Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Формула повної ймовірності. Формула Байєса. Підготувала: студентка групи ОП1-21-ФМБХайчіна Марина Олександрівна

Формула повної ймовірностіФормула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез. Погода на завтра – подія,Дощ, сніг, сонячно, пасмурно – умовні ймовірності. Сніг при +30°С – ймовірність гіпотизи.

Формула повної ймовірностіНехай подія 𝐴 може наступити лише за умови появи однієї з несумісних випадкових подій (гіпотез) 𝐻1,𝐻2,⋯.𝐻𝑛 , що утворюють повну групу подій 𝑃(𝐻𝑖) , і ймовірність кожної з подій цієї групи відома, а також відомі умовні ймовірності події 𝐴 у випадку, коли реалізується певна гіпотеза, тобто 𝑃(𝐴|𝐻𝑖) , де 𝑖=1,...,𝑛. Тоді ймовірність події 𝐴 визначається за формулою, яка має назву формули повної ймовірності: 𝑃(𝐴)=і=1𝑛𝑃(Ні)⋅𝑃(𝐴|Ні) де 𝑃(𝐻𝑖) − ймовірність реалізації 𝑖 -ої гіпотези;𝑃(𝐴|𝐻𝑖) − ймовірність події 𝐴 за умови, що реалізується гіпотеза 𝐻𝑖. 

Формула повної ймовірностіТе, що гіпотези 𝐻1,𝐻2,⋯.𝐻𝑛 утворюють повну групу несумісних подій, означає, що відносно них повинні виконуватися умови:𝐻𝑖∩𝐻𝑗= Ø, якщо 𝑖≠𝑗; 𝐻1∪𝐻2∪⋯∪𝐻𝑛= ΩВідповідно, матимемо, що 𝑃(𝐻1)+𝑃(𝐻2)+…+𝑃(𝐻𝑛)=1 Формула повної ймовірності є наслідком теорем множення і додавання ймовірностей випадкових подій. За теоремою множення ймовірностей отримуємо: 𝑃(𝐴)=𝑃(𝐻1)⋅𝑃(𝐴|𝐻1)+𝑃(𝐻2)⋅𝑃(𝐴|𝐻2)+⋯+𝑃(𝐻𝑛)⋅𝑃(𝐴|𝐻𝑛).

Формула повної ймовірності.(Приклад з інтернету)РА\Н1=410=0,4 РА\Н2=210=0,2 РА\Н3=310=0,3 В магазині три холодильники, в яких закінчується морозиво. У першому - 4 білих морозива і 6 шоколадних, у другому - 2 білих і 8 шоколадних, у третьому - 3 білих і 7 шоколадних. Навмання вибирають холодильник і виймають з нього морозиво, визначити ймовірність того, що воно біле. Позначимо події наступним чином: Hi – вибрано i-й холодильник, A – вибрано біле морозиво. Тоді ймовірності витягнути з кожного холодильника однакові і рівні 1/3. Ймовірності витягнути біле морозиво будуть рівні кількості морозива в кожному з холодильників розділеній на загальну кількість морозива Використовуємо формулу повної ймовірності: РА=13∗0,4+13∗0,2+13∗0,3=0,3 Таким чином ймовірність витягнути біле морозиво рівна 0,3 або 30%. r

Формула повної ймовірності.(Приклад 1)РА\Н1=330=0,1 РА\Н2=224=112 РА\Н3=118 РА\Н4=012=0 Ви сидите в тюрмі і граєте з сокамерника у дурня з переводами. Вас 4 чоловіки. У вас є 10 бубнова, яка ймовірність, що у кожного з ваших сокамерників є по 10 і всі 4 повернуться до вас. А – повернення 10 до вас, то б то у кожного є 10 якоїсь масті. Н1 – 1 гравець Н2- 2 гравець Н3 – 3 гравець, Н4 – в колоді, і - карта є 10. У колоді 36 карт, 6 з низ знаходяться у мене , тоді залишається 30, всього 4 десятки, тоді як у мене 1, то вірогідність карти з номером 10 – 3/30, або 0,1. Вірогідність наявності потрібної карти у гравців: Використовуємо формулу повної ймовірності: РА=110∗110+110∗112+110∗118+110∗0=431800 РА=431800=0,0238 Отже, вірогідність що карти повернуться до вас 2,38%. r

