Формування алгоритмічного мислення молодших школярів на уроках математики в початковій школі

Формування алгоритмічного мислення молодших школярів на уроках математики в початковій школі

Зміна статусу математики як навчального предмета у загальноосвітній школі пов'язується, насамперед, із розширенням змісту мате­матичної освіти, що дозволяє реалізувати принцип ін­дивідуалізації та диференціації навчання, а також - із зменшенням навчального часу на математичні дисцип­ліни, що призводить до зниження рівня математичної підготовки певної частини випускників шкіл, який спостерігається останніми роками під час вступних тестових іспитів до вищих навчальних закладів (ВНЗ). Серед основних помилок, яких припускаються вступники до ВНЗ, можна зазначити, передусім, нег­либокі, поверхові знання теоретичного матеріалу, невміння вибирати потрібний спосіб розв'язування тестового завдання, низький рівень обчислювальної культури.

Упровадження державних стандартів освіти, в яких викладено новий підхід до навчання у загальноосвітній школі, передбачає пошук методів і прийомів, спрямованих на підвищення якості нав­чання окремих предметів.

На сучасному етапі дедалі більшого значення набуває формування творчої ініціативної осо­бистості. За висловом Л.М.Толстого, знання тільки тоді знання, коли набуті зусиллям думки, а не пам'яті. У зв'язку з цим необхідно зробити навчаль­ний процес творчим, осмисленим, активізувати всю пізнавальну діяльність школярів.

В.О.Сухомлинський вважав, що майстерність учителя полягає в умінні вчити дітей мислити, кож­ний педагог має виховувати розум учнів. У навчальному процесі вчитель постає, насамперед, як організатор і керівник пізнавальної діяльності учнів. Він створює умови, за яких школярі можуть найбільш раціонально і продуктивно розвивати мислення.

 Одним із шляхів реалізації ідеї продуктивного навчання є формування алгоритмічної культури школярів.Основним компонентом алгоритмічної культури є алгоритм.У математиці та педагогіці це поняття розглядають з різною мірою точності.Сучасна наука під алгоритмом розуміє систему правил для розвя зання пев- ного класу задач.Характерними властивостями алгоритму є масовість,визначеність, результативність.Суттєвим елементом алгоритмічної культури є мова як засіб для запису алгоритму.Вибір мови в кожному  окремому випадку визначається сферою за-стосування алгоритму.Навчальний алгоритм-це послідовність мислительних операцій .Ця логічна побудова розкриває зміст і структуру мислительної діяльності учня в процесі розв язування завдань і є практичним керівництвом для вироблення навичок та формування понять. «Кроки» навчального алгоритму будуються з урахуванням фактичного рівня розвитку учнів та їхньої попередньої підготовки.Послідовність операцій визначається  не лише логіко-граматичними або логіко-математичними,а й дидактичними принципами.У науковій літературі є ряд праць,присвячених формуванню алгоритмічної культури молодших школярів.Окремі аспекти її формування,зокрема психологічне обґрунтування проблеми використання алгоритмів у процесі пізнавальної діяльності,розкрито у дослідженнях психологів (Д.М.Богоявленський, П.Я.Гальперін )Принципи побудови навчальних алгоритмів відображено в працях дидактів(Ю.К.Бабанський,Л.В.Занков)

Учені-методисти(І.М.Антипов,В.М.Монахов та ін.) великої уваги надавали розробле нню методики застосування алгоритмів у навчальному процесі.Проблеми, пов язані з формуванням алгоритмічної культури з використанням нових інформаційних тех- нологій,досліджували спеціалісти з кібернетики,обчислювальної техніки та програ- мування(В.М.Глушков,А.П.Єршов,ін.) На думку вчених,навчальний алгоритм харак- теризується варіативністю умов,багатозначністю і варіативністю загального резуль-  тату,досягненням оптимального варіанта або часткового результату.Отже,алгоритмі-чний припис допускає велику свободу в характері використання його учнями,а дії,що ним описуються,є варіативними й багатозначними.

                Важливо,щоб діти брали участь у формулюванні правила й складанні алго- ритмічного припису.У такому випадку вони осягають зміст кожного  кроку алгоритму й легше запам ятовують послідовність дій.Якщо точно дотримуватися всіх «кроків»,то алгоритм завжди призведе до правильного розв язку,глибокого засвоєння правил.  Ідеї моделювання й алгоритмізації розумової діяльності школярів усе більше реалізуються в шкільній практиці.Алгоритми  й програмоване навчання допомагають розвивати в учнів навички логічного мислення,формувати вміння пра- вильно діяти в нових ситуаціях,перевіряти себе.

