Дослідницька робота: " Деякі способи зручного обчислювання Взаємозв’язок між відношенням внутрішніх та зовнішніх кутів багатокутника"

 

 

 

 

 

 

 

 

Деякі способи зручного обчислювання

Взаємозв’язок між відношенням внутрішніх та зовнішніх

кутів багатокутника

 

 

Виконав

Ікім Валентина Дмитрівна

 вчитель математики

ОРЛІВСЬКОГО ЗЗСО

 РЕНІСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

ІЗМАЇЛЬСЬКОГО РАЙОНУ

ОДЕСЬКОЇ ОБЛАСТІ

 

 

 

 

 

    

2023

 

 При розв’язуванні багатьох задач дуже важливо підібрати зручний спосіб, який дає можливість зекономити час та зменшити об’єм обчислень. У цій роботі досліджено зручний спосіб знаходження відношення зовнішніх (внутрішніх) кутів багатокутника, за відомим відношенням його внутрішніх (зовнішніх) кутів, без знаходження їх градусної міри. В основі цього способу - властивість суміжних кутів, тому що, при кожної вершині багатокутника по одній парі суміжних кутів, сума яких дорівнює 180˚.

І. Взаємозв’язок між кутами трикутника.

Задача 1. Відношення внутрішніх кутів трикутника 2 : 3 : 4. Знайдіть відношення зовнішніх кутів.

Розв’язування: Використовуємо традиційний метод розв’язування, а саме: знайдемо градусні міри кожного внутрішнього кута. Потім знайдемо градусні міри зовнішніх кутів, та наприкінці, знайдемо їх відношення.

1) 2 + 3 + 4 = 9 (ч.)                             

2) 180˚ : 9 = 20˚(1 ч.)                 

3) 2 ∙ 20˚ = 40˚(перший вн. кут)          6) 180˚ - 40˚ = 140˚(перший зовн. кут)         

4) 3 ∙ 20˚ = 60˚(другий вн. кут)           7)  180 ˚ - 60˚ = 120˚(другий зовн. кут)

5) 4 ∙ 20˚ = 80˚(третій вн. кут)             8) 180 ˚ - 80˚ = 100˚(третій зовн. кут)

                    9) 100˚: 120˚ : 140˚ = 5 : 6 : 7

                           Відповідь: Відношення зовнішніх кутів 5:6:7.

  Другий спосіб розв’язування, без знаходження градусних мір кутів.

Знаходимо суму частин 2 + 3 + 4 = 9 (ч.). Доповнюємо частини кожного кута до  суми частин, тобто до 9. Отримаємо: 7 : 6 : 5. Отримане відношення є відношення зовнішніх кутів.

Пояснення: сума внутрішніх кутів трикутника 180˚, так саме сума суміжних кутів дорівнює 180˚. Тоді, сума частин внутрішніх кутів дорівнює сумі частин суміжних кутів.

Задача2. Відношення зовнішніх кутів трикутника  5 : 6 : 9. Знайдіть відношення внутрішніх кутів.

Розв’язування: Використовуємо другій спосіб: знайдемо суму частин зовнішніх кутів. Сума зовнішніх кутів 360˚= 180˚ ∙ 2, це у 2 рази більше ніж сума внутрішніх кутів трикутника, тому суму частин зовнішніх кутів поділімо на 2. Та потім доповнюємо кожну частину до отриманого числа.

1) 5 + 6 + 9 =20 (ч.)

2) 20 : 2 =10 (ч.)

3)  Якщо відношення зовнішніх кутів 5 : 6 : 9, тоді доповнюємо кожного числа до 10, отримаємо: 5 : 4 : 1.

                                        Відповідь: Відношення внутрішніх кутів 1 : 4 :5.

Перевіримо правильність розв’язання традиційним способом.

Знаходимо градусні міри зовнішніх кутів, за відомим відношенням.

1. 5 + 6 + 9 = 20 (ч.)

2. 360˚: 20 = 18˚(1ч.)

3. 5 ∙ 18˚ = 90˚( перший зовн. кут)        6. 180 - 90˚ = 90˚( перший внутр. кут)

4. 6 ∙ 18˚ = 108˚(другий зовн. кут)        7. 180 - 108˚ = 72˚(другий внутр. кут)

5. 9 ∙ 18˚ = 162˚(третій зовн. кут)          8. 180 - 162˚ = 18˚(третій внутр. кут)

                                   9. 90˚: 72˚: 18˚= 5 : 4 :1

                      Відповідь: Відношення внутрішніх кутів 1 : 4 : 5.

