Довідничок-помічничок "Готуємось до ЗНО. Подібні радикали. Дії з радикалами"

Приведення радикалів до найпростішого (нормального) виду.

      Для того щоб привести радикал до найпростішого або нормального виду, потрібно виконати послідовно такі операції:

1.               Спростити підкореневий вираз (якщо це можливо);
2.               Скоротити показники кореня і підкореневого виразу(якщо вони мають спільний множник);
3.               Винести з-під радикалу раціональні множники;
4.               Звільнитись під радикалом від дробів.

    Приклади. Привести до найпростішого виду радикали:

а)           б)            в)  

    Розв’язок: a) 

               б)                           в)  

 Два або декілька радикалів називаються подібними, якщо вони однакового степеня і мають однакові підкореневі вирази.

     Наприклад. і – подібні радикали, так як вони обидва третього степеня і мають однакові підкореневі вирази . Інколи радикали стають подібними після  деяких перетворень.

Приклад 1. Чи подібні радикали: ?                    

Відповідь: Подібні.

 Приклад 2. Чи подібні радикали     і ?

Відповідь: Не подібні.

Приклад 3. Чи подібні радикали:

а) і - так, оскільки однакові показники коренів та підкореневі вирази б)   і - ні, оскільки різні показники коренів.

в)    і - ні, оскільки різні підкореневі вирази.

 Приклад 4. Довести подібність: 1)  і

Розв’язок:     

 Маємо подібні радикали, показники кореніврівні і підкореневі вирази одинакові.

Дії з радикалами.

Додавання і віднімання. Додавання і віднімання радикалів виконують так само, як і додавання і віднімання раціональних одночленів. Щоб додати(або відняти) радикали, їх з’єднують знаком плюс(чи мінус), виявляють подібні члени, якщо вони є, а потім їх додають.

Приклади. Виконати дії:

 Розв’язок:

Розв’язок:.

Множення.

 Щоб перемножити декілька радикалів однакового степеня, потрібно перемножити підкореневі вирази і добути корінь з добутку того ж степеня.

Якщо перемножуються радикали з різними показниками, то їх потрібно спочатку звести до одного показника. Якщо перед радикалами є  коефіцієнти, то їх перемножають.

 Приклад 1. Виконати множення:

                         а) .

Розв’язок:

б)  .

Розв’язок:

                   в)

 Розв’язок:

 Приклад 2. Перемножити радикали з різними показниками:

                         а) 

 Розв’язок:

                          б)

 Розв’язок: для степенів коренів 2,3,4,6 знаходимо найменше спільне кратне – 12 і переходимо до кореня 12 степеня:

.

Ділення. Щоб поділити радикали з однаковими показниками, потрібно розділити їх підкореневі вирази і з частки добути корінь того ж степеня.

Щоб розділити радикали з різними показниками, їх потрібно привести спочатку до одного показника. Якщо є коефіцієнт, то їх ділять.

       Приклад 1. Виконати ділення:

              а)

        б) .

              в)

              г) .

    Приклад 2. Виконати ділення, використовуючи формули скороченого множення:

Піднесення до степеня.

Щоб піднести радикал до степеня, потрібно піднести до цього степеня підкореневий вираз, залишивши той же показник радикала:

.

      Приклади. 1.

2.  

3..

      Алгебраїчні суми радикалів можна підносити до степеня, користуючись формулами скороченого множення.

Приклади. 1.

2.                                                          

Добування кореня.

Щоб добути корінь з кореня, потрібно перемножити показники коренів:

Приклади:

Квадратний корінь із двочлена виду A± .

При перетворенні виразів, такого виду:

де і , знаки в правій  і лівій частині одночасно беруться чи верхні чи нижні(відповідно). Ця формула називається формулою складного радикала.

   Приклади:

1.

2.

.