Оволодіння алгоритмічною діяльністю немож­ливе без урахування логічної структури знань та аналізу форми суджень. Для забезпечення високої результативності навчання потрібно враховувати ос­новні логічні елементи поняття. Логічний компонент надає дії спрямованості. Конструктивно це зобража­ється у вигляді системи вказівок і альтернативних умов, що регулюють їх використання: зроби, знайди, якщо..., то... та ін. [22].

Значна кількість досліджень присвячена пробле­мам формування логічних умінь у процесі вивчення математики, мови та інших навчальних предметів. Основні ідеї розвитку логічної грамотності учнів на уроках математики викладено в працях І. Гібша, К.О. Калужніна, В.В.Нікітіна,      В.Г. Рупасова, А.А. Сто­ляра, І.Ф. Тесленка, А.Л. Фетисова та ін.

Роль навчання в розвитку логічного мислення й основні методологічні положення з виховання логіч­ної культури досліджували Ю.М. Колягін,                   АТ. Маркушевич, А.М. Пишкало, С.Й. Шварцбурд та ін.

Різні аспекти проблеми формування прийомів ро­зумової, в тому числі й логічної діяльності, розгляну­то дослідниками-психологами П.Я.Гальперіним, ЄЛ.Голантом, Є.М. Кабановою-Меллєр, М.О. Леонтьєвим,  Н.О. Менчинською,  С.Л. Рубінштейном, Н.Ф. Тализіною та ін.

Уміння характеризуються здатністю виконувати певні дії в різних умовах. Особливістю логічних умінь є те, що учень має вміти не лише аналізувати, синтезувати, порівнювати, абстрагувати, узагальню­вати, а й мислити, робити умовиводи, встановлюва­ти причинно-наслідкові зв'язки між фактами, проце­сами, явищами, узгоджувати їх із законами логіки, вичленовувати інваріантні загальнопізнавальні спо­соби діяльності для різних навчальних предметів, ступенів навчання та переносити їх у нові умови зас­тосування. Тому процес формування логічних умінь передбачає виконання певних послідовних етапів. Це пов'язано як з рівнями загальної підготовки учнів, характером навчального матеріалу, складністю вико­нуваних завдань, так і специфічними особливостями мислення дітей відповідних вікових груп.

Основні логічні структури мислення формуються у віці 5—11 років. Тому логічну підготовку дитини пот­рібно здійснювати, розпочинаючи з початкової школи.

Під логічною підготовкою молодших школярів будемо розуміти засвоєння на інтуїтивно-практично­му рівні певних логічних понять і набуття відповід­них способів діяльності з метою їх розвитку в наступ­них ланках навчання.

На основі логічних знань і вмінь учнів формують­ся елементи алгоритмічної культури, адже "...поняття "алгоритм" є об'єктом дослідження теорії алгоритмів, яка, у свою чергу, базується на конструктивній логі­ці" [8, 31]. Враховуючи взаємозв'язок між елемен­тами логічної й алгоритмічної грамотності, можна вибудувати єдину логіко-алгоритмічну лінію курсу математики: вміння розпізнавати та розподіляти предмети за певними ознаками, порівнювати об'єк­ти, встановлювати співвідношення загального і час­ткового, одержувати та обґрунтовувати умовиводи; розуміння сутності алгоритму, його властивостей; уміння виконувати, перетворювати, вибирати раціо­нальний та конструювати алгоритм; ознайомлення з основними типами алгоритмічних процесів.

Логічні дії дошкільнят та молодших школярів ба­зуються на інтуїтивних уявленнях, набутих у резуль­таті спостережень і життєвого досвіду. Важливим завданням процесу навчання в початковій ланці є встановлення причинно-наслідкових зв'язків між предметами та явищами навколишнього світу, фор­мування логічних умінь на основі вивчення змістово­го матеріалу, максимально наближеного до життєво­го досвіду молодших школярів.

З метою набуття пропедевтичних знань з матема­тичної логіки до змісту програм з математики в по­чатковій школі включено елементи алгебри. Учні 1—4 класів мають отримати початкові уявлення про математичні вирази,

 числові рівності й нерівності, ознайомитися з буквеною символікою, навчитися розв'язувати найпростіші рівняння й нерівності.У 1-4 класах діти мають   навчитися читати й за­писувати вирази, засвоїти правила порядку виконан­ня дій, ознайомитися з алгебраїчними перетворення­ми тощо.