Формула повної ймовірності.(Приклад 2)РА\Н1=318=16 РА\Н2=212=16 РА\Н3=16 Ви сидите в тюрмі і граєте з сокамерника у дурня з переводами. Вас 4 чоловіки. У вас є 10 бубнова, яка ймовірність, що у кожного з ваших сокамерників є по 10 і всі 4 повернуться до вас. А – повернення 10 до вас, то б то у кожного є 10 якоїсь масті. Н1 – 1 гравець Н2- 2 гравець Н3 – 3 гравець, і - карта є 10. У колоді 24 карти, 6 з низ знаходяться у мене , тоді залишається 18, всього 4 десятки, тоді як у мене 1, то вірогідність карти з номером 10 – 3/18, або 1/6. Вірогідність наявності потрібної карти у гравців: Використовуємо формулу повної ймовірності: РА=16∗16+16∗16+16∗16=112 РА=112=0,083 Отже, вірогідність що карти повернуться до вас 8,3%. r

Теорема гіпотез (формула Байєса)Нехай подія 𝐴 наступає лише за умови появи однієї з несумісних випадкових подій (гіпотез) 𝐻1,𝐻2,⋯.𝐻𝑛 , що утворюють повну групу випадкових подій. Припустимо, що подія 𝐴 вже відбулась, і необхідно визначити ймовірність того, що подія 𝐴 відбулась саме завдяки реалізації гіпотези 𝐻𝑖 . На це питання дає відповідь теорема гіпотез, або формула Байєса. Теорему гіпотез можна вважати наслідком теореми множення ймовірностей та формули повної ймовірності. Теорему Баєса названо на честь Томаса Баєса (1701–1761), який першим запропонував рівняння, яке дозволяє новим свідченням уточнювати переконання.

Теорема гіпотез (формула Байєса)Ймовірність 𝑃(𝐻𝑖|𝐴), яка визначається як ймовірність гіпотези 𝐻𝑖 за умови, що подія 𝐴 відбулась, називається апостеріорною ймовірністю (на відміну від апріорної ймовірності 𝑃(𝐻𝑖) , яка відома ще до початку випробувань). Апостеріорна ймовірність обчислюється за формулою Байєса: РНі|А= 𝑃(𝐻𝑖)⋅𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐴)  

Теорема гіпотез (формула Байєса)(Доведення)Для визначення ймовірності добутку події 𝐴 й довільної гіпотези 𝐻𝑖 застосуємо теорему множення ймовірностей. Вона має вигляд:𝑃(𝐻𝑖|𝐴)=𝑃(𝐻𝑖)⋅𝑃(𝐴|𝐻𝑖) або (𝐻𝑖|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃⋅(𝐻𝑖)Прирівнюємо праві частини обох виразів і знаходимо звідти апостеріорну ймовірність: РНі|А= 𝑃(𝐻𝑖)⋅𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐴)  

Теорема гіпотез (формула Байєса)(Приклад з Інтернету)Задані умови першої задачі. Потрібно встановити ймовірність того, що морозиво витягнули з другого холодильника. Випишемо результати першої задачі, які потрібні для обчислень. РН2 =13;РА\Н2=0,2;РА=0,3та підставимо у формулу Байєса: РН2 \А=0,333∗0,20,3=0,22(2) Як можна бачити, такі обчислення не складні, головне зрозуміти, що і як визначається.

Формула повної ймовірності.(Приклад 1)Ви все ще сидите в тюрмі і граєте з сокамерника у дурня з переводами. Вас 4 чоловіки. У вас є 10 бубнова, яка ймовірність, що у кожного з ваших сокамерників є по 10 і всі 4 повернуться до вас. А – повернення 10 до вас, то б то у кожного є 10 якоїсь масті. Н1 – 1 гравець Н2- 2 гравець Н3 – 3 гравець, Н4 – в колоді, і - карта є 10. У колоді 36 карт, 6 з низ знаходяться у мене , тоді залишається 30, всього 4 десятки, тоді як у мене 1, то вірогідність карти з номером 10 – 3/30, або 0,1. Вірогідність наявності потрібної карти у гравця 2: та підставимо у формулу Байєса: РН2 \А=110∗112431800=180010∗12∗43=1543=0,35 Отже, вірогідність 35% РН2 =110;РА\Н2=112;РА=431800