Розв'язування задач за допомогою квадратних рівнянь

Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь

Пригадайте: як розв’язуються цілі раціональні рівняння? як розв’язуються дробові раціональні рівняння? Які рівняння називаються біквадратними? як розв’язуються біквадратні рівняння?

Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

Ситуація: У зв’язку зі встановленням сучасного обладнання в кінотеатрі проводили ремонт глядацької зали, у якій кількість рядів мала стати більшою за кількість місць у ряді. До ремонту в залі було 396 місць, а після ремонту стало 300 місць. Під час ремонту прибрали2 ряди повністю та по 3 крісла в кожному ряді. Запитання: Скільки зараз рядів у глядацькій залі кінотеатру? Математична модель – це опис деякого реального процесу засобами математики.

Математичне моделювання: Побудова математичної моделі1 Робота з математичною моделлю2 Складання відповіді до задачі в термінах її сюжету.33

Перший етапх – змінна. Нехай у глядацькому залі – х рядів. Тоді в кожному ряді - 396𝑥 місць. Після ремонту стало (х-2) рядів по 300𝑥−2 місць у кожному ряду. Складаємо рівняння: 396𝑥−300𝑥−2=3   Математична модель

Другий етап 396𝑥−300𝑥−2=3 ОДЗ: 𝑥≠0,  𝑥≠2396𝑥−300𝑥−2−3=0 396𝑥−2−300𝑥−3𝑥(𝑥−2)𝑥(𝑥−2)=0, 396𝑥−2−300𝑥−3𝑥𝑥−2=0,  −3𝑥2+102𝑥−792=0, |:(-3)𝑥2−34𝑥+264=0.  За теоремою Вієта: 𝑥1+𝑥2=34  𝑥1∙𝑥2=264 𝑥1=22, 𝑥2=12 Перевірка: 𝑥=22 – входить до ОДЗ 𝑥=12 - входить до ОДЗ 

Третій етап (х-2)- кількість рядів після ремонтух=22 і х=12, то х-2=22-2=20 і х-2=12-2=1020 рядів або 10 рядів300𝑥−2 - кількість місць у рядіх=22 і х=12, то 300𝑥−2= 30022−2 = 30020=15 або 300𝑥−2 = 30012−2 = 30010=3015 місць або 30 місць 

20 рядів по 15 місць або 10 рядів по 30 місць. Оскільки 10<30 – не задовольняє20>15 – задовольняє Відповідь: 20 рядів.

Зверніть увагу! Побудова математичної моделі31 Робота з математичною моделлю42 Складання відповіді3

Задачі на рух

𝑠=𝑣𝑡 - закон руху𝑠- відстань, 𝑣- швидкість, 𝑡- час. Для знаходження відстані: 𝒔=𝒗𝒕Для знаходження швидкості: 𝒗=𝒔𝒕 Для знаходження часу: 𝒕=𝒔𝒗  

Задача1: відстань від Черкас до Києва, що становить 180 км, автобус має проїхати зі сталою швидкістю за визначений розкладом час. Проте в Борисполі водій автобуса на 5 хв зробив незаплановану зупинку для пасажирів, які їхали до аеропорту. Тому, щоб прибути до Києва вчасно, після незапланованої зупинки водій збільшив швидкість на 10 км/год. З якою швидкістю мав їхати автобус за розкладом, якщо Бориспіль розташований на відстані 35 км від Києва?

Розв’язування: Нехай х км/год – швидкість автобуса за розкладом Запланований час руху автобуса - 180𝑥 год.(180-35) км до Борисполя зі 𝑣=𝑥 км/год. Тоді, час витрачений на цю відстань - 180−35𝑥 год. Решту відстані - 𝑣=𝑥+10км/год за 35𝑥+10 год. Час 180𝑥 більший за час 180−35𝑥 + 35𝑥+10 на 5 хв, тобто на 112 год. 