Висновок: Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює

360˚ = 180˚ ∙ 2, тому суму частин зовнішніх кутів ділимо на 2.

 

ІІ. Взаємозв’язок між кутами чотирикутника.

Як відомо, сума внутрішніх кутів чотирикутника, як і сума його зовнішніх кутів дорівнює 360˚= 180˚ ∙ 2, числа яким пропорційні градусні міри внутрішніх кутів, такі ж самі, що й числа яким пропорційні градусні міри зовнішніх кутів у зворотному порядку.

Задача 3. Задано відношення внутрішніх чотирикутника 3 : 4 : 5 : 6. Знайдіть відношення зовнішніх кутів.

Розв’язування:

1. 3 + 4 + 5 + 6 = 18 (частин).

2. 18 : 2 = 9;

Доповнюємо частини кожного кута до 9, отримаємо 6 : 5 : 4 : 3.

ІІ. Взаємозв’язок між кутами п’ятикутника, шестикутника, … .

Задача 4. Нехай задано відношення внутрішніх кутів п’ятикутника

3 : 4 : 5 : 7 : 8. Знайдіть відношення зовнішніх кутів п’ятикутника.

Розв’язування:

Сума внутрішніх кутів п’ятикутника 540˚= 180˚ ∙ 3, і це у 3 рази більше аніж сума суміжних кутів.

1. 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27 (ч.)

2. 27 : 3 = 9

Доповнюємо частини кожного кута до 9. Отримаємо:

6 : 5 : 4 : 2 : 1 – відношення зовнішніх кутів п’ятикутника.

Задача 5. Нехай задано відношення внутрішніх кутів шестикутника

3 : 3 : 4 : 4 : 5 : 5. Знайдіть відношення зовнішніх кутів шестикутника.

Розв’язування:

Сума внутрішніх кутів шестикутника 720˚= 180˚ ∙ 4 , і це у 4 рази більше аніж сума суміжних кутів.

1. 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 24 (ч.)

2. 24 : 4 = 6

Доповнюємо частини кожного кута до 6. Отримаємо:

3 : 3 : 2 : 2 : 1 : 1 – відношення зовнішніх кутів шестикутника.

Таким чином, для будь – якого багатокутника, можна знаходити відношення зовнішніх кутів за відомим відношенням внутрішніх кутів, та навпаки.

У деяких задач сума частин кутів не є дільником суми кутів багатокутника зовнішніх чи внутрішніх. У такому випадку використовуємо властивість відношення.

Наприклад:

 Задача 6. Нехай задано відношення внутрішніх кутів п’ятикутника

2 : 3 : 5 : 6 : 7. Знайдіть відношення зовнішніх кутів п’ятикутника.

Розв’язування:

Сума внутрішніх кутів п’ятикутника 540˚= 180˚ ∙ 3, і це у 3 рази більше аніж сума суміжних кутів.

1) 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 23 (ч.)

2) 23 ділиться на 3 з остачею, щоб спрощувати обчислення, використовуємо властивість відношення, та помножимо усі частини на 3, а саме:

 

 2 : 3 : 5 : 6 : 7 / ∙ 3,

6 : 9 : 15 : 18 : 21, а зараз доповнюємо кожного числа до 23,

17 : 14 : 8 : 5 : 2 - відношення зовнішніх кутів шестикутника.

    Відповідь: 17 : 14 : 8 : 5 : 2 - відношення зовнішніх кутів шестикутника.

Перевірка:

Розв’яжемо задачу №6 традиційним способом.

1) 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 23 (ч.) усього;

2) 540˚ : 23 = = (1 частина);

3) 2 ∙ = = ( перший внутр. кут);  

4) 3 ∙ = = ( другій внутр. кут);

4) 5 ∙ = = = (третій внутр. кут);

5) 6 ∙ = = = (четвертій внутр. кут);

6) 7∙ = = (пятий внутр. кут);

7) 180˚ -   = ( перший зовн. кут);

8) 180˚ -   = (другій зовн. кут);

9) 180˚ -   = (третій зовн. кут);

10) 180˚ -   = (четвертий зовн. кут);

11) 180˚ -   = (п’ятий зовн. кут);

Знаходимо відношення:

= 17 : 14 : 8 : 5 : 2 – відношення зовнішніх кутів п’ятикутника.

Як бачимо, перший спосіб набагато зручніше, аніж традиційний, звичайний, який привів до величезних обчислень.

Висновок: При розв’язування задач, варто шукати зручні способи, щоб зекономити час, зменшити об’єм обчислень, і встигати розв’язати різноманітні завдання, при  цьому зробити математику цікавіше.