Діяльність, що розвиває мислення й мову молод­ших школярів у процесі вивчення математики, пе­редбачає засвоєння простих і складних висловлень. Для цього використовуються різноманітні відношен­ня (менше, більше, нижче, вище та ін.) між величи­нами (зріст, вага, висота та ін.).

Розпочинаючи з першого класу, діти вдосконалю­ють уміння, пов'язані з класифікацією множин. У ма­тематиці - це знаходження чисел, кратних 2, 3, 4 та ін.

"Значну роль у розвитку інтелектуальних здібнос­тей молодших школярів відіграють уміння система­тизувати об'єкти за зовнішніми ознаками, узагальню­вати на основі порівняння, виділяючи спільне, виби­рати найсуттєвіше" [7, 46].

У процесі навчання потрібно розвивати здібності, пов'язані з аналітико-синтетичними операціями, що сприятиме встановленню "...причинно-наслідкових зв'язків між явищами, одиничними факторами й за­гальними закономірностями, оволодінню умовивода­ми" [14, 63].

Формувати логічні уявлення учнів можна й під час вивчення навчальних предметів не математично­го циклу. Наприклад, на уроках мови вони класифі­кують звуки й букви (голосні, приголосні), слова (іменники, прикметники, дієслова та ін.). Школярам часто доводиться знаходити спільні ознаки множин оточуючих істот і предметів: інструментів, меблів, одягу, тварин, овочів та ін.

Використовуючи набуті знання, здійснюють формування природничих, алгоритмічних понять. Подібна діяльність завершується виявленням родово-видових відношень між поняттями й визначенням видових відмінностей, а потім - описом цих понять.

Експериментальні дослідження свідчать, що для успішного засвоєння учнями основної й старшої школи тем "Алгоритми" і "Програмування" курсу "Ін­форматика", потрібно розвивати способи логічного, алгоритмічного, системного мислення, розпочинаю­чи з першого класу.

Вирішення вищезазначеної проблеми здійснюєть­ся за умови використання інформаційно-комунікацій­них технологій, формування логічної складової алго­ритмічної культури особистості.

Учням початкової школи доступні такі способи запису алгоритмів: граф- і блок-схеми; таблиці; роз­горнутий словесний опис.

Граф-схеми. У першому класі учні ознайомлюють­ся з лінійними та розгалуженими граф-схемами.

Для формування уявлень про спосіб запису алго­ритмів за допомогою граф-схем доцільно використо­вувати такі завдання:

• обчислити значення виразу, використовуючи граф-схему;

• здійснити різноманітні інтерпретації відповідних граф-схем.

Доцільно також розв'язувати завдання, викорис­товуючи схеми з відсутніми числовими значеннями й відношення між ними. Частково заповнені блоки застосовуються для відпрацьовування "особливих" умінь, наприклад, дій з нулем і одиницею. Мета по­дібних завдань — удосконалення обчислювальних на­вичок й ознайомлення з властивостями алгоритмів.

Таблиця. У процесі її заповнення за вказаним прави­лом в учнів формуються уявлення про циклічні процеси.

Розгорнутий словесний опис. Результат дії залежить від рівня усвідомлення її алгоритмічної сутності. З першого класу важливо навчати дітей розпізнавати алгоритми, виділяти елементарні операції, розпочи­наючи із засвоєння найпростіших алгоритмів. Нап­риклад, можна скласти разом із дітьми алгоритм пе­реходу через вулицю або ліплення сніговика та ін.

          Важливим компонентом формування алгоритміч­ної культури молодших школярів є поетапне оволо­діння логічними способами мислення, потрібними для пропедевтики елементів алгоритмізації, що пе­редбачає засвоєння сутності понять "логічне мислення" й "алгоритмічне мислення".

Психологічною основою розвитку алгоритмічної культури й логічних прийомів мислення є теорія по­етапного формування розумових дій і засвоєння знань [ 4, 18]. Згідно з цією теорією, з кожним елемен­том знань пов'язаний не лише спосіб оволодіння ним, а й формування певних розумових дій. Вико­ристання комп'ютера з відповідним педагогічним програмним забезпеченням дає змогу керувати нав­чально-пізнавальною діяльністю учня.

Організація навчального процесу на основі ви­щевказаної теорії передбачає усвідомлення учнями сутності розумових дій під час засвоєння знань. Внаслідок цього процес оволодіння мисленнєвими операціями й відповідно знаннями стає керованим.

Згідно з цією теорією, учневі надається система орієнтирів для успішного виконання певної дії, роз­криття її сутності, що можна подати у вигляді алго­ритму або евристичної схеми.

