Формули коренів квадратного рівняння

Алгебра, 8 клас. Формули коренів квадратного рівняння𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎 

Ключові терміни. Квадратне рівняння Неповне квадратне рівняння. Зведене квадратне рівняння. Коефіцієнти квадратного рівняння. Корені квадратного рівняння. Дискримінант

СЛІД ЗНАТИ!Корені квадратного тричлена 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 є коренями відповідного квадратного рівняння 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎 . Квадратні рівняння мають не більш ніж два (один, два або жодного)корені. Означення. Квадратне рівняння, старший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним. Означення. Квадратне рівняння, у якому хоча б один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.a𝑥2+𝒄=0,                𝑎𝑥2+𝒃𝑥=0 Наприклад, 𝑥2−7𝑥+10=0;     𝑥2−4𝑥−32=0  Наприклад, 𝑥2−25=0;     64−𝑥2=0 , 2𝑥2−32=0, 𝑥2−9𝑥=0, 3𝑥2−12𝑥=0, 5𝑥2+15𝑥=0  

Алгоритм розв’язування рівнянь вигляду 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙=𝟎    (𝒂≠𝟎, 𝒃≠𝟎, 𝒄=𝟎) Винеси спільний множник за дужки, щоб отримати рівняння 𝒙𝒂𝒙+𝒃=𝟎. Скористайся правилом рівності добутку нулю (добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю). Таким чином, рівняння 𝒙𝒂𝒙+𝒃=𝟎 рівносильне сукупності двох рівнянь: 𝑥=0 або ax+b=0; 𝑥=−𝑏𝑎. Запиши відповідь: x=0 або 𝑥=−𝑏𝑎 

Приклад 1. Розв’яжи рівняння 4𝑥2−8𝑥=0  Розв’язання:{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Визнач коефіцієнти заданого квадратного рівняння𝑎=4,  𝑏=−8,  𝑐=0 Крок 2 Винеси спільний множник за дужки4𝑥𝑥−2=0 Крок 3 Скористайся правилом рівності добутку нулю (добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю).4𝑥=0    або       𝑥−2=0 Крок 4 Розв’яжи кожне з отриманих лінійних рівнянь4𝑥=0    або       𝑥−2=0 x=0 x=2{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Визнач коефіцієнти заданого квадратного рівняння. Крок 2 Винеси спільний множник за дужки. Крок 3 Скористайся правилом рівності добутку нулю (добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю). Крок 4 Розв’яжи кожне з отриманих лінійних рівнянь. Відповідь: 0; 2.

ПОТРЕНУЙСЯРозв’яжи рівняння:  𝑥2-9x=0;  3𝑥2−12𝑥=0;  𝑥2+7𝑥=0;  5𝑥2+15𝑥=0;  56𝑥2=−30𝑥;  −9𝑥2=37x;   (3𝑥−1)2−17=(𝑥−4)(𝑥+4); 𝑥−3𝑥+3=(2𝑥+3)2−18. СЛІД ЗНАТИ!(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2;(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2;𝑎2−𝑏2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏) 

Алгоритм розв’язування рівнянь вигляду 𝒂𝒙𝟐+𝒄=𝟎    (𝒂≠𝟎, 𝒃=𝟎, 𝒄≠𝟎) Перенеси доданок c, що не містить змінної, у праву частину рівняння й поділіть обидві його частини на a, щоб отримати рівняння 𝒙𝟐=−𝒄𝒂.  Проаналізуй знак виразу −с𝒂:якщо коефіцієнти a і с мають один знак, то −с𝒂<𝟎 і рівняння 𝒙𝟐=−𝒄𝒂 розв’язків не має;Якщо коефіцієнти a і с мають різні знаки, то −с𝐚>𝟎 і рівняння 𝒙𝟐=−𝒄𝒂 має два розв’язки: 𝒙𝟏,𝟐=±−𝒄𝒂. 

Приклад 2. Розв’яжи рівняння 5𝑥2−20=0  Розв’язання:{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Визнач коефіцієнти заданого квадратного рівняння𝑎=5,  𝑏=0,  𝑐=−20 Крок 2 Зведи задане рівняння до вигляду 𝑥2=𝑚. Для цього перенеси доданок, що не містить змінної, у праву частину рівняння й поділимо обидві частини рівняння на 5.5𝑥2=20𝑥2=4 Крок 3 Використай відомий тобі факт: при 𝑚>0, якщо 𝑥2=𝑚, то 𝑥=±𝑚 .𝑥2=4𝑥=±4 𝑥=±2{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Визнач коефіцієнти заданого квадратного рівняння. Крок 2 Крок 3 Відповідь: ±2. 

