Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних

Тема. Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних

Мета: домогтися засвоєння учнями термінології, вивченої на попе­редньому уроці, та засвоєння змісту алгоритму знаходження значень змінної, при яких даний раціональний дріб дорівнює нулю; сформу­вати вміння застосовувати вивчений алгоритм для розв'язування вправ, що передбачають знаходження значень змінних, при яких зна­чення поданого раціонального дробу дорівнює нулю; вдосконалити вміння, формування яких було розпочато на попередньому уроці.

Тип уроку: застосування знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Дробові вирази. Ра­ціональні вирази».

Хід уроку

I. Організаційний етап

Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

1. Виконання вправ домашньої роботи перевіряється ретельно в учнів, які потребують додаткової педагогічної уваги (зібрати зошити на пе­ревірку).
2. Математичний диктант

Варіант 1

1. Запишіть вирази: ; (х – у); (2х + у) : (2х + у); ху(х + у).

Підкресліть цілі вирази.

2. Чи можна подати вираз у вигляді многочлена?
3. Які значення змінної допустимі для виразу ?
4. Які значення змінної допустимі для виразу (а + 3)(а – 5)?

5*. Запишіть раціональний дріб, ОДЗ якого є всі числа, крім 0 і -5.

Варіант 2

1. Запишіть вирази: ; (x + y) : (x + y); (x – 2y)(x + 2у); х(х – у).

Підкресліть цілі вирази.

2. Чи можна подати вираз ab(x + у) у вигляді многочлена?
3. Які значення змінної допустимі для виразу (х – 5)(х + 7)?
4. Які значення змінної допустимі для виразу ?

5*. Запишіть раціональний дріб, ОДЗ якого є всі числа, крім —2 і 2.

III. Формулювання мсти і завдань уроку

Створенню відповідної мотивації на уроці може сприяти виконан­ня учнями завдання:

1. Знайдіть значення виразів , , при а = 2. Порівняй­те здобуті результати. Що ви помітили?
2. Чи існують інші значення змінної а, при яких ці вирази дорівню­ють нулю?
3. Чи буде дорівнювати нулю при а = -2 значення виразу ? Чому?

Після обговорення результатів, здобутих у ході виконання запро­понованих вище завдань спільними зусиллями доходимо висновку: одним із важливих питань, що пов'язані з поняттям дробового виразу, є питання про умови рівності дробу нулю. Вивчення цього питання і є основною дидактичною метою уроку. Завдання на урок логічно випливають із цієї мети: сформулювати загальне правило, а також на­вчитися застосовувати це правило під час розв'язування задач.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття учнями змісту навчального ма­теріалу уроку слід поновити в пам'яті учнів зміст таких понять та алгоритмів: виконання арифметичних дій зі звичайними дробами, перетворення цілих виразів (одночленів, многоч­ленів) у многочлен і розкладання цілих виразів на множники, способи розв'язання цілих рівнянь, що зводяться до лінійних.

Виконання усних вправ

1. Назвіть чисельник і знаменник раціонального дробу:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Розв'яжіть рівняння: а) -2х = 4; б) х + 5 = 0; в) у² = 0; г) у = 3; д) 0,5х = 5; є) х² = -1.
3. Подайте вираз у вигляді добутку:

а) 10х + 15у; б) а² – 25; в) 42у² – 21у; г) 48с – 8с²; д) 6т – 24; є) 16x – xy;

ж) 27 + х³; з) а⁸ – а⁷.

4. Обчисліть:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) 2,3 · 3; є) 8,6 : 2; ж) 15 : 2;

з) 2,1 : 2;  и) 6 : 0,3; к) 19 : 3; л) : 0,3.

V. Застосування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Умова рівності дробу нулю.
2. Алгоритм застосування умови рівності дробу нулю.
3. Приклади розв'язання завдань на застосування вивченого алгоритму.

 Умова рівності дробу нулю є одним із питань, які передбачені програмою з математики і мають широке практичне застосу­вання, тому вже під час першого знайомства з поняттям раціо­нального дробу слід приділити йому належну увагу.

Виходячи з результатів обговорення питань, запропонованих на етапі мотивації навчальної діяльності учнів, спочатку вчитель форму­лює умову рівності дробу нулю (див. опорний конспект №1) у вигляді системи, що складається з двох умов: знаменник дробу не дорівнює нулю, чисельник дорівнює нулю.