Об'єктами навчання під час розпізнання алгорит­мів є певні мисленнєві операції:

•             означення поняття "алгоритм" [17];
•             виділення його суттєвих ознак;
•             перевірка умов їх виконання.

Основні властивості алгоритму — дискретність, зрозумілість, визначеність, масовість і результатив­ність. Якщо одночасно виконуються всі вищевказані властивості для певної послідовності операцій, то во­на є алгоритмом. Якщо ж хоча б одна властивість не виконується, то така послідовність — не алгоритм.

Визначену послідовність операцій можна подати у вигляді алгоритму:

ЯКЩО (виконується властивість дискретності) і

(виконується властивість визначеності) і

(виконується властивість зрозумілості) і

(виконується властивість результативності) і

(виконується властивість масовості),

ТО це алгоритм, ІНАКШЕ - не алгоритм.

Варто звернути увагу на певні особливості вив­чення основних понять алгоритмічної культури: "ви­конавець", "алгоритм". Описове означення вищевка­заних понять містить терміни, що застосовуються в інших наукових галузях. Наприклад, в означенні ал­горитму замість терміна "дія" вживаються синоніми: "команда" або "операція".

У процесі формування поняття "алгоритмічна культура" здійснюється рух думки від поняття до ре­чі, від загального до конкретного, від внутрішнього до зовнішнього, що, як підкреслює Л.С.Виготський, є суттєвим для розвитку теоретичного мислення [ 3 ]. Під час формування алгоритмічної культури провідна роль належить поняттям "алгоритм", "блочність", "роз­галуження", "цикл". Тому алгоритмічне мислення — основа набуття теоретичних знань.

Узагальнюючи вищезазначене, можна дійти висновку:

1.              оволодіння складовими логічної підготовки є основою для формування елементів алгоритмічної культури молодших школярів. Набуття навичок роз­пізнання предметів за характерними ознаками, зіс­тавлення об'єктів, розподілу їх за певними властивос­тями сприяє розкриттю сутності поняття "алгоритм" та його властивостей. Розуміння змісту логічних слів і зв'язків "усі", "існує", "лише одне", "і", "або", "якщо то" дає змогу засвоювати різні типи алгоритмічних процесів та усвідомлювати варіативні способи алго­ритмічної діяльності. Ознайомлення з логікою побу­дови педагогічного програмного забезпечення дає змогу розвивати інструментально-програмний компо­нент алгоритмічної культури. Оволодіння вміннями побудови, обґрунтування й перевірки умовиводів пе­редбачає оптимальне використання раціональних і конструювання нових алгоритмів, перенесення за­гальних способів діяльності в інші умови тощо;
2.              оволодіння молодшими школярами системою ло­гічних знань і вмінь є основою для формування не лише алгоритмічної культури, а й розвитку мислення взагалі;
3.              у процесі формування логічної складової алго­ритмічної культури потрібно використовувати набу­тий життєвий досвід, розширювати логічні уявлення учнів за допомогою відповідних пізнавальних завдань;
4.              система вправ із формування логічних уявлень і вмінь як компонента алгоритмічної культури мо­лодших школярів має включати такі завдання:

• визначення характерних ознак предметів;
•  означення понять;
•  класифікація об'єктів;
•  використання логічних слів і зв'язків "усі", "ні", "деякі", "і", "або" та ін.;
• здійснення умовиводів.

Розвивати алгоритмічне мислення молодших школярів необхідно на основі початкового курсу ма­тематики. Діяльність кожного учня в колективі, а та­кож самостійна робота школярів, свідоме засвоєння знань, доведення до автоматизму вмінь та навичок здійснюються за допомогою системи алгоритмів для індивідуального та колективного користування.

На етапі попереднього ознайомлення із завдан­ням важливо не тільки розповісти, як слід розв'язу­вати його, а й продемонструвати процес практично­го виконання. Алгоритм дії за правилом складається так: учитель пояснює хід діяльності (з чого почина­ти, в якому порядку проробляти певні операції). На перших порах міркування розгорнуті. В міру засвоєн­ня матеріалу вони скорочуються, і учні в поясненнях зазначають тільки головні етапи судження.

Алгоритми належать до інструкційних завдань, в яких розкриваються порядок і спосіб виконання: по­дається зразок дії, теоретична довідка з інструкцією чи пам'яткою.

Навчання учнів ефективно використовувати алгоритми проходить у 3 етапи.