ПОТРЕНУЙСЯРозв’яжи рівняння:  𝑥2-25=0;  64−𝑥2=0;  2𝑥2−32=0;  28−7𝑥2=0;  23𝑥2−112=0;  47−134𝑥2=0;   𝑥2−43−𝑥2−14=0; 𝑥2+35−𝑥2−32=0. СЛІД ЗНАТИ !(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2;(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2;𝑎2−𝑏2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏) 

Приклад 3. Розв’яжи рівняння (1+7𝑥)2−25=0  Розв’язання:{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Перенеси доданок (-25) у праву частину рівняння, змінивши його знак на протилежний.(1+7𝑥)2=25 Крок 2 Оскільки рівняння записане у вигляді 𝑥2=𝑚, знайди його розв’язки, скориставшись формулою 𝑥=±𝑚 , 𝑚≥0.1+7𝑥=±25;1+7𝑥=±5;Крок 3 Розв’яжи кожне з отриманих рівнянь.1+7𝑥=5     або  1+7𝑥=−5;7𝑥=4; 7𝑥=−6;𝑥=47; 𝑥=−67{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Перенеси доданок (-25) у праву частину рівняння, змінивши його знак на протилежний. Крок 2 Крок 3 Розв’яжи кожне з отриманих рівнянь. Відповідь: 47.  −67. 

ПОТРЕНУЙСЯРозв’яжи рівняння:  (𝑥+6)2=1;(4−𝑦)2=16;  (2𝑥+1)2=9;  (5−3𝑥)2=100; (12𝑡+7)2=−15; (12𝑥+3)2=0; (4−𝑧)2=3; (2𝑚+1)2=7. СЛІД ЗНАТИ !(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2;(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2;𝑎2−𝑏2=𝑎−𝑏𝑎+𝑏𝑥2=m, 𝑥=±𝑚,   𝑚≥0 КЛЮЧОВИЙ МОМЕНТЯкщо 𝑡2=49,  то 𝑡=7, або 𝑡=−7.2) Якщо (𝑚+7)2=4, то           𝑚+7=2   або  𝑚+7=−2. 

Алгоритм розв’язування рівнянь вигляду 𝒂𝒙𝟐=𝟎    (𝒂≠𝟎, 𝒃=𝟎, 𝒄=𝟎)  Поділи обидві частини рівняння 𝒂𝒙𝟐=𝟎  на a, отримаєш 𝒙𝟐=𝟎,  звідси x=0. Висновок: рівняння 𝒂𝒙𝟐=𝟎  при будь-яких значеннях 𝒂≠𝟎 має єдиний розв’язок x=0. Наприклад: 7𝑥2=0, x=0  

СЛІД ЗАПАМ’ЯТАТИ!Якщо коефіцієнти a та с мають різні знаки, то рівняння 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎  завжди має корені Формула для обчислення коренів квадратного рівняння 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎 (𝒂≠𝟎) 𝒙𝟏,𝟐=−𝒃±𝑫𝟐𝒂 , де 𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄 

D - перша літера слова «discriminant», що в перекладі означає «той, що розрізняє»{8 A107856-5554-42 FB-B03 E-39 F5 DBC370 BA}𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 (𝑎≠0)𝐷<0𝐷=0𝐷>0 Рівняння не має коренів. Рівняння має один корінь𝑥=−𝑏2𝑎Рівняння має два корені𝑥1,2=−𝑏±𝐷2𝑎{8 A107856-5554-42 FB-B03 E-39 F5 DBC370 BA}Рівняння не має коренів За знаком виразу D визначають кількість коренів квадратного рівняння. Сам вираз 𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄 називають дискримінантом. 

Заповни таблицю, де a, b і c – коефіцієнти квадратного рівняння виду 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, D – його дискримінант, 𝑥1 і   𝑥2 - корені: {5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Рівняння abc. D𝒙𝟏𝒙𝟐𝟑𝒙𝟐−𝟏𝟑𝒙+𝟏𝟒=𝟎𝟒𝒙𝟐+𝒙=𝟑𝟑𝟏−𝟔𝒙+𝟓𝒙𝟐=𝟎{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Рівняння abc. D

Приклад 4. Розв’яжи рівняння 2𝑥2−𝑥−3=0  Розв’язання:{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Визнач коефіцієнти квадратного рівняння𝑎=2,   𝑏=−1,   𝑐=−3 Крок 2 Обчисли дискримінант рівняння за формулою 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐𝐷=(−1)2−4∙2∙−3=1+24=25;Крок 3 Порівняй значення дискримінанта з нулем𝐷>0; 𝐷=25=5 Крок 4 Знайди корені квадратного рівняння за формулою 𝑥1,2=−𝑏±𝐷2𝑎𝑥1,2=1±52∙2;𝑥1=1+54=1,5, 𝑥2=1−54=−1{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Визнач коефіцієнти квадратного рівняння. Крок 2 Крок 3 Порівняй значення дискримінанта з нулем. Крок 4 Відповідь: −1.  1,5. 

