Віктор Кицун вчитель математики Старосинявської ЗОШ

І-ІІ ступенів №1

 

 

 

ДПА та ЗНО.  Обчислюємо раціонально:

піднесення чисел  до квадрата

 

 

1.                  Піднесення до квадрата чисел першого, другого та  третього           десятків

 

 

Щоб піднести число до квадрата, треба помножити його  саме на себе. Оскільки квадрат числа є добутком двох однакових чисел, то квадрати чисел – це числа діагоналі таблиці Піфагора. Під час вивчення таблиці множення таким числам потрібно приділити особливу увагу. Знаходження квадратів чисел від 1 до 10 не викликає труднощів, а квадрати чисел другого десятка легко пригадати або  знайти за допомогою  «Суперблискавки» для множення однакових двоцифрових чисел. Після розв’язування достатньої кількості вправ  квадрати чисел від 1 до 20  легко запам’ятовуються.

 

Таблиця квадратів чисел від  1 до 20

 

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
n2	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

 

 

17² = 17·17 = (17+7)·10 + 7·7 = 240 + 49 = 289;   15² = 15·15 = (15+5)·10 + 5·5 = 225.

 

Застосувавши правило для множення чисел третього десятка,  можна знайти квадрати чисел від 20 до 30:

 

23² = 23·23 = (23+3)·20 + 3·3 = 529; 27² = 27·27 = (27+7)·20 + 7² =  729.

 

2.   Піднесення до квадрата чисел, що закінчуються на 5

 

Примітка. Квадрат числа, яке закінчується на 5,  завжди закінчується  на 25.

 

Щоб піднести до квадрата число, яке закінчується цифрою 5, можна число його десятків  помножити на число, збільшене на 1, отриманий результат помножити на 100 і  додати 25:

15² = 1·2·100 + 25  = 225; 25² =  2·3·100 + 25  = 625;   35² = 3·4·100 + 25 = 1225;       45² = 4·5·100 + 25 = 2025.

Неважко помітити, що число десятків для двоцифрового числа виражає його перша цифра, а помножити на 100 і додати 25 – означає дописати 25.

 

 

Щоб піднести до квадрата двоцифрове число, яке закінчується цифрою 5,  можна його першу цифру  помножити на число, збільшене на 1, і до отриманого добутку дописати 25.

75² = ?  Множимо першу цифру цього числа на число, більше на 1:

7·(7+1) = 7·8 = 56 – перша частина відповіді; дописуємо  25 – другу частину відповіді:  75² = 5625.

 

Примітка. Відповідні правила можуть відрізнятися формулюваннями, але їхня суть залишається незмінною. За подібним правилом  знаходять  квадрати й інших чисел, які  закінчуються цифрою 5. 

 

Щоб знайти квадрат такого числа, потрібно відкинути  цифру 5, помножити отримане число на  число, збільшене на 1, і до отриманого результату дописати 25  (отриманий результат помножити на 100 і додати 25).

 

65² = 6· (6+1) ·100 + 25 = 4225; добуток 6·7 =  42  –   перші  цифри відповіді;

25  –  наступні цифри відповіді. 

115² = 13225;    11·12 = 132   і дописуємо 25. 

305² = 93025;    30·31 = 930   і дописуємо 25.   

Примітка.  Знайти квадрат трицифрового числа, запис якого закінчується на 05, можна за допомогою іншого  правила:  до  числа, збільшеного на 5 і помноженого на його першу цифру, дописати 25.

 

205² = ?   (205 + 5)·2 =  210·2 = 420 – перша частина відповіді;

5² = 5·5 = 25 – друга частина відповіді:   205² =  42025;

305² = ?   (305 + 5)·3 =  310·3 = 930 – перша частина відповіді;

5² = 5·5 = 25 – друга частина відповіді:   305² =  93025;

405² =  ?   (405 + 5)·4 =  410·4 = 1640 – перша частина відповіді; 5² = 5·5 = 25 – друга частина відповіді:   405² =  164025.

 

Щоб знайти квадрат  числа, запис якого закінчується на  05, можна  до цього числа, збільшеного на 5 і помноженого на число його сотень, дописати 25.

1105² = ?  У даному числі 11 сотень. (1105 + 5)·11 = 1110·11 = 12210 – перша частина відповіді;  25 – друга частина відповіді:  1105² = 1221025.  

 

3.                  Піднесення чисел до квадрата допомогою      формул скороченого множення

 

   Якщо записати (уявити)  число у вигляді суми (різниці)   двох чисел, одне з яких кругле, то знайти квадрат  такого числа зручно, застосувавши формули квадрата двочлена:  (a + b)² = a² + 2ab + b² або   (a - b)² = a² - 2ab + b².

 

62² = ( 60 + 2 )² = 60² + 2·60·2 + 2² = 3600 + 240 + 4 = 3844;

48² = ( 50 - 2 )² = 2500 - 200 + 4 = 2304;

123² = (120 + 3)² = 120² + 2·120·3 + 3² = 14400 + 720 + 9 = 15129.

            Якщо трицифрове число записати (уявити) у вигляді суми розрядних доданків,  то можна  застосувати формулу квадрата тричлена: 

(a + b + c)² = a² + b^{2  +} c² + 2·(ab + ac + bc):

123² = 100²+20²+3²+2·(100·20+100·3+20·3) = 10409 + 4720 = 15129.  Проте для усних обчислень такий спосіб занадто громіздкий.

 

У запропонованих способах  можна використовувати не кругле,  а «зручне» число  –  число, на яке множити  просто та зручно. 23² = 21·25+2² = 525+4 = 529; 26² = 27·25+1² = 675+1 = 676; «зручне» число –  25.

  

 

Навчаємось, усміхаючись!

 

 

J  –  Іванку, що трапилось, чому ти знову               спізнився?

     –  Мене мама затримала – ніяк не могла                розв’язати задачу…  J

 

J  – Матусю!  Сьогодні  мене вчитель похвалив.

–  За що?

–  Я сказав,   що  18·2 = 35.

–  Але ж це неправильно!

–  Так, але  з  усіх відповідей моя була                                                      найближчою  до правильної.  J

              

J  –  Іванку, що трапилось, чому ти знову                                                                                                            спізнився?

–  Мене мама затримала – ніяк не могла                                                                                                             розв’язати задачу…  J

 

 

 

У методичних рекомендаціях  використано матеріали посібника   «Цікаво. Про100. Зручно» Способи та прийоми раціональних обчислень для школярів та студентів і не тільки…/ упоряд. Кицун В. П., 

Кицун О.В – Хмельницький., ФОП Мельник А. А. 2018. – 150 с. 

ISBN 978-617-7600-26-7   

УДК 519.813       

При копіюванні матеріалів посилання на видання обов’язкове. 

      

Всі права застережені

All rights  reserved