1.   Пропедевтичний етап – підготовка бази для роботи з новим навчальним матеріалом, актуалізація навичок, на яких ґрунтується застосування алгоритму, формування нової навички. Учні мають бути добре підготовлені до виконання елементарних операцій алгоритму.
2.   Основний етап:
   • розпочинається з моменту пояснення правила. Учні мають брати активну участь у складанні і запису алгоритму. Вчитель проводить бесіду, під час якої на дошці записується алгоритм, що полегшує розуміння і засвоєння правила;
   •  далі за схемою розглядаються 2-3 правила;
   •  роздаються картки з записом алгоритму або навчання проводиться за загальною таблицею. Зміст зачитується одним учнем. Потім виконуються тренувальні вправи (спочатку – колективно, потім-самостійно). Потрібно здійснювати жорстку фіксацію  розумових дій (наприклад, й формі таблиці).
   •  розгорнуте коментування (картки закриваються);
   •  діти намагаються працювати самостійно (проте за потреби можуть використати картки та вказівки).

 3. Етап скорочення операцій.

 На цьому етапі відбувається процес автоматизації навички: деякі операції здійснюються за аналогією, інші – інтуїтивно, без напруження пом’яті. Процес згортання відбувається не одночасно, а різними шляхами в різних учнів.

 Своєчасному згортанню алгоритму сприяють скорочені коментарі та приклади. Коментарі ефективні тоді, коли викладені системно і пов’язані між собою загальними ознаками, подані в певній послідовності.

 Для поліпшення засвоєння моделі алгоритму існують спеціальні прийоми:

• виконати вдома вправи за алгоритмами й запам’ятати послідовність операцій;
• записати кілька завдань з використанням алгоритму без схеми (одному з учнів можна запропонувати постановку альтернативних запитань, а другому – дати відповіді на них);
• запитати учнів: «Що будемо записувати, якщо отримаємо дві відповіді «так» і чотири  - «ні»?»Такі завдання доцільні на початку засвоєння об­числювального прийому. Коли учні переходять від розгорнутого міркування до скороченого, операції об'єднуються. Відповідно згортається алгоритм.

               Множення суми на число учні мають виконувати не розчленовано, а як цілісну дію. Навчаючись пись­мового множення на двоцифрові числа, діти самі, вслід за класоводом, складають алгоритм дії. На пер­шій стадії вони поетапно керуються ним, не заучую­чи напам'ять. Згодом, у міру невимушеного за­пам'ятовування, звертаються для контролю до картки з алгоритмом дедалі рідше.

Отже, алгоритмічні завдання розраховані на пер­ший ступінь формування пізнавальної самостійності (наслідування, копіювання, перенесення за аналогі­єю); водночас вони створюють певні умови для пере­ходу до складніших завдань, що потребують вищого рівня пізнавальної активності та самостійності.

На уроках математики в початкових класах, врахо­вуючи вікові особливості молодших школярів, вчу ді­тей розрізняти алгоритмічність окремих процесів; формую вміння міркувати так, як це прийнято в алго­ритмах (за командами присвоєння, умовного перехо­ду і циклічності), ознайомлюю з найпростішими спо­собами їх опису та застосування. А для цього широко використовую сюжетно-ігрові ситуації, що моделюють суперечності, які треба відповідним чином розв'язати.

У сюжетно-ігрових ситуаціях учні змушені мірку­вати в алгоритмічний спосіб. Виникає також можли­вість ознайомити їх з графічним фіксуванням цих мір­кувань — блок-схемою. Блок-схема має точно і чітко описувати алгоритмічні дії. Як відомо, одним із голов­них завдань початкового курсу математики є форму­вання обчислювальних навичок. Однак, треба не ли­ше навчити додавати, віднімати, множити, ділити, а й виконувати дії раціонально, осмислено. Для цього важливо розвивати математичну зіркість, кмітливість.

Міцність і автоматизм потрібних навичок досяга­ються у процесі тривалих вправлянь, та оскільки од­нотипні завдання втомлюють дітей, їх треба урізно­манітнювати. Тому в 3, 4 класах вводяться складніші циклічні алгоритми та незвичні лабіринти. Ускладне­ні циклічні алгоритми включають у себе складніші повторення виконань кількох арифметичних дій у певній послідовності. Незвичні лабіринти викорис­товую переважно для усної лічби і розв'язування за­дач. Дітям вони подобаються. Адже, йдучи такими лабіринтами, вони вчаться відповідати усно, що роз­виває їхнє мовлення, активізує мислення і закріплює навички усного рахунку.