Приклад 5. Розв’яжи рівняння 23𝑥2−2𝑥−1=0  Розв’язання:{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Помнож обидві частини рівняння на 3, щоб отримати рівняння з цілими коефіцієнтами2𝑥2−6𝑥−3=0 Крок 2 Визнач коефіцієнти квадратного рівняння𝑎=2,   𝑏=−6,   𝑐=−3 Крок 3 Обчисли дискримінант рівняння за формулою 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐𝐷=(−6)2−4∙2∙−3=36+24=60;Крок 4 Порівняй значення дискримінанта з нулем𝐷>0; 𝐷=60=4∙15=215 Крок 5 Знайди корені квадратного рівняння за формулою 𝑥1,2=−𝑏±𝐷2𝑎𝑥1,2=6±2152∙2;𝑥1,2=2(3±15)4=3±152{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Помнож обидві частини рівняння на 3, щоб отримати рівняння з цілими коефіцієнтами. Крок 2 Визнач коефіцієнти квадратного рівняння. Крок 3 Крок 4 Порівняй значення дискримінанта з нулем. Крок 5 Відповідь: 𝑥1,2=3±152. 

Приклад 6. Розв’яжи рівняння  2𝑥2−𝑥3−𝑥=𝑥2−𝑥2−1  Розв’язання:{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Помнож обидві частини рівняння на 6, щоб отримати рівняння з цілими коефіцієнтами2𝑥2−𝑥3−𝑥=𝑥2−𝑥2−1 ∙6 2(2𝑥2−𝑥)−6𝑥=3(𝑥2−𝑥)−6 Крок 2 Розкрий дужки в отриманому рівнянні, перенеси всі доданки в ліву частину рівняння та зведи подібні доданки .4𝑥2−2𝑥−6𝑥=3𝑥2−3𝑥−6;4𝑥2−2𝑥−6𝑥−3𝑥2+3𝑥+6=0;𝑥2−5𝑥+6=0 Крок 3 Визнач коефіцієнти квадратного рівняння𝑎=1,   𝑏=−5,   𝑐=6 Крок 4 Обчисли дискримінант рівняння за формулою 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐𝐷=(−5)2−4∙1∙6=1;Крок 5 Порівняй значення дискримінанта з нулем𝐷>0; Знайди корені квадратного рівняння за формулою 𝑥1,2=−𝑏±𝐷2𝑎𝑥1,2=5±12∙1=5±12=3;2.{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок Зміст діїРезультат дії Крок 1 Помнож обидві частини рівняння на 6, щоб отримати рівняння з цілими коефіцієнтами. Крок 2 Розкрий дужки в отриманому рівнянні, перенеси всі доданки в ліву частину рівняння та зведи подібні доданки . Крок 3 Визнач коефіцієнти квадратного рівняння. Крок 4 Крок 5 Порівняй значення дискримінанта з нулем. Відповідь: 𝑥1,2=3;   2.. 

ПОТРЕНУЙСЯРозв’яжи рівняння: 𝑥2−7𝑥+10=0;𝑥2−4𝑥−32=0;34𝑥2−3𝑥+2=0;3𝑥2−25𝑥−1=0;2𝑥2+35−1=𝑥2+𝑥2−𝑥;3𝑥2+14−𝑥=2𝑥2−𝑥3+1 

Квадратне рівняння𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎𝒂≠𝟎 𝒙𝟏,𝟐=−𝒃±𝑫𝟐𝒂 , де 𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄 Неповні квадратні рівняння𝒂𝒙𝟐+𝒄=𝟎 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙=𝟎 𝒂𝒙𝟐=𝟎 якщо −𝑐𝑎>0, то𝑥=−−𝑐𝑎 або 𝑥=−𝑐𝑎 ;якщо −𝑐𝑎<0, то коренів немає x=0, x=−𝑏𝑎 x=0