Дослідницька робота "Геометрія в мистецтві"

Міністерство освіти і науки України

Головне управління освіти і науки Харківської облдержадміністрації

Будянський ліцей

Геометрія у мистецтві

                                                            Роботу виконала:

                                                                     Драган Катерина                                                                          учениця 9-А класу

Будянського ліцею

  Керівник:     

                                                       Пономаренко Т.В.                                                                                 вчитель математики 

Харків - 2021

Краса починається з форми. Це форма, узята в єдності зі змістом. І в житті, і в мистецтві прояви краси надзвичайно різноманітні. Платон вказував на те, як важко пояснити, чому вони прекрасні.

Спроби хоча б наблизитися до об'єктивних «законів краси» робилися людством з давніх-давен: це і математичні закони Піфагора в музиці, і геометрична модель всесвіту Кеплера, і система пропорцій в архітектурі, і пропорції людини, і геометричні закони живопису. І сьогодні більшість вчених вважають: «математика є прообразом краси світу».

Загальновідомо, що геометрія народилася для задоволення потреб практики. Про це сказано майже у всіх підручниках. З іншого боку, геометрія, як і поезія, живопис, скульптура, музика, є потребою людини в духовності, в пізнанні і красі. Істина, мабуть, десь між ними.

Виникнення геометрії йде вглиб тисячоліть і пов'язано, перш за все, з розвитком ремесел, культури, мистецтв, з трудовою діяльністю людини і наглядом за навколишнім світом. Про це говорять назви геометричних фігур: «трапеція» - «трапезіон» - столик, «конус» - «конос» - соснова шишка, «лінія» - «лінум» - лляна нитка.

Судячи зі збережених уривків давньоєгипетських творів, геометрія розвивалася не тільки з вимірів Землі, але також з вимірів обсягів і площ при земляних та будівельних роботах. Геометрія в первинному значенні є наука про фігури, взаємне розташування і розміри частин, а також про перетворення фігур.

На рубежі 8-7 ст до н.е. в стародавній Греції сформувалося співтовариство людей, які могли користуватися двома благами – свободою і дозвіллям. Це дало їм можливість поглянути на навколишній їх Світ. Вони почали міркувати про те, як він влаштований, що з неминучістю спричинило вивчення геометричних тіл, які наповнюють навколишній простір.

Що внесла геометрія в людську культуру?

Вона відіграла значну роль в упорядкуванні людського мислення. Це найкращий спосіб розвитку інтелектуальних і творчих здібностей. Можна відзначити значення геометрії для природознавства, для розуміння того, як влаштований світ. Геометрія потрібна і в практичному житті: кожна людина повинна мати найпростіші уявлення про геометричні фігури. Геометрія грає важливу роль в багатьох професіях. [1, 304]

Геометрія в мистецтві була присутня майже завжди. Існуючи, однак, в різні епохи, геометрія в живопису, скульптурі та архітектурі приймала різні значення. Іноді вона поставала в ролі перспективи, будучи інструментом для передачі обсягу на площині, а пізніше перейшла в буквальне поняття, представивши собою геометричні предмети як об'єкти мистецтва. У картинах з абстракцією геометрія стає головним героєм сюжету, в той час, як на полотнах епохи Ренесансу вона відповідає лише за просторове зображення.

Поняття перспективи.

 Перспективою називають спосіб зображення об'єктів на деякій площині з урахуванням візуальних скорочень їх величин, а також змінами кордонів, форми та інших співвідношень, які бачаться на натурі. Таким чином, це спотворення пропорцій тіл і геометрії картини при їх зоровому сприйнятті. Види перспективи в живописі.

