Довідничок-помічничок "Найпростіші перетворення радикалів"

Найпростіші перетворення радикалів.

     Означення тотожних ірраціональних виразів і тотожного перетворення залишається таким же, як і для раціональних виразів. Для виконання обчислень важливо вміти користуватися вище наведеними рівностями справа на ліво.

1.                     ,  і .
2.                       ,  і .
3.                     , .
4.                     m,n – натуральні числа.
5.                     , m,n,p – натуральні числа.
6.                     m,n–натуральні числа.

    Користуючись цими властивостями, можна добути корінь із різних виразів.

        Приклади:  1.  а).

                                   б).

                              2.  a).

                                   б).

                             3.  a).

                                   б).

                             4.  a).

                                  б).

                             5.  a).

                                  б).

                                  в).

Винесення множника за знак радикала.

    Якщо підкореневий вираз розкладається на такі множники, що з деяких можна добути точний корінь, то такі множники, після добування з них кореня можуть бути написані перед знаком кореня (тобто можуть бути винесені за знак кореня). Таке перетворення називають винесенням множника за знак радикала. Таке перетворення можна виконати, використовуючи формулу:   .

       Приклади: а).    

                           б).

                           в).

      Примітка. Якщо а від’ємне і n – парне, рівність невірна, але при будь-яких значеннях a, b, n:  .

     Приклади. Винести множник за знак радикала, враховуючи допустимі значення букв або обмежування на них:    

a). при    

                                         б).   при

                                         в).

      Розв’язок:

                       а).

                       б).

                      в).

Внесення множника під знак радикала.

             Для внесення під знак кореня множників, які стоять перед ним, достатньо піднести такі множники в степінь, показник якого дорівнює показнику кореня, а потім написати результат під знаком кореня. Це виконується за формулою:

         Приклад 1.      

        Приклад 2.  

        Приклад 3.  

В прикладах 1-3 всі множники перед радикалами вважаються додатними. Приклад 4. Внести множники під знак радикала при заданих значеннях букв:                                                                                      

   якщо Приклад 5. Не добуваючи кореня, визначити яке з чисел більше: чи Розв’язок: Так як то

Зведення до раціонального вигляду членів дробово-раціональних виразів.

       Використовуючи два попередніх перетворення радикалів, можна звільнитися від радикалів у знаменнику, або чисельнику.

      Приклад 6. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику:

                      а)                       б)                      в)

      Розв'язок:  а) Щоб в першому радикалі із знаменника можна було б добути квадратний корінь, помножимо чисельник і знаменник дробу на 7:

б) Щоб в другому радикалі із знаменника можна було б добути кубічний корінь, помножимо чисельник і знаменник дробу на 3²:

в) Щоб в третьому радикалі із знаменника можна було б добути корінь четвертого степеня, помножимо чисельник і знаменник дробу на 2:

Якщо підкореневий вираз – алгебраїчний дріб, подібні приклади розв’язують аналогічно.

    Приклади.  a).  

                        б).  

в).

     Примітка. Останній приклад можливо розв’язати і іншим способом: