   

   Колесо - сто карбованців.

-                                           десять карбованців

                Х - один карбованець.

ІІІІІІІІІІ - десять копійок.

  І - копійка.

У гуцулів у ХVІІІ - ХІХ ст. кількість овець зображали так:

1 - І      15 - А

2 - ІІ      20- ХХ

3 - ІІІ              50 - Ω

4 - ІІІІ             100 - •

5 – V               150 -  Ω

10 - Х     200 - ••

Дроби записували невеликими рисками, паличками - похилими і горизонтальними. Так, 1/2 записувалася / = /, 1/4 і 3/4 відповідно позначалися /- / та /     /.

У давні часи на Україні неписьменні люди хоч і іноді й не користувалися записами, але щоб не тримати в пам'яті потрібних чисел і витрачати часу на перелік вдруге, фіксували лічбу здебільшого квасолинками, картоплинами, паличками або колосками.

Бувало так. Восени, коли переносили гарбузи з городу в льох, ставили дві мисочки - одну з квасолею, другу порожню. Скільки хто несе гарбузів з городу, стільки і перекладається квасолинок з однієї миски в другу. Коли перенесуть усі гарбузи, то перелічують квасолинки в мисці і вирішують, скільки зберегти треба гарбузів для їжі, скільки для корму худоби і скільки можна продати. Таке ж робили, коли збирали врожай картоплі з городу або поля.

Пастухи зазначали кількість худоби в череді чи овець в отарі, роблячи зарубки на своїх ціпках чи кийках.

При позичках грошей на бирках зазначалась величина боргу. Одна половина залишалась у боржника, друга - у позикодавця. Коли борг повертали, то після звірки зарубок обидві часини бирки знищували.

У козацькому війську в Запорізькій Січі писарі вели облік козаків теж зарубками на бирках.

Розглянемо міри й способи вимірювання, якими користувався український народ. Не можна уявити собі життя людини, яка не виконувала б ніяких, хоча б простих, вимірювань. Ще для первісної людини, яка будувала собі житло, виготовляла найпростіші знаряддя праці, ліпила примітивний посуд, застосування мір довжини, ваги й об'єму було необхідним.

З незапам'ятних часів людство застосовувало за одиницю довжини розміри частин людського тіла. Це міри, які завжди "з нами". Значення цих мір полягає насамперед у тому, що людина могла ними користуватись у будь-яких умовах і обставинах. Крім того, великою перевагою цих мір було те, що розмір ліктів, долонь, пальців у дорослих людей приблизно однаковий. Невелика різниця в їх розмірах у різних людей при грубих вимірах не мала особливого значення.

Самі назви одиниць мір нагадують нам про їх походження від назв частин людського тіла: палець, долоня, стопа, лікоть. Їх рух (крок, розмах рук) теж був основою перших мір довжини. Деякі із старовинних мір вимірювання збереглись до цього часу, а інші замінені сучасними системами мір лише недавно. Невеликі віддалі нерідко і в наш час вимірюються кроками там, де не потрібна особлива точність.

Для вимірювання довжини поля або віддалі до іншого населеного пункту крок був дуже дрібною мірою. Тому з'явилась інша - подвійний крок, жердина. Для вимірювання великих віддалей застосовувалася міра, що дорівнює тисячі подвійних кроків, звідки походить назва міри довжини - миля.

Вибір мір довжини робився не лише для вимірювання віддалей. Довжину тканини незручно було вимірювати кроками. Для цього зручною мірою виявився лікоть. Раніше дуже часто використовувалися лікоть і сажень, який становить три лікті. Лікоть - відстань від кінця витягнутих пальців до згину ліктя (46 см). Мірами меншого розміру були долоня, або п'ядь, і ширина пальця. Пізніше між ними встановили таке співвідношення: 1 лікоть дорівнює 6 долоням, або 24 пальцям. У минулому на Україні при вимірах довжини користувалися різними п'ядами.

1. П'ядь мала - 19 см (віддаль від великого пальця до вказівного).

2. П'ядь середня - 23 см (віддаль від великого до середнього пальця).

3. П'ядь велика - 27 см (віддаль від великого пальця до мізинця).

З рухів окремих частин тіла виникла інша найпоширеніша довжина сотня

- 216 см - віддаль від кінця ноги до кінця витягнутої вгору руки.

На Україні з давніх-давен у народному мистецтві зустрічаємо зображення геометричних фігур, що використовувались як орнаменти: точку, пряму, кут, паралельні та взаємно перпендикулярні лінії.

Дуже цікаво, як свого часу старі люди визначали властивості паралельних ліній і до яких наочних прикладів вони при цій нагоді зверталися. Це сліди від колес та полозків саней, рейки, по яких всовується і висовується шухляда в столі.

Теслярі проводили лінію, перпендикулярну чи сторчову до певної лінії, за допомогою виска. Коли ж його під руками не було, то клали палицю чи соломинку в напрямку лінії, до якої потрібно провести перпендикуляр, і, перетинаючи соломинку, прикладали навхрест другу соломинку, але так щоб хоч орієнтовно кути з обох боків були рівні. Перпендикулярний напрямок на місцевості відмічали колодочками чи камінчиками. Прямий кут називали "рівним". Відносну величину прямих і гострих кутів визначали, порівнюючи із прямим кутом. Були відомі властивості вертикальних кутів. Ці властивості використовували при будівництву даху хати (кути, утворені кроквами).