 Геометрія в живописі і скульптурі принципово відрізняються один від одного, хоча і йдуть пліч-о-пліч, як і наука і мистецтво, і безперестанку переплітаються вже багато століть. В епоху Відродження мистецтво спровокувало вивчення геометрії. Геометрія в живописі збагатила мистецтво, внісши нові можливості і принципово відмінні якості. В даний час ми маємо можливість поглянути на неї з іншого боку. Будучи галуззю математики, геометрія в живопису є тією сполучною ланкою, яка пронизує всю історію. Існує три методи відтворення тривимірного простору на двомірної поверхні картини: перспектива (пряма і зворотна); метод ортогональних проекцій; аксонометрія. [2, 102]

Історія.

Ці принципові засади геометрії в живопису були реалізовані на різних етапах становлення художньої культури, коли кожен із способів знаходив найбільш доречне вираження. Наприклад, система ортогональних проекцій стала основою мистецтва Стародавнього Єгипту, в той час як аксонометрія, звана також паралельної перспективою, стала характерною для зображень епохи середньовічної Японії і Китаю. Зворотня перспектива стала типовим методом зображення на іконах Стародавньої Русі та Візантії, а пряма перспектива набула поширення при Ренесансі, ставши основою монументального живопису європейського мистецтва XVII - XIX століть. 

Ідея ортогональних проекцій була підказана людині природою: тінь, що відкидається предметом – найбільш проста аналогія зображення тривимірного предмета на двомірної площини. Але ця проекція не в силах передати глибину реального світу, так що в Стародавньому Єгипті стали відзначатися перші спроби художників просунутися далі в аксонометрію. Аксонометрія передавала фронтальну площину предмета без будь-яких спотворень. Вона могла дати уявлення про обсяг зображуваного простору, але сама глибина так і залишалася неясною величиною. 

Математика цю геометрію в живопису тлумачить як центральну проекцію з нескінченно віддаленим центром. Проте метод аксонометрии, який також називався вільної перспективою, був відомий з найдавніших часів. З II по XVIII століття плани населених пунктів підносили подібним чином, як би з висоти пташиного польоту. Недоліки аксонометрии були відшкодовані при Ренесансі, коли уявлення про перспективу почали розвиватися. Така система обзавелася зведенням правил, заснованих на розрахунках. Цей метод відрізнявся своєю складністю, але при цьому він точно відтворював навколишній світ. Ренесансна перспектива розширила рамки людського світосприйняття, відкривши перед людьми нові можливості і знання.

Розвиток перспективи.

 Аксонометрія змінила ортогональні проекції, а та слідом поступилася перспективі. Зародження геометрії в живопису по етапах відбувалося поступово, в суворій послідовності. Складність методу визначала його положення в цій схемі: спосіб ортогональних проекцій як найпримітивніший зайняв перше місце в історії розвитку. Він допомагав відтворювати контури реальних об'єктів без спотворень. Кожен із способів геометрії ставав важливою сходинкою у становленні живопису. Походив пошук найбільш досконалої системи передачі зорових образів.

Об'єктивний і суб'єктивний простір.

 Людина оточена двома геометричними просторами. Перший – реальний, об'єктивний простір, другий ж згенеровано роботою мозку і очей.

Його люди бачать і сприймають в своїй свідомості, тому він отримав назву суб'єктивного або перцептивного простору. Історія живопису йшла від зображення фактичного простору до зорового, суб'єктивного. У XIX-XX століттях творці інтуїтивно підійшли до створення перцептивної перспективи, яка відображалася на їхніх роботах у формі різних відступів від ренесансної системи. Загальна теорія перспективи, що включає як ренесансну, так і перцептивну, була створена академіком Б. В. Раушенбахом. Він з'ясував, що не може бути єдиної перспективи в зображенні видимого простору, як і не буває досконалих методів зображення тривимірного простору на поверхні. Точне зображення тривимірного простору нездійсненно в принципі: при всьому своєму бажанні художник може дати хіба що приблизну геометричну картину реального світу. У відповідності зі своїми цілями художник може вибрати той чи інший метод, який допоможе йому найбільш точно висловити задуману їм ідею. Тому буде некоректним дорікати давньоєгипетського майстра у надмірній простоті, японського – в нестачі глибини, давньоруського – в спотворенні перспективи, паралельно підносячи творця Ренесансу. Втім, і художників Відродження можна дорікнути в надмірній фотографічності.