Після чого складається орієнтовна схема дій для розв'язування за­дачі на знаходження значень змінних, при яких раціональний дріб дорівнює нулю:

1) знайти ОДЗ раціонального дробу;

2) знайти значення змінної, при яких чисельник дробу дорівнює нулю (прирівняти чисельник дробу до нуля та розв'язати здобуте рівняння);

3) з'ясувати, які корені рівняння (див. попередній пункт) не вхо­дять до ОДЗ;

4) записати відповідь — корені рівняння (див. 2 пункт), які входять (не суперечать) ОДЗ.

Після формування алгоритму необхідно проілюструвати застосу­вання алгоритму на різних прикладах: без наявності сторонніх коренів та за наявності сторонніх коренів.

VI. Засвоєння вмінь

Виконання усних вправ

1. Який із записів є умовою, якщо дріб дорівнює нулю?

а) х – 4 ≠ 0; б) х² – 9 ≠ 0; в) г)

2. Складіть дріб, для якого умова рівності нулю записується так:

а) б) в) г) х = 3.

Виконання письмових вправ

 3 метою реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв'я­зати завдання такого змісту:

1. Знаходження значень змінних, при яких значення раціонального дробу дорівнює деякому числу або нулю.

1)  При якому значенні змінної значення дробу дорівнює:

а) 1; б) 0; в) -1; г) 3?

2) При яких значеннях змінної значення наведених дробів дорівнюють нулю?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2. Знаходження ОДЗ (дробового) раціонального виразу.

1) Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

а) ; б) ; в) ; г) .

2)  Укажіть допустимі значення змінної у виразі:

а) х² – 8х + 9; б) ; в) ; г) ; д) ;

є) .

3) Знайдіть область визначення функції:

а) ; б) ; в) .

3. Знаходження значень дробового виразу при даних значеннях змін­ної (змінних).

Знайдіть значення виразу при:

а) х = 44, у = 4; б) х = 46, у = 46; в) х = 1,25, у = 0,25.

4. Складання виразу за текстовою умовою та обчислення значення складеного виразу при заданих значеннях змінних.

1) Складіть вираз для розв'язання задачі.

Катер проплив 25 км за течією річки і 20 км проти течії. Знайдіть час руху катера, якщо його швидкість у стоячій воді v км/год, а швидкість течії річки и км/год.

2) Складіть вираз для розв'язання задачі.

Потяг за певний час повинен був подолати шлях 250 км, рухаючись зі швидкістю а км/год. Але через 2 год його було затримано. Тому, щоб прибути до місця призначення вчасно, він збільшив швидкість на 25 км/год. Знайдіть тривалість затримки.

5. Виконання вправ на перетворення цілих виразів із застосуванням алгоритмів, вивчених у 7 класі.

Розкладіть на множники:

а) a²b + ab²; б) х³у – ху³; в) 7х² – 14ху + 21ах; г) 9ху – 3bу + 15ау;

д) х⁴ – х³ + х² – х; є) с⁴ – 2с³ – с² + 2с; ж) (а – 2)² – 25а²;

з) (b + 3)² – 36b²; и) 125x³ + 8; к) 216х³ – 27; л) (а + 1)³ + а³;

м) (b + 2)³ – 86³.

6. Для учнів, які мають достатній та високий рівень знань — виконання логічних вправ та завдання підвищеного рівня складності.

1) Складіть дріб, що містить змінну х у знаменнику і має зміст при всіх значеннях х.

2) Доведіть тотожність:

а) а⁴ + а² + 1 = (а² + а + 1)(а² – а + 1);

б) b⁸ + b⁴ + 1 = (b⁴ + b² + 1)(b⁴ – b² + 1);

в) с⁴ + 4 = (с² – 2с + 2)(с² + 2с + 2).

3) Знайдіть пропущений вираз:

VII. Підсумки уроку

Серед запропонованих чисел виберіть ті, що задовольняють умову для дробу:

а) дріб існує;

б) дріб дорівнює нулю.

Числа: 4; -4; 16; -16.

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити зміст умови, коли дріб дорівнює нулю, повторити озна­чення раціонального дробу, ОДЗ виразу.
2. Виконати вправи на закріплення алгоритму знаходження значень змінних, при яких дріб дорівнює нулю та повторення алгоритму знаходження ОДЗ виразу.
3. На повторення: повторити скорочення звичайних дробів та розкла­дання многочленів на множники, ділення степенів з натуральним показником.