Формули суми геометричної прогресії

АЛГЕБРА • 9 КЛАСФормули суми перших n членівгеометричної прогресіїЕкспоненційне зростання в діїМатематика навколо нас

Означення геометричної прогресіїФормальне означення. Геометричною прогресією називається послідовність ненульових чисел, у якій кожен наступний член утворюється множенням попереднього на одне й те саме число . Умова геометричної прогресіїbₙ₊₁ = bₙ × qде q — сталий знаменник прогресіїЦе означає, що відношення будь-яких двох сусідніх членів однакове і дорівнює q. Приклади з життя. Розмноження бактерій. Кожна бактерія ділиться на 2 (q = 2)Капіталізація відсотків. Зростання вкладу щорічно на 10% (q = 1,1)Згинання паперу. Кількість шарів подвоюється (q = 2)Радіоактивний розпад. Зменшення маси вдвічі (q = 0,5)Важливо!Геометрична прогресія повністю визначається першим членом b₁ та знаменником q.

Формула n-го члена геометричної прогресіїОсновна формулаbₙ = b₁ × q^(n−1)За цією формулою можна знайти будь-який член прогресії!Що означають позначення?bₙn-й член. Той член, який шукаємоb₁Перший член. Початкове значенняq. Знаменник. Коефіцієнт множенняn. Номер члена. Позиція в послідовностіПриклад застосування. Умова: b₁ = 2, q = 3. Знайти b₅. Розв'язання:b₅ = 2 × 3^(5−1)b₅ = 2 × 3⁴b₅ = 2 × 81b₅ = 162 Відповідь: п'ятий член дорівнює 162 Зверніть увагу!У формулі показник степеня — це (n−1), а не n! Це пояснюється тим, що від першого до n-го члена робимо (n−1) множень.

Виведення формули суми (q ≠ 1)Запишемо суму перших n членів. Sₙ = b₁ + b₂ + b₃ + ... + bₙАбо через b₁ і q: Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + ... + b₁q^(n−1)Метод виведення1 Помножимо суму на q: Sₙ × q = b₁q + b₁q² + ... + b₁qⁿ2 Віднімо: Sₙq − Sₙ = b₁qⁿ − b₁3 Винесемо Sₙ: Sₙ(q − 1) = b₁(qⁿ − 1)4 Отримаємо формулу!Формула суми b₁(qⁿ − 1)───────q − 1при q ≠ 1 Ключова ідея. Множення на q зсуває всі члени на одну позицію, і при відніманні більшість членів скорочується!Sₙ =

Формула суми при q = 1 Особливий випадок. Коли q = 1, усі члени геометричної прогресії однакові і дорівнюють b₁. Чому формула спрощується?При q = 1 прогресія має вигляд:b₁, b₁, b₁, b₁, ... Сума n однакових чисел: Sₙ = b₁ + b₁ + ... + b₁ = n × b₁Основна формула не працює (ділення на 0), тому використовуємо цю!Формула. Sₙ = n × b₁при q = 1 Приклад. Прогресія: 5, 5, 5, 5, 5 (q = 1)Знайти S₅: S₅ = 5 × 5 = 25 Перевірка: 5+5+5+5+5 = 25 ✓

Альтернативна формула суми. Формула через n-й членbₙ × q − b₁────────q − 1при q ≠ 1 Коли використовувати?1 Коли відомі bₙ (останній член) і b₁, але невідоме n2 Коли легше обчислити bₙ, ніж qⁿ3 У задачах на знаходження суми за двома членами. Приклад. Умова: b₁ = 3, b₄ = 81, q = 3. Знайти S₄. Розв'язання: S₄ = (b₄ × q − b₁) / (q − 1)S₄ = (81 × 3 − 3) / (3 − 1)S₄ = (243 − 3) / 2 S₄ = 240 / 2 S₄ = 120 Перевірка: 3 + 9 + 27 + 81 = 120 ✓Виведення. Підставимо bₙ = b₁ × q^(n−1) в основну формулу і спростимо!Sₙ =

Приклад 1: Знаходження суми. Умова задачіЗнайдіть суму перших 6 членів геометричної прогресії, якщо b₁ = 2 і q = 3. Розв'язання1 Запишемо формулу суми: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)2 Підставимо значення (n = 6, b₁ = 2, q = 3): S₆ = 2(3⁶ − 1)/(3 − 1)3 Обчислимо: S₆ = 2(729 − 1)/2 = 2 × 728/2 = 728 Відповідь. S₆ = 728 Сума перших 6 членів. Перевірка. Прогресія:2, 6, 18, 54, 162, 486 Сума: 2+6+18+54+162+486 = 728 ✓Висновок. Формула дозволяє швидко знайти суму, не додаючи кожен член окремо!

Приклад 2: Знаходження кількості членів. Умова задачіСума перших n членів геометричної прогресії з b₁ = 5 і q = 2 дорівнює 315. Знайдіть n. Розв'язання1 Запишемо формулу суми: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)2 Підставимо відомі значення:315 = 5(2ⁿ − 1)/(2 − 1)3 Спрощуємо і розв'язуємо:315 = 5(2ⁿ − 1)63 = 2ⁿ − 12ⁿ = 64 = 2⁶n = 6 Відповідьn = 6 Кількість членів. Перевірка. Прогресія:5, 10, 20, 40, 80, 160 Сума: 5+10+20+40+80+160 = 315 ✓Ключовий момент. Використовуємо властивість: якщо aˣ = aʸ, то x = y

Приклад 3: Практичне застосування. Умова задачіБактерія кожну годину ділиться на дві. Спочатку була 1 бактерія. Скільки всього бактерій буде через 8 годин?Розв'язання1 Визначимо параметри прогресії:b₁ = 1 (початкова кількість)q = 2 (подвоєння)n = 9 (8 годин + початковий момент)2 Застосуємо формулу суми: S₉ = 1(2⁹ − 1)/(2 − 1) = 511 Відповідь511бактерій через 8 годин. Динаміка зростання0 год14 год168 год256 Усього511 Важливо!n = 9, а не 8, бо рахуємо і початковий момент!

Підсумок. Основні формули. При q ≠ 1: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)При q = 1: Sₙ = n × b₁Через n-й член: Sₙ = (bₙq − b₁)/(q − 1)Ключові поняття. Геометрична прогресія — множення на сталий знаменник. Знаменник q — відношення сусідніх членів. Формула n-го члена: bₙ = b₁ × q^(n−1)Застосування. Розмноження. Відсотки. Згинання. Розпад. Дякую за увагу!Успіхів у вивченні математики!