Ортогональний живопис Стародавнього Єгипту.

 Всю філософію древніх єгиптян пронизує ідея вічного абсолюту фараона, шанованого як сина божого. Це положення не могло не відбитися в мистецтві і живопису стародавньої культури. Кожен об'єкт зображення осмислювався у відриві від навколишнього простору, творець вникав в суть об'єкта, відкидаючи все одномоментне і незначне, залишаючи лише вічні і справжні образи, незалежні від часу і простору – образи-іменники. Вони складалися в цілі послання і картини-розповіді. Давньоєгипетська живопис тісно перепліталася з листом, образи перемішувалися з ієрогліфами. Для втілення ідеї вічного в образі-іменник застосовувався метод ортогональних проекцій. Єдиний вірний шлях давньоєгипетські художники бачили в цьому способі: тільки так форма може бути відображена без зайвих спотворень. Вони повідомляли глядачеві інформацію про реальний світ. Так як у художника не було можливості передати всі три проекції предмета, він вибирав саму характерну бік предмета: саме тому при зображенні тварин обирався вид в профіль: так легко було передати індивідуальні особливості виду, а також зобразити ноги, які в залежності від положення могли йти або залишатися в спокої. Груди і плечі зображувалися поверненими до глядача.

Переможені вороги зображувалися як би зверху – для найбільшої інформативності. Єгипетські творці створювали свої твори, спираючись не стільки на зір, скільки на умогляд, воно дозволяло художнику поєднувати в одній роботі кілька різних точок зору. Умогляд посприяв виробленню математичної системи правил в зображенні фігури людини, які називалися каноном. Він підтверджував відношення живописця до знання і влади, будучи символом посвячення в таємниці жерців. Чим суворіше були рамки канону, тим більша майстерність потрібна художнику для зображення. Образи були нарочито двовимірними, але це анітрохи не бентежило авторів: стародавні єгиптяни не ставили перед собою завдання відображення тривимірного простору, швидше переслідуючи мету передачі цінної інформації. При наявності дії на картині подія розвивалося не в глибину, а вздовж площини полотна, переміщаючись по рядках. 

Однак проблема зображення простору поступово піднімалася в живопису Стародавнього Єгипту. Іноді художник розміщував одну фігуру позаду іншої, але цей прийом далеко не завжди опинявся вдалим. Наприклад, на зображенні фараона Ехнатона, що сидить поруч дружини, можна було здогадатися лише по зображенні її руки, яка обіймала чоловіка. Долоня немов виникала з нізвідки, а друга мирно спочивала в руці фараона. Але існували і більш вдалі приклади геометрії в картинах художників, наприклад при зображенні лучників. Кожен наступний лучник, що стоїть позаду, зображувався із зсувом трохи вгору і вправо: так виникало враження глибини. З точки зору геометрії це вже називається фронтальною косокутньою аксонометрією. Необхідність зображення об'ємного простору призводить до розвитку геометричних систем в живопису – аксонометрии. Хоча її зачатки почали зустрічатися в живопису Стародавнього Єгипту, справжній розвиток вона отримала пізніше. [3, 138]

Паралельний живопис середньовічного Сходу.

