Функції. Властивості та графіки функцій. Повторення 9 клас

Функції. Властивості та графіки функцій Повторення і систематизація навчального матеріалу 9 класу. Розробила: Мельник А.А.

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 Приклади лінійних функцій: у = 5х + 3; у = - 4 – х; у = - 6х; у = 3. Оластю визначення лінійної функції є множина всіх дійсних чисел Побудуємо графік функції у = 2х - 3

Графіком лінійної функції є пряма (Для побудови потрібно 2 точки)

Але у формулі у = kx + b, яка задає лінійну функцію, припустимі є й випадки, коли k = 0 та/або b = 0 1) b = 0, k ≠ 0 y = kx – пряма пропорційність Приклад функцій прямої пропорційності у = 3х, у = - х, у = х,

 2) у = kx + b k = 0 y = b Наприклад у = 3, у = - 4, у = - 0,5 Графіком функції у = b, де b ≠ 0, є пряма, параллельна осі абсцис Графіком функції у = 0, є вісь абцис

Таблиця значень функції для деяких значень аргумента. x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 y 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6.25 9

Властивості функції

y=x−−√  x 0 1 4 9 16 y 0 1 2 3 4

Означення: Функція виду y=ax2 +bx+c, де х – аргумент і а ≠ 0 називається квадратичною, а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 у=ax2 Графіком квадратичної функції є парабола

Розміщення графіка функції 1.Необхідно знайти розміщення вершини параболи точку А(m;n); 2. Необхідно з'ясувати вгору чи вниз будуть направлені вітки параболи; 3. Необхідно знайти нулі функції, тобто де графік функції буде перетинатись з віссю абсцис 0х. 4. Необхідно з'ясувати де в декартовій системі координат квадратична функція буде набувати додатних (+) і від'ємних (-) значень.

Вершина параболи Для того, щоб знайти вершину параболи, необхідно скористатись наступними формулами Точка А(m;n) – вершина параболи y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) B(m;n) а<0 а>0

Вісь симетрії Так як квадратична функція парна функція, то її графік буде симетричний відносно осі симетрії. Вісь симетрії проходить через вершину параболи. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 А(m;n) Вісь симетрії параболи y = m а>0 а<0

Графік квадратичної функції – парабола, вітки якої направлені вгору, якщо а>0 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 і вниз, коли а<0 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 Направлення віток параболи а>0 а<0

Розташування віток параболи В залежності від абсолютної величини а – першого коефіцієнта, вітки параболи будуть пологими (01) відносно вісі симетрії 0<а<1 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 а>1 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y = x2 y = 1/3*x2 y = x2 y = 2x2 y = 3x2 y = 4x2

Зростання і спадання графіка функції. В залежності від значення а – першого коефіцієнту, графік квадратичної функції може спочатку спадати, а потім зростати на області визначення D(x), або навпаки зростати, а потім спадати y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 а>0 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 а<0

Вершина параболи Але вершина параболи точка А(m;n) не завжди буде знаходитись в точці О(0;0): це буде залежати від розміщення графіка функції. Графік функції буде розміщуватись по різному і це залежить від багатьох факторів. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) А(m;n) А(m;n) а>0 а<0 а>0

Нулі функції Щоб знайти точки перетину параболи з віссю 0х, необхідно прирівняти квадратний тричлен до 0(нуля), розв'язати квадратне рівняння і знайти його корені. ax2+bx+c=0 D=b2-4ac Якщо D>0 ,то ми будемо мати 2 дійсних-різних корені х1= ; х2=

Графік функції буде розміщуватись так. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 х1 х2 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 х1 х2 графік функції двічі перетинає вісь 0х а>0 а<0

Якщо D=0, то ми матимемо 2 дійсних-рівних корені х1,2= графік функції тільки в одній точці перетинає вісь 0х (дотикається до вісі 0х) і точка дотику буде в вершині параболи y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 А(m;n) а>0 а<0

Якщо D<0, то дійсних коренів квадратний тричлен не матиме, корені будуть комплексні-спряжені, графік функції не перетинає вісь 0х в жодній точці y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 а>0 а<0

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D якщо a>0 якщо D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х 0 х1 х2 + + - y х 0 y х 0 х1,2 + + + +

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D якщо a<0 якщо D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х 0 y х 0 y х 0 + - - - - - - х1 х2 х1,2