Подорож лабіринтами викликає у дітей більше за­цікавлення, ніж просте механічне виконання ариф­метичних дій, сприяє кращому засвоєнню обчислю­вальних навичок. Такий матеріал доступний і цікавий учням, вони працюють із задоволенням.Часто в лабіринтах для перевірки умови викорис­товується блок розгалуження. В такому блоці запису­ють умову, яку необхідно перевірити, і залежно від того, чи вона виконується, обчислення продовжу­ються по гілці "так", або по гілці "ні", якщо не вико­нується. Необхідно пояснити призначення нового бло­ку ромб, та чим він відрізняється від прямокутника. (Прямокутник — це блок, що нагадує кімнату, у якої одні двері зверху - вхід, а внизу - один вихід. Ромб має один вхід, але виходи — два: вихід — так, вихід — ні. Який же вибрати? Якою дорогою рухатись далі? Це залежить від умови, яку записано в блоці ромб).

Основними помилками під час виконання арифметичних дій, а саме, ділення, є неправильно визначена кількість цифр у частці, зокрема, у випад­ках ділення з нулями (у частці, діленні чисел, що за­кінчуються нулями), та невміння правильно визначи­ти перше і наступні неповні ділені. Однак, причини помилок, які роблять випускники шкіл під час вико­нання дії ділення з багатоцифровими числами, слід виявляти не тільки у надмірній інформатизації нав­чального процесу, коли учні надають перевагу "кноп­ковим" обчисленням за допомогою калькулятора чи комп'ютера, зменшенні кількості годин для навчання математичних дисциплін у загальноосвітній школі, а й у низькому рівні сформованості навичок письмово­го виконання дії у початкових класах.

Недостатня розробленість проблем наступності та неперервності між ступенями математичної освіти (початкової, середньої) для формування повновартісних обчислювальних навичок і умінь на різних ета­пах навчання спричиняє порушення цілісного про­цесу розвитку математичного мислення учнів і такої математичної якості, як алгоритмічність. Реалізація дидактичних принципів наступності і неперервності в обчислювальній діяльності забезпечується взаємо­дією суміжних ланок освіти за змістовими лініями, однією з яких є дія ділення. Розглядаючи цю дію ширше, ніж арифметичну, вкажемо її алгебраїчний і арифметичний аспекти та спільну царину у форму­ванні алгоритмічності мислення.

До алгебраїчного аспекту належить вміння вико­нувати округлення, знаходити значення квадратного кореня, застосовувати алгоритм ділення многочленів (теорема Безу), що містить сукупність приписів, пос­лідовне виконання яких приводить до знаходження частки. Наступним прикладом може виступати алго­ритм Евкліда для знаходження найбільшого спільного дільника, алгоритм переходу від запису звичайного дробу до ланцюгового, ділення поліномів. Арифме­тичний аспект полягає у засвоєнні алгоритму ділен­ня, формуванні стійких та міцних навичок усного та письмового виконання дії ділення, зокрема, таблич­ного і позатабличного ділення, ділення багатоцифрового числа на одно- і двоцифрові числа, ділення з ос­тачею. Спільним для алгебраїчного та арифметичного аспектів ділення є: існування алгоритму як сукупнос­ті настанов щодо послідовності виконання окремих операцій; чіткість, лаконічність і обґрунтованість кожної команди та їх послідовність; циклічність про­цесу ділення; використання алгоритму для певного класу завдань (алгебраїчних, арифметичних); резуль­тативність або існування частки при діленні матема­тичних виразів.

У середньовіччя вміння виконувати ділення нату­ральних чисел було однією з вимог магістерського екзамену, а більше двохсот років тому математиками була запропонована форма запису письмового ділення, близька до сучасної. Однак, процес ділення у нав­чанні дітей на той час мав ознаки формального ви­конання дії. Лише з упровадженням усвідомлено-практичного підходу до викладання математики молодшим школярам постало питання не тільки про технічний аспект письмового виконання дії ділення, а й про теоретичну базу та обгрунтування окремих операцій, про підготовчу роботу, спрямовану на усві­домлене засвоєння письмового алгоритму ділення. Розкриємо теоретичні положення та подамо мето­дичні рекомендації, які, на мою думку, сприятимуть формуванню алгоритмічності мислення молодших школярів та підвищенню якості їхньої математичної підготовки.

Способи підрахунку кількості цифр у частці

Перший спосіб полягає у попередньому визначен­ні кількості цифр за різницею кількості цифр ділено­го і дільника. Можливі лише два варіанти:

 I варіант. Наприклад, при діленні числа 500072 на число 68 у частці буде число 7354. Різниця цифр ді­леного (6 цифр) та дільника (2 цифри) дає кількість цифр у частці (4 цифри).