  Спроби передачі глибини на площині стали виявлятися в живопису Стародавнього Єгипту, які штовхнули до створення нової системи – аксонометрии, що також називають паралельною перспективою. Ця система була названа мистецтвознавцями «риб'ячою кісткою» за аналогією: вона мала вісь сходу і тяжіла до лінійної перспективі, але так і не переросла в неї. «Риб'яча кістка» зустрічалася не тільки в Давньому Єгипті, а й в зображеннях Стародавнього Риму і Древньої Греції. Однак Рим незабаром упав, не встигнувши в достатній мірі розвинути систему геометрії в картинах художників, і свій розвиток аксонометрія знайшла лише на кілька століть, знайшовши своє місце в живописі середньовічного Китаю і Японії. Культура і мистецтво Китаю були скуті релігійними догматами: в цих краях мирно існували пліч-о-пліч даосизм, конфуціанство і буддизм. На тлі культурно-філософських вчень розвивалося два напрямки мистецтва – світське і релігійне. Шлях пізнання істини проходив через відмова від мирської суєти, звернення до природи для заспокоєння і духовного очищення. Геометрія картини і зорове сприйняття були складними як для глядача, так і для художника. Природу і її зображення китайський художник сприймав як духовний простір, в якому розчинялася особистість глядача. Саме тому став широко поширений пейзаж. Аксонометрія як центральна проекція з нескінченно віддаленим центром проектування ідеально підходила даної філософії споглядання. Точка зору художника як би віддалялася в нескінченність, розчиняючись в просторі природи: художник ставав частиною самого мистецтва. Аксонометрія не знає ні кута зору, ні точок сходу, ні навіть лінії горизонту, адже він як би вислизає від спостерігача, піднімаючись кудись нагору і розчиняючись в просторі і споглядачеві. Мистецтво східного пейзажу представляло собою погляд з нескінченності, який проходив крізь картину і кидався далі в нескінченність. Паралельна перспектива найбільш показова в китайському живописі на картинках з рукотворними будівлями – паралелепіпедами будинків і інших людських споруд. Аксонометрія геометрії на картинах маслом очевидна, але і тут можна помітити, що сцени людського життя бачаться художникові як би здалеку, з нескінченності, що символізує крихітних людських турбот і проблем: світ постає мурашником. [5, 95]

Аксонометрія має три координати. Якщо вибрати таку точку зору, що дві осі представлятимуть фронтальну ортогональную проекцію, то по третій координаті будуть помітні спотворення. Така проекція називається фронтальною косокутньою аксонометрією, в якій зазвичай і творили китайські майстри. Коефіцієнт спотворення по третій координаті не фіксований, так що судити про глибину за першими двома координатами не представляється можливим. Нечіткість глибини посилюється паралельною ліній, які не прагнуть в одну точку в міру віддалення від спостерігача. Так в паралельній проекції виникають два протиборчі початки: плоске і глибинне. Картина має глибинний початок, але по суті є плоским зрізом, що переміщається по глибині без метричних скорочень.

 Східні художники спритно користувалися цим протиріччям, перетворюючи його на своєрідний компроміс між плоским (Стародавній Єгипет) і глибинним (Відродження). Дана діалектика про протистояння протилежностей зручно вкладалася в древнекитайську філософію Інь-Ян. Ян для китайського живописця символізували світлі місця на картині: гори, сніг, хмари. Інь ж заповнювало темні ділянки: води і низини, куди стікалися всі нечистоти. Чорно-білі китайські пейзажі були виконані не тільки майстерно, але і проникливо і вдумливо. Що стосується японського мистецтва, воно росте з старокитайської культури. Але все ж відокремлена від усього світу морями Японія аж до наших днів зберегла свою самобутню культуру. Протягом всієї історії японського мистецтва живопис не знав різких змін. Геометричною основою була все та ж паралельна перспектива. Особливо показово це є в роботах знаменитого Кацусика Хокусая. Його творчість стала вершиною геометрії паралельних проекцій в живопису.

Свято ліхтариків на мосту Темма

Кацусіка Хокусай (1824 – 1834)

Лінійна перспектива Відродження. 