З геометричних відомостей західних областей України вдалось виявити таку:

Пряму лінію називали "рівною" лінією, ламану - кривою, перетин ліній ­перехрестям.

Властивості деяких чотирикутників (прямокутника, квадрата, ромба) застосовували при різьбі, випалюванні, вишиванні, а також у виробництві художніх тканин.

На Гуцульщині люди мали поняття про подібність, а також про симетрію як у розстановці предметів у хаті, так і при оздоблені цих предметів. Гуцульська різьба по дереву і металу багата на симетричні фігури. Дуже поширеними були геометричні орнаменти: вісімка (бесаги), віконце. Майже всі орнаменти гуцульської різьби мали форму геометричних фігур. Коло широко використовували як при будівництві так і в побуті.

При будуванні хат, млинів та інших споруд, щоб кути були прямі, в кутках майбутньої споруди забивали кілки і від першого до третього та від другого до четвертого протягували мотузки. Якщо вони, взаємно перетинаючись, ділились навпіл, то стіни мали бути побудовані під рівними кутами. Як бачимо тут використовувалися властивості діагоналей прямокутника.

Для визначення розмірів балок на даху під крокву вимірювали ширину хати, додавали третину її розміру.

На Україні й досі застосовують цікавий метод вимірювання висоти недосяжного предмета, наприклад дерева, вежі вітряка. Палицю розміром у свій зріст забивають у носах на такій відстані від об'єкта, щоб лежачи бачити по одній лінії верхівку вимірюваного об'єкта і кінець палиці. Віддаль від голови до основи предмета становить його висоту. Таким чином, висота дерева визначалася на основі подібності трикутників.

Для визначення віддалі до неприступного предмета дивилися на нього, насунувши на очі капелюх так, щоб його край був в одній площині з очима і предметом, потім поверталися, не міняючи положення голови, І дивилися на якийсь доступний предмет, що перебуває в одній площині з краєм капелюха й очима. Віддаль від цього предмета і була шуканою.

Математичні поняття досить широко відображені в усній поетичній творчості народів. Зокрема, на Україні відомий цілий цикл задач, загадок і прислів'їв, в яких використані математичні поняття. У них виявляється розум, кмітливість і спостережливість трудового українського народу, відбито його щоденне життя. Нерідко такі задачі, загатки або прилів'я прикрашені добрим народним гумором, що робить їх особливо привабливими. Наприклад, на Буковині у минулому був відомий такий вираз:

"чотири леви - фіра дров". Фіра (віз) дров - це один кубічний метр деревини, який коштував 6 левів. Ця іронічна приказка стосувалася покупця, який шукав дешевих дров за чотири леви, або взагалі людини з малими можливостями, яка претендувала на щось велике.

Усна задача: "Скільки нас є?"

"Сім, сімнадцять (тобто 7+ 17)

без двох двадцять (що зменшиться 20-2)

семеро, троє (тобто 7+3)

ще й малих двоє (плюс ще 2)

Отже, скільки - відгадай" .

Крім задач практичного характеру, є задачі, які мають на меті швидке обчислення.

1. Ішло сім стариць, несло по сім палиць, на кожній палиці по сім сучків, на кожному сучку по сім торбин, у кожній торбині по сім паляниць. Скільки всіх паляниць?

2. Стоїть стовп, а на тому стовпі сорок кілець, до кожного кільця прив'язано по сорок кобил, у кожної кобили сорок лошат. Скільки всього лошат?

3. Один чоловік купив сто штук худоби за п'ять карбованців: коні по копі, рогата худоба по гривні, а вівці по копійці. Другий - купив теж сто штук за десять карбованців: коні по копі, рогата худоба по гривні, а вівці по копійці. Скільки різної худоби було у кожного чоловіка?

4. Летіли гуси над водою і побачили острівці. Якщо вони сядуть парами - один острівець залишиться зайвим, а як сядуть по одному, то одного острівця не вистачить. Скільки летіло гусей і скільки було острівців?

5. Один пастух говорить іншому: ,,якщо ти даси мені дві вівці, то в нас овець буде однаково." А другий відповідає: ,,якщо ти даси мені три вівці, то в мене буде вдвоє більше овець, ніж у тебе". Скільки було овець у кожного пастуха?

6. Летіли гуси, а назустріч їм один гусак. "Здрастуйте, сто гусей" каже він. Йому відповідають: "А нас не сто. Щоб було сто, треба ще стільки та півстільки та чверть стільки і ти один". Скільки летіло гусей?

7. Від складених з сірників "квадратиків" треба зняти одну сторону, щоб залишилось три квадратики.

8. Двоє кінців, двоє кільців, а посередині гвіздок.

9. Хто їсть сіно трьома зубами?

10. П'ятеро хлоп'яток розійшлося у п'ять хаток і в кожного своя.

11. Два брати через дорогу живуть, а в гості не ходять.

12. Бігло два пси, позадирали носи.

13. Хто вранці на чотирьох, вдень на двох, а ввечері на трьох?

14. Біжать чотири брати, два ніяк не втечуть, два - не доженуть.

Народні задачі, міри і способи вимірів, які найбільше використовуються в побуті, можуть привчити дітей уважно, з інтересом ставитися до оточення. І взагалі вивчення дітьми елементів народної математики пожвавлює їх сприймання теоретичних і практичних знань, що прищеплює школа.

Література:

1. Зб. "Математика в школі", вип. ІІІ, Харків, 1929.

3. Л.М. Гріціанська "Нариси з народної математики України". Вид. Київського університету, 1968 р.