Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми і добутку.

 

Тема.  Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми і добутку.

Цілі уроку:

• Формування предметної компетентності: ознайомити учнів з комбінаторною областю задач; домогтися засвоєння комбінаторних правил суми та добутку; сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають застосування цих правил.

• Формування ключових компетентностей:

- cпілкування державною мовою: доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію;

- інформаційно – цифрова компетентність: уміння діяти за алгоритмом, вміння використовувати математичні методи у життєвих ситуаціях;

- уміння вчитися протягом життя – визначати мету навчальної діяльності, відбирати і застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення мети.

Тип уроку:  засвоєння нового матеріалу;

.

Хід уроку

І.  Організаційний момент

(Перевірка присутності учнів на уроці та готовності учнів до уроку)

ІІ.  Вивчення нового матеріалу.

     Тема нашого уроку «Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми і добутку»

         Комбінаторика - важливий розділ математики, знання якого необхідні представникам різноманітних спеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодах та інших.

Комбінаторикою називається розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних сполук, що відповідають тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів (елементів множини).

Комбінаторні методи лежать в основі вирішення багатьох задач теорії ймовірностей та її застосування.

 З задачами, в яких доводиться вибирати ті чи інші предмети, розміщувати їх в певному порядку і відшуковувати серед різних розміщень найкращі, люди стикнулися ще в доісторичну епоху, обираючи найкращі розміщення мисливців під час полювання, воїнів під час битви, інструментів під час роботи.               Певним чином розміщувалися прикраси на одязі, візерунки на кераміці.

З ускладненням виробничих і суспільних відносин ширше приходилося користуватися загальними поняттями про порядок, ієрархію, групування. В тому ж напрямку діяв розвиток ремесл, торгівлі.

Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до XII – XIII ст. до н.е.

 Пізніше з'явились нарди, шашки й шахи, а також їх різноманітні варіанти (китайські та японські шахи, японські облавні шашки "го" тощо); в кожній з цих ігор доводилося розглядати різноманітні комбінації фігур, що мали здатність пересовуватись, та вигравав той, хто їх краще вивчив, знав переможні комбінації та вмів уникати програшів.

Основоположниками ж сучасної комбінаторики є такі вчені: Яків Бернуллі, П’єр Ферма, Леонард Ейлер, Коші Огюстен, Жозеф Луї Лагранж.

Часто доводиться розв'язувати задачі, в яких потрібно вибирати з даної кількості елементів такі, що мають певні властивості, або розміщувати їх у певному порядку.

Наприклад, скільки пар чергових можна утворити з 24 учнів групи? Скількома способами можна розмістити 8 гостей за столом? Скільки існує п’ятицифрових телефонних номерів?

     Задачі такого виду називаються комбінаторними і розв'язуванням цих задач ми і будемо займатись.

Щоб можна було розв'язувати комбінаторні задачі різних видів, ознайомимося з основними комбінаторними правилами: правилом суми і правилом добутку.

Спочатку розглянемо правило суми: якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а елемент В — n способами (причому будь-який вибір елемента А відрізняється від вибору елемента В), то вибрати А або В можна m + n способами.

Приклад 1. В ящику знаходиться 7 білих і 4 чорних кульки. Скількома способами можна вибрати одну кульку?

Розв’язання: вибрати одну кульку (білу, або чорну) можна 7 + 4 = 11 (способами).         

 Відповідь: 11 способами.

Правило суми можна розповсюдити на три і більше елементів.

Сформулюємо правило добутку: якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна вибрати (незалежно від вибору елемента А) — n способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати mn способами.

Приклад 2. У їдальні є вибір з 2 перших і 5 других страв. Скількома способами можна обрати обід з першої та другої страв?

Розв’язання: обід з першої і другої страви можна обрати 2 ∙ 5 = 10 (способами).               

Відповідь: 10-ма способами.

Правило добутку теж розповсюджується на три і більше елементів.

 Для  застосування цих правил краще використовувати схему “Вибір правила”

IV. Закріплення нового матеріалу

Усні вправи

Робота з підручником

№№ 908,910,912,914,916

V. Застосування знань і вмінь.

Тестові завдання

1.Яких правил комбінаторики не існує?

 

а)суми  б)різниці  в)добутку   г)частки

 2.На пошті є 4 різні конверти і 6 різних марок. Скільки існує способів купити конверт з маркою?

а)20  б)24 в)10 г)12

3.В магазині продаються 4 різних олівців, 6 ручок та 3 лінійки. Скількома способами можна купити комплект з олівця, ручки та лінійки?

а)24 б)18 в)72  г)12

 4.Скільки існує способів розставити 4 різні книжки на поличці? 

а)6   б)12   в)18  г)24

 5.В пеналі лежать 4 ручки та 7 олівців. Скількома способами можна взяти з пеналу 1 ручку або 1 олівець? 

А)28  б)11  в)7   г)4

6.Якщо деякий елемент А можна вибрати n способами і після кожного такого вибору (незалежно від вибору елемента А) інший елемент В можна вибрати m способами, то скількома способами можна вибрати пару елементів А і В ?

 а)m*n   б)m-n    в)m+n    г)m/n

 7.Якщо деякий елемент А можна вибрати n способами, а елемент В (незалежно від вибору елемента А) – m способами, то скількома способами можна вибрати А або В?

а)n*m   б)n+m    в)n/m   г)n-m

 8.Скільки трицифрових чисел можна скласти з чисел  4, 2, 5, якщо цифри в числі можуть повторюватися?

 а)6  б)12  в)27  г)9

 9.Скільки трицифрових чисел можна скласти з чисел 1, 2, 0, якщо цифри в числі можуть повторюватися?

а)18  б)3  в)8   г)12

10.Скільки трицифрових чисел можна скласти з чисел 5, 2, 0, якщо цифри в числі не повторюються? 

а)6   б)18  в)4   г)9

11.Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з чисел 8, 6, 3, 4, 5, якщо цифри в числі не повторюються?

а)120    б)24  в)64   г)125

VІ. Підбиття підсумків. Рефлексія.

VІІ. Домашнє завдання.

Опрацювати конспект.

№№ 911,913