II варіант. При діленні числа 750516 на 68 кількість цифр у частці буде на одну більша, ніж різниця кількості цифр діленого і дільника (4 цифри).  Частка дорівнює 11037, отже, кількість цифр у частці — 5.

Таким чином, при діленні багатоцифрових чисел кількість цифр у частці дорівнює різниці кількості цифр діленого та дільника або більша на одиницю.

Тому варто подавати молодшим школярам завдан­ня для визначення кількості цифр у частці, викорис­товуючи обидва варіанти. Добирати числа так, щоб розглянути різні варіанти завдань, у яких: а) ділене — варіативне число, а дільник — стале; б) ділене — ста­ле число, тоді як дільник — варіативне число.

Завдання 1. Що спільного у прикладах і чим вони відрізняються? Визначити підрахунком різницю кількості цифр діленого і дільника:

486720 : 6 = 81120 (Різниця дорівнює 5 і вона співпадає з кількістю цифр у частці);

486720 : 39 = 12480 (Різниця дорівнює 4. Кількість цифр у частці на одну більша, ніж знайдена різниця).

Завдання 2. Визначити кількість цифр у час­тці підрахунком різниці кількості цифр діленого та дільника. Перевірити правильність відповіді діленням:

410733 : 47. Різниця дорівнює 6-2 = 4 (цифри), частка — 8739.

581296 : 47. Різниця дорівнює 6-2 = 4 (цифри), частка — 12368. У частці кількість цифр на одну біль­ша, ніж визначена підрахунком — 5.

Завдання 3. Визначити кількість цифр у час­тці підрахунком різниці та перевірити діленням:

395136 : 2 = (Частка - 197568. Кількість цифр у частці на одиницю більша за різницю кількості цифр діленого і дільника).

395136 : 8 = (Частка - 49392. Кількість цифр у частці дорівнює різниці кількості цифр діленого і дільника).

Другий спосіб встановлення кількості цифр у час­тці пов'язаний із визначенням першого неповного ді­леного та назвою загальної кількості одиниць непов­ного діленого.

Розглянемо конкретні випадки ділення багатоцифрового числа на одноцифрове. Знову-таки можливі два випадки: а) якщо кількість одиниць найвищого розряду більша за ділене. Наприклад, 741879 : 3. Най­вищий розряд першого неповного діленого — сотні тисяч, оскільки 7 тисяч можемо поділити на 3 (7 > 3) і у частці найвищим розрядом буде сотня тисяч, а цифр - шість (741879 : 3 = 247293). Пропонуємо над першим неповним діленим креслити дугу, що дозво­лить здійснювати підрахунок кількості цифр у частці; б) якщо кількість одиниць найвищого розряду мен­ша за ділене. Наприклад, 655123 : 7. Подамо зразок міркування: найвищий розряд діленого — сотні ти­сяч. У діленому всього 6 сотень тисяч, однак 6 сотень тисяч не можна поділити на 7 (6 < 7) так, щоб у час­тці були одиниці цього розряду. Отже, першим не­повним діленим буде число 65 десятків тисяч, а у частці п'ять цифр (655123 : 7 = 93589). Зразок підра­хунку цифр частки:

741879   3 655123   7

У випадку ділення багатоцифрового числа на дво­цифрове знаходження кількості цифр у частці зво­диться до визначення першого неповного діленого та його аналізу. Розглянемо два випадки ділення: а) як­що перше неповне ділене містить дві цифри, наприк­лад, 876012 : 37. Зразок міркування: дільник є дво­цифровим числом, тому перше неповне ділене може бути 87 десятків тисяч. Число 87 десятків тисяч мо­жемо поділити на 37 (87 > 37) і найвищим розрядом частки буде розряд десятків тисяч. У частці матиме­мо п'ять цифр; б) якщо перше неповне ділене міс­тить три цифри. Наприклад, при діленні чисел 566475 та 83. Число 56 десятків тисяч не може бути першим неповним діленим, оскільки 56 десятків ти­сяч не можемо поділити на 83 (56 < 83), щоб у частці залишалася цифра цього розряду. Отже, перше не­повне ділене — 566 тисяч, а у частці чотири цифри.

Алгоритм визначення кількості цифр у частці по­лягає у відокремленні у діленому зліва стількох цифр, скільки їх є у дільнику, у підрахунку кількості цифр, що залишилися (знайдена частка міститиме таку ж кількість цифр або на одну менше), а також у визна­ченні першого неповного діленого так, щоб воно ді­лилося на дільник і у частці цифра найвищого роз­ряду відповідала розряду першого неповного діленого.

