Формули скороченого множення

Формули скороченого множення. Підготував. Добрянський Юрій Романович

Урок 1 У математиків існує своя мова – це формули.

Множення різниці двох виразів на їх суму ( a – b )( a + b ) = a² – b² Добуток різниці двох виразів та їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів. Приклади: a) (k – n)(k + n) = k² – n²; b) (2х – 3у)(2х + 3у)=4x² – 9y².

Усні завдання Вписати пропущені вирази, щоб отримати правильну рівність: (4a + 1)(4a – 1) = 16a² – ◊; (2a – c)(2a + c) = ◊ – c²; (◊ + x)(◊ – x) = 4d² – ◊; (a – c²)(a + c²) = ◊ – c4; 2(4x – 1)(4x + 1) = 2(16x² – ◊) = 32x² – ◊;

Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів a² – b² = ( a – b )( a + b ) Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми. Приклади: 1) 25x² – 9y² = (5х – 3у)(5х + 3у); 2) (х – 2)² - 36=(х – 2 – 6)(х – 2 + 6)= = (х – 8)(х +4). Урок 2

Усні завдання Вписати пропущені вирази, щоб отримати правильну рівність: x² – m² = (x – m)(x + □); a² – 9 = (a – 3)(□ + 3); b² – g4 = (□ – g²)(b + □); 1 -16z² = (1 – □)(1 + 4z); 0,04 – x10 = (0,2 – x5)(□ + x 5); – c4 + 9a2 = 9a2 – □ = (3a – □)(3a + c2).

Квадрат суми двох виразів ( a + b )² = a² + 2ab + b² Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу. Приклади: a) (3 + a)² = 9 + 6a + a²; b) (5x + 3y)² = 25x² + 30xy + 9y². Урок 3 – 4

Квадрат різниці двох виразів ( a – b )² = a² – 2ab + b² Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу. Приклади: a) (3 – a)² = 9 – 6a + a²; b) (5x – 3y)² = 25x² – 30xy + 9y².

Завдання для самоконтролю. Вибрати, в якому із стовбців (А, Б, В) записано правильнувідповідь до завдань 1 – 4.{F03039 F2-7772-451 D-AC44-91598 F548 F99}№ з/п. Завдання Відповіді А Б В 1. (c + 11)²c² + 11c + 121c² - 22c + 121c² + 22c + 121 2. (7y + 6)²49y² + 42y + 3649y² + 84y + 3649y² - 84y + 36 3. (9 – 8y)²81 – 144y +64y² 81 – 72y +64y²81 + 144y +64y² 4. (2x – 3y)²4x² – 12xy +9y²4x² + 12xy +9y²4x² – 6xy +9y²

Завдання “ Знайди пару ” Потрібно у правій колонці знайти відповідь до приклада у лівій колонці. Приклади Відповіді А) (0,2a - p³)²; 1. a4 – 16a²p5 + 64p10; Б) (a² - 8p5)²; 2. 0,25 + 2a² + 2a4; В) (-a – p²)²; 3. 0,04a² - 0,2ap² + 0,25p4; Г) (-0,5 – 2a²)²; 4. a² + 2ap² + p4; Д) (-0,2a + 0,5p²)²; 5. 0,04a² - 0,4ap3 + p6 .

Математичний диктант Запишіть у вигляді многочлена:квадрат суми двох виразів 2n і 3m;квадрат різниці двох виразів t і 2s;добуток суми двох виразів 2m і 3n на їхню різницю;різницю квадратів виразів 3m і 4n;різницю квадратів виразів х + у і х – у;суму квадратів виразів х + у і х – у.

Відповіді:4n² + 12 nm + 9m²;t² – 4ts + 4s²;4m² – 9n²;9m² – 16n²;(x+y)²–(x–y)²=(x+y–x+y)(x+y+x–y) = =4xy;(x+y)²+(x–y)²=x²+2xy+y²+x²–2xy+y² = =2x²+2y².

Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці a² + 2ab + b² = ( a + b )² ; a² – 2ab + b² = ( a – b )² . Приклади: 1) 9a² – 24ab + 16b² = (3a – 4b)²; 2) 0,25m² + 2mn + 4n² = (0,5m + 2n)². Урок 6 – 7

Ауян Тепуї (“Гора диявола”) – так звуть це плато місцеві індіанці. В цьому районі грози й блискавки протягом літа майже безперервні. Водоспад тут теж має свої особливості. Звичайно водоспади народжуються річками, цей же сам народжує річку. Завдання. Розкладіть многочлен на множники: 1. p² + 2pq + q² ; 2. 4a² - 4a + 1; 3. 4b² + 12b + 9; 4. 25m² – 20mn + 4n² ; 5. 0,36c² – 0,6cx + 0,25x²; 6. 0,01a² + 4ab² + 400b4. Зашифроване слово{F03039 F2-7772-451 D-AC44-91598 F548 F99}(p - q)²О(2b – 3)²Д(2а – 1)²Н(0,1a + 40b²)²С(p + q)²А(0,6c² – 0,5x)²Р(0,01a + 20b)²Б{F03039 F2-7772-451 D-AC44-91598 F548 F99}(2b + 3)²X(2а + 1)²К(0,6c – 0,5x)²Л(5m – 4n)²У(0,1a + 20b²)²Ь(5m – 2n)²Е(0,1a - 20b²)²П{F03039 F2-7772-451 D-AC44-91598 F548 F99}