Складемо рівняння: 180𝑥=180−35𝑥+35𝑥+10+112 ОДЗ: 𝑥≠0,  𝑥≠−10180𝑥−180−35𝑥−35𝑥+10−112=0 180·12𝑥+10−145·12𝑥+10−35·12𝑥−𝑥(𝑥+10)12𝑥(𝑥+10)=0180·12𝑥+10−145·12𝑥+10−35·12𝑥−𝑥(𝑥+10)=0 𝑥2+10𝑥−4200=0 За теоремою Вієта: 𝑥1+𝑥2=−10 𝑥1·𝑥2=−4200 𝑥1=60,   𝑥2=−70  Перевірка:𝑥1=60  - входить до ОДЗ𝑥2=−70 – входить до ОДЗ  

Складання відповіді до задачі: 𝑥1=60, або 𝑥2=−70 Значення 𝑥2=−70 – не задовольняє умову. Відповідь: х= 60 км/год. 

Зверніть увагу! Для складання рівняння необхідно порівнювати величини одного й того самого найменування – відстань і відстанню, швидкість із швидкістю, час із часом, вартість із вартістю, кількість із кількістю.

Задачі на спільну роботу

A=pt, A – обсяг роботи, p-продуктивність праці, t-час роботи. Знаходження обсягу роботи: 𝐴=𝑝𝑡Знаходження продуктивності праці:𝑝=𝐴𝑡Знаходження часу роботи: t=𝐴𝑝 Якщо в умові задачі, не вказано обсяг роботи, то його приймають за 1

Задача 2: Через 2 труби резервуар можна заповнити за 4 хв. Через першу трубу цей резервуар може заповнитися на 6 хв швидше, ніж через другу. За скільки хвилин заповниться цей резервуар, якщо працює одна перша труба?

Нехай час заповнення через першу трубу – х хв. Тоді, час заповнення через другу трубу – (х+6)хв. Обсяг роботи – 1 Отже: 𝑝1=1𝑥 , 𝑝2=1𝑥+6 Обсяг роботи І труби - 4𝑥 Обсяг роботи ІІ труби 4𝑥+6 Складемо рівняння: 4𝑥+4𝑥+6=1 

4𝑥+4𝑥+6=1 ОДЗ: 𝑥≠0,  𝑥≠−64𝑥+4𝑥+6−1=0 4𝑥+6+4𝑥−𝑥(𝑥+6)𝑥𝑥+6=0 4𝑥+6+4𝑥−𝑥(𝑥+6)=0𝑥2−2𝑥−24=0 За теоремою Вієта: 𝑥1+𝑥2=2 𝑥1·𝑥2=−24 𝑥1=6,  𝑥2=−4  Перевірка:𝑥1=6  - входить до ОДЗ 𝑥2=−4 – входить до ОДЗ 

Одержали : х =6 або х=-4х=-4 – не задовольняє Відповідь: 6 хв.

Задачі геометричного змісту

Задача 3: Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його діагональ – 13 см. Знайдіть сторони прямокутника. Нехай х см – довжина однієї сторони. Р = 34 см. Р= 2(а+b)b= Р:2-а → 34:2-х=17-х(17-х)см – довжина другої сторони. За теоремою Піфагора: 𝑥2+(17−𝑥)2=132 

𝑥2+(17−𝑥)2=132𝑥2+289−34𝑥+𝑥2−169=0 2𝑥2−34𝑥+120=0 𝑥2−17𝑥+60=0 За теоремою Вієта𝑥1+𝑥2=17 𝑥1·𝑥2=60 𝑥1=12,  𝑥2=5  

х см – довжина однієї стороних = 12см або х =5см. Якщо х = 12, то довжина однієї сторони – 12см, а довжина другої (17- х )= 17-12=5 (см)Якщо х = 5, то довжина однієї сторони – 5см, а довжина другої (17- х )= 17-5=12(см)Відповідь: 5см і 12 см.

Зверніть увагу! Якщо треба знайти пару чисел a і b, то таких пар може бути дві : a і b та b і а Якщо за умовою задачі не важливо, у якому порядку подавати знайдені числа, то із двох можливих пар чисел у відповідь записують лише одну: або a і b або b і а

Розв’язання задач за підручником

Підсумки уроку: Продовжить речення: Математичне моделювання- це …Етапи математичного моделювання

Бажаю успіхів!