Світ став змінюватися, і це не могло не відбитися на творчості: трощилися старі канони, приходило нове мислення, емпіричне знання перемогло над зоровим досвідом. Геометричною мовою мистецтва стала перспектива. Хоча зародки нового методу зустрічалися ще в античності, тільки з Ренесансом ця проекція отримала повний розвиток. Лінійна перспектива ґрунтується на законах геометричної оптики, відображаючи в картині перцептивное простір. Зір стає чільним над умоглядом. Перспектива поєднала в собі дві головні риси культури відродження: раціоналізм і емпіризм. Головними інструментами в руках художників стали лінія горизонту і точка сходу. Точка сходу є головною точкою в картині і центром композиції, а паралельні лінії, які прагнуть до неї, покликані підводити глядача до її смисловому витоку. Композиція картини придбала сувору вертикальну симетрію, що проходить через головну точку. Художники Відродження прагнули не тільки передати глибину простору, але і обчислити її. Саме тому на картинах нерідко можна було спостерігати квадрати плиток підлоги або стелі, адже вони представляли собою систему координат. Таким чином архітектура в живопису ставала архітектонікою картини. Разом з геометрією в мистецтво Відродження прийшло нове художнє мислення. Ренесансна перспектива стала революцією в художньому мисленні і осмисленні мистецтва. У живописі став відбиватися глибокий інтерес до науки.

 Зворотня перспектива живопису Стародавньої Русі

 Завдяки суворої вивіреності геометричних правил цей варіант перспективи здавався єдиним правильним з усіх можливих. Однак існувала й інша система перспективи – зворотна. Давньоруська живопис, на жаль, майже не дійшов до наших днів. Оліфа, якою для кращого збереження покривали живопис, мала властивість темніти з часом, так що після століть вона перетворювалася в чорне незворушне покриття. Такі почорнілі дошки було прийнято або утилізувати, сплавляючи по річках, або спалювати, або ж оновлювати по контурам, які ледь читаються. Це тривало до кінця минулого століття, коли під одним чорним шаром було виявлено інший, а за ним другий, і третій, і четвертий, і п'ятий, поки раптом з глибини століть не спливали пронизливо-яскраві фарби. Це відкриття ознаменувало повернення з небуття цілої епохи давньоруської культури. Завдяки цьому погляду відкрилася нова, відмінна від ренесансної перспектива, яку мистецтвознавці тут же охрестили примітивною, наївною і невірною.

Давньоруський живопис поєднував в собі безліч протиріч, проте незабаром стає ясно, що це не набір невідповідностей, а відмінна від усіх інших система перспективи, яка була названа зворотною. 

Витоки зворотної перспективи знаходяться в візантійському мистецтві, з якого виросла давньоруська культура. Дивно, але саме зворотна стала основою для створення прямої перспективи, звичної європейцям. Але так чи інакше ні давньоруські, ні візантійські художники не дотрималися строгих правил зворотної перспективи. Майстри спиралися на власні відчуття краси і міри. Багато хто задається питанням, чим була викликана розбіжність паралельних ліній в зворотній перспективі. Дотримуючись однієї з точок зору, її коріння сягає в релігійні завдання: зображення на іконах мали переконати віруючого в реальності того, чого він не здатний пояснити. Зворотна перспектива поміщає глядача як би в точці сходження паралельних ліній, а все, що він бачить перед собою, немов збільшується з віддаленням від його точки зору. Так з'являється відчуття реальності ірреального, враження нікчемності власної персони перед зображуваних на картині. Саме це і підкреслювало сенс і значимість ікони за допомогою відображення в системі зворотної перспективи. [6]

Сучасне мистецтво 

На даний час геометрія в живопису, скульптурі та архітектурі прийняла буквальне значення. Часи змінюються, і в сучасному мистецтві проекції і перспективи вже не завжди мають таке велике значення. Тепер геометрія в живопису – стиль, що виділився в справжніх реаліях. Його зачатки виникли ще в 900-700 рр. до н. е. Мистецтвознавцями виділяється протогеометріческій стиль. Він був характерний для різного декоративноприкладного мистецтва. Але ближче до XX століття геометрія набула нового значення не тільки для живопису, а й для мистецтва в цілому. 