Сума кубів двох виразів a³ + b³ = ( a + b )(a² - ab + b²) Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці. Приклади: 1) a³ + 64 =(a + 4)(a² - 4a + 16); 2) 27m³ + 125n³ =(3m + 5n)(9m²-15mn+25n²). Урок 8 – 9

Різниця кубів двох виразів a³ - b³ = ( a - b )(a² + ab + b²) Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми. Приклади: 1) a³ – 64 =(a – 4)(a² + 4a + 16); 2) 27m³–125n³=(3m–5n)(9m²+15mn+ +25n²).

Тест 1 “Формули скороченого множення. Множення многочленів.”1. (5a + 3b)(5a – 3b) = … a) 5a² - 3b²; б) 25a² + 9b²; в) 5a² + 3b²; г) 25a² - 9b².2. (7a + 2)² = … a) 49a² + 28a + 4; б) 49a² + 14a + 4; в) 49a² + 4; г) 7a² + 28a + 4.3. (9a – b)² = … a) 81a² - 9ab + b²; б) 81a² - b²; в) 81a² - 18ab + b²; г) 9a² - 18ab + b².4. (a + 7)(a² - 7a + 49) = … a) a³ - 343; б) a² - 49; в) a³ + 343; г) a³ + 7.5. (c - 8)(c² + 8c + 64) = … a) c³ - 512; б) c² - 64; в) c³ + 512; г) c³ - 8.6. (- b² + 4)(b² + 4) = … a) 16 - b²; б) b4 - 16; в) b² - 16; г) 16 - b4.7. (a² + 1)(a + 1)(a - 1) = … a) a² - 1; б) a4 - 1; в) a² - 2; г) a4 - 2.8. (- 6a – 5b)² = … a) -36a² - 60ab - 25b²; б) -36a² + 60ab - 25b²; в) 36a² + 60ab + 25b²; г) 36a² + 30ab + 25b².9. (5a - 4b)(5a + 4b) - (3a + 2b)(3a –2b) = … a) 2a² - 2b²; б) 16a² - 12b²; в) 16a² - 20b²; г) 34a² - 20b².10. 5,02 · 4,98 = … a) 24,98; б) 24,96; в) 20; г) 24,9996.

Урок 10 Вивчення математики подібне до Нілу, що починається невеликим струмком, а закінчується великою річкою. Ч. К. Колтон.

Тест 2 “ Формули скороченого множення. Розкладання на множники.”1. a² - 169 = … a) (13 – a)(13 + a); б) (a – 13)(a + 13); в) (a – 13)(a – 13); г) a(a – 169).2. Якщо a>0, b>0 і a² + 2ab + b² = 49, то a + b = … a) -7; б) 2401; в) 9; г) 7.3. a² - 18a + 81 = … a) (a - 3)²; б) a – 9; в) (a – 9)²; г) (a – 9)(a + 9).4. a³ + 125 = … a) (a – 5)(a² + 5a + 25); б) (a + 5)(a² - 5a + 25); в) (a + 5)(a² - 10a + 25); г) (a + 5)(a - 25); 5. a10 - a8 = … a) a8(a + 1)(a – 1); б) a8(a – 1); в) a8(a +1); г) a8(a + 1)².6. 64a30 - 80a15b 16 + 25b32 = … a) (8a15 – 5b30) 2; б) (4a15 – 5b16) 2; в) (8a28 – 5b30) 2; г) (8a15 – 5b16) 2.7. 6a² + 36a + 54 = … a) 36(a + 3)²; б) 6(a – 3)(a + 3); в) 6(a – 3)²; г) 6(a + 3)².8. - 64 + c² = … a) (8 – c)(8 + c); б) (4 – c)(4 + c); в) (c – 8)(c + 8); г) (c – 4)(c + 4).9. a² – 49 + a – 7 = … a) (a – 8)(a + 7); б) (a – 7)(a + 8); в) (a – 7)(a + 6); г) (a + 7)(a + 6).10. b² – a² – 22a – 121 = … a) (b – a – 11)(b + a + 11); б) (b – a + 11)(b + a + 11); в) (b + a – 11)(b + a + 11); г) (a – b – 11)(b + a + 11).

Історична довідка Формули скороченого множення стародавнім китайським і грецьким математикам були відомі за багато віків до початку нашої ери. Записували їх тоді не за допомогою букв, а словами, і доводили геометрично (тільки для додатних чисел). Користуючись малюнком, пояснювали, що для будь-яких чисел a і b площа квадрата із стороною a + b дорівнює сумі площ двох квадратів із сторонами a і b і двох прямокутників із сторонами a, b. Отже, (a + b)² = a² + 2ab + b². Подібним способом обґрунтували й інші рівності, які тепер ми називаємо формулами скороченого множення.

Багато чого з математики не залишається в пам'яті, але коли зрозумієш її, тоді легко при нагоді згадати призабуте. М. В. Остроградський.