Алгоритми письмового ділення. У формуванні вмінь виконувати письмове ділен­ня слід розрізняти види алгоритмів письмового ді­лення залежно від дидактичного навантаження, яке вони виконують у навчальному процесі. Вкажемо та­кі види алгоритмів, як узагальнений, розширений та згорнутий.

Узагальнений алгоритм характеризується цикліч­ністю та масовістю. Подамо цикл цього алгоритму:

1.     Визначити неповне ділене та кількість цифр у частці.
2.     Визначити цифру частки прийомом підбору або округлення.
3.     Перевірити правильність вибору цифри частки. Дізнатися, скільки одиниць неповного діленого поді­лили і скільки залишилося поділити.
4.     Утворити наступне неповне ділене.

    5. Повторити від команди № 2 до знаходження останньої цифри частки.

У процесі формування письмового ділення під час етапу ознайомлення із конкретним випадком ді­лення важливо, щоб розмірковування учнів будува­лися за допомогою розширеного алгоритму із вико­ристанням опорних слів {неповне ділене, кількість цифр у частці, пробна цифра, різниця чисел, остача).

Організаційно-методичне забезпечення форму­вання повновартісних навичок письмового виконан­ня арифметичних дій передбачає систему різновидних завдань на засвоєння письмового виконання дії ділення та розвитку алгоритмічності мислення . У формуванні алгоритмічної культури під час навчальної діяльності учнів початкових класів важливу роль відіграє застосування інформаційно-комунікаційних технологій. Використання комп’ютера на уроці уможливлює   індивідуалізацію навчального процесу. Комп’ютерні програми, як правило, передбачають поділ завдань за рівнями складності. Учням пропонують завдання того рівня, який їм доступний.

Досконала організація та змістове наповнення комп’ютерного уроку, чіткість у переході від одного виду роботи до іншого – все це підвищує його інтенсивність. Різноманітні форми комп’ютерного контролю (малюнок – приз – оцінка («тобі присвоюється звання професора») – самоконтроль та ін.) забезпечують об’єктивність і своєчасність у підбитті підсумків роботи.

Отже, сучасний розвиток освіти, зростаючий потік інформації свідчать про те, що в наш час недостатньо використовувати лише традиційні засоби навчання, потрібно їх удосконалювати на основі новітніх досягнень науки і техніки. Одним із шляхів такої модернізації є розроблення концепції алгоритмізованого навчання.

Алгоритм може бути елементом програмованого навчання як системи навчальної роботи з опосередкованим програмним управлінням пізнавальною діяльністю учнів.

Для кращого розуміння учнями логічної моделі алгоритму потрібно, щоб він був складений ними самими, звичайно, з допомогою вчителя.

Під час навчальної діяльності, спрямованої на формування алгоритмічної культури молодших школярів, потрібно, щоб діти дотримувалися визначеної послідовності виконання алгоритму, виділяли графічно основний зміст у ньому, а також поступово наповнювали модель новою якістю, крім операцій, що швидко запам’ятовуються.

Якщо точно виконувати всі «кроки», то алгоритм завжди призводить до правильного розв’язку, глибокого засвоєння правил.

Навчання учнів способів і прийомів виконання певного курсу завдань є ефективним засобом управління своїм мисленням. Використання алгоритмів сприяє успішному засвоєнню знань з різних предметів, адже з їх допомогою:

• мислитель на діяльність розподіляється на елементарні порції;
• визначається оптимальна структура послідовності виконання навчальних дій;
• здійснюється пошук розв’язку завдання в певній покроковій діяльності.

Вивчення навчального матеріалу за допомогою алгоритмів сприяє досконалій організації навчальної праці, спонукає учнів до точності, економічності дій, формує в них алгоритмічний спосіб мислення.

Виявивши теоретичні основи і принципи методики формування міцних навичок за допомогою алгоритмізації процесу навчання, обґрунтувавши ефективність застосування різноманітних видів алгоритмічних приписів у процесі засвоєння школярами правил, доведено, що процес навчання може відбуватися інтенсивніше і може бути результативнішим, якщо робота, пов’язана із застосуванням алгоритмів-правил й алгоритмів-дій, проводитиметься вчителем систематично і на стадії згортання буде близькою до автоматизму.

Саме алгоритмічність мислення впливає на розвиток ло­гічного мислення, упорядкування розмірковувань, дотримання чіткості в обгрунтуванні окремих опера­цій та їх комплексу, що сприяє формуванню усвідом­леного та відповідального ставлення до виконаної роботи, а в широкому розумінні - соціальної відпо­відальності майбутнього члена суспільства.