Геометрія в живописі назви не має, принаймні, єдиного, яке підійшло б кожному творцеві. Стали виділятися такі стилі, як кубізм, абстракціонізм, супрематизм, футуризм, і багато інших, де сама геометрія стала своєрідним предметом мистецтва. Діячі в цих стилях живопису і скульптури створили величезну кількість інноваційних сюжетів, які хвилюють розум глядачів до цього дня. Спірні, але композиційно точні і гармонійні твори мистецтва надихають сучасників на нові творчі звершення. Серед відомих художників з геометрією в живопису можна назвати, наприклад, Малевича, Кандінського, Пікассо та багатьох інших. Їх роботи відомі навіть тим, хто погано знайомий з мистецтвом.

«Дора Маар з кішкою» (фр. Dora Maar au Chat) — картина Пабло Пікассо

 Геометрія в живописі художників сучасності проявляється набагато яскравіше, ніж в роботах старих майстрів, чому такі приклади легко запам'ятати. Згадати хоча б "Чорний квадрат", дискусії про який досі не вщухають. Проявами такого творчості можуть бути як картини з абстракцією геометрії, де кола зустрічаються з трикутниками і лініями, утворюючи єдиний ансамбль з вивіреною композицією і конкретним змістом, так і дивовижні скульптури, що складаються з найпростіших фігур, але в якій можна прочитати глибоке розуміння устрою світу і оточуючих предметів. Сучасні роботи часто завуальовані, але при цьому дивляться в саму суть, витягуючи на світ первісну ідею предмета, при цьому іноді в самій несподіваній формі. 

Геометрія в сучасному живописі тепер не інструмент для створення мистецтва, а сам засіб, суть ідеї. Раніше люди вивчали перспективу і її різновиди, щоб прийти до найбільш повного і точному зображенню навколишнього світу. Тепер же геометрія в живопису на картинах привела людей до принципово нового розуміння навколишнього світу, його небуквального складової. Люди глянули на картини по-новому. Геометрія в живописі художників сучасності проявляється набагато яскравіше, ніж в роботах старих мастеров. Сьогодні художникам важливо не досконалість відтворення зовнішньої оболонки тривимірних предметів в площині, а точна передача суті об'єктів за допомогою мінімуму засобів і максимуму виразу.  Можна зробити висновок висновок: геометрія в скульптурі і живопису повертається до свого початку. Колись творцям було важливо зафіксувати ідею зображуваного предмета, і лише пізніше вони перейшли до прагненню зображення навколишнього світу як можна більш точно. Тепер же геометрія картини і зорове сприйняття повертаються до початку, коли не настільки важлива точність і вивіреність перспективи, як має цінність ясність думки.

Література

1.                  Глейзер Г. І. Історія математики в школі (посібник для вчителів). - М.: Просвещение, 1964. - 376 с. с. 304.

2.                  Гутнов А.Е. Світ архітектури: Мова архітектури. - М.: Мол. Гвардія, 1985. - 351 с., Іл. - (Еврика). с.102 3. Померанцева Н.А. Естетичне основи мистецтва Стародавнього Егіпта. - М.:

Мистецтво, 1985, -255с., Іл., 16л. мул. - с.138

4.  Я пізнаю світ: Дитяча енциклопедія: Математика / Упоряд. А.П.Савіна, В.В. Станція,

А.Ю. Котова. - М.: ТОВ «Фірма» Видавництва АСТ», 1999 5. Анучина Л.В.  Культура Сходу (давні цивілізації і середньовіччя)/ Л.В. Анучина – X.: Регіон-інформ, 2005. — 152 с.

6. Режим доступу: https://sites.google.com/i.ua/art-culture10/розділ-і/живопис-київськоїрусі