функція, її властивості

Поняття функції,  область визначення і область значень функції.

Властивості функції.

 Числовою функцією (або функціональною залежністю) називають таку залежність між двома змінними, при якій кожному значенню незалежної змінної з деякої множини відповідає за певним правилом єдине значення залежної змінної.  Наприклад: у = f(x)

Незалежну змінну х ще називають аргументом функції,

а залежну змінну у - значенням функції або функцією від цього аргументу.

Областю визначення функції у = f(x) називають множину всіх значень, яких може набувати аргумент х. Позначають цю множину через  D(y).

 1) Якщо функцію задано у вигляді у = х ² - 2х + 3, то область визначення функції є множина всіх дійсних чисел, що записують так: D(y) = R.

 2) Якщо функцію задано у вигляді   у= , то областю визначення функції є множина всіх значень х, для яких х + 1 ≠ 0 , тобто х ≠ - 1 , оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Отже, D(y) = (-; - 1 ) и ( - 1 ; +).

 3) Якщо функцію задано у вигляді  у = , то областю визначення функції є множина всіх значень х,  для яких х - 2 > 0 , тобто х > 2 , оскільки підкореневий вираз має бути невід’ємним і до того ж відмінним від нуля, бо  корінь міститься у знаменнику дробу. Отже, D(y) = (2; + ) .

 4) Якщо функцію задано у вигляді  у=, то областю визначення функції є множина всіх значень х,  для яких  х ²(- х - 1) > 0. Оскільки х ² > 0 для всіх значень х  і до того ж х ² = 0. Якщо х = 0, то матимемо, що область визначення складається із числа 0 та розв’язків нерівності - х - 1 > 0, тобто х < -1. Отже, D(y) = (- ; -1 ] и {0}.

Множиною (або областю) значень функції  у = f(x) називають множину, що складається з усіх чисел  у, де х є D(у). Позначають цю множину через Е(у) Наприклад: Знайти множину значень функції:

1 ) у = 3 - ; Розв’язання.  Вираз    може набувати будь-якого невід’ємного значення: ≥ 0. Помножимо обидві частини цієї нерівності на - 1 і змінимо при цьому знак нерівності на протилежний: -  ≤ 0. Додамо до обох частин нерівності число 3. Тоді  3 -  ≤ 3, тобто у ≤ 3. Отже, множиною значень  функції у = 3 - є проміжок (-; 3 ]. Маємо: Е(у) = (- ; 3].

2) у = х ²- 2 х + 3.  Виділивши квадрат двочлена, маємо х ²- 2 х + 3 = х ² - 2х + 1 + 2=  = (х - І )² + 2.  Отже,  у = (х - І )² + 2.  Оскільки   (х - 1) ²> 0,  то  (х - 1)² + 2 > 2.         Маємо: Е(у) = [2; +).

Функцію можна задавати: формулою, таблицею, графіком, словесно.

Властивості функцій

1. Нулі та проміжки знакосталості функції

 Значення аргументу х, при яких значення функції   у = f(x) дорівнюють нулю, називають нулями функції. Щоб знайти нулі функції у = f(x), треба розв’язати рівняння  f(x) = 0. На графічному зображенні функції – це точки перетину з віссю Ох.

 Наприклад: Знайти  нулі функції  у = х ² + 2х - 8.

 Розв’ язання.  х ² + 2х - 8х = 0 для якого х ₁ = 2, х ₁ = —4 - нулі функції.

Проміжок, на якому функція зберігає знак, називають проміжком знакосталості функції.      f(x ) > 0 - точки графіка лежать вище від осі абсцис, х ² + 2х - 8 0, х (-,

а для значень f(x) < 0  - нижче від осі абсцис,  х ² + 2х - 8 0,  х (- 4; 2)

2. Проміжки зростання, спадання.

 Функцію у = f(x) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції. Інакше кажучи, функцію у = f(x) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х ₁ і х ₂ із цього проміжку, таких, що х ₂ > х ₁, справджується нерівність f(x ₂) f(х₁)

Функцію у = f(x) називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції. Функцію у = f(x) називають спадною на деякому проміжку, якщо для будь-яких  х ₂ > х ₁,   із цього проміжку, справджується нерівність f(x ₂) < f(х₁).

 Функцію у= f(x)  називають сталою на деякому проміжку, якщо для будь-яких значень аргументу х ₁ і х ₂ із цього проміжку, f(x ₂) f(х₁). Графік функції паралельний осі абсцис. 

3. Парність і непарність функцій

Функцію  у = f(x)  називають  парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення справджується рівність:

f(- x) =  f(x).  Графік будь-якої непарної функції симетричний відносно осі ординат.   

Функцію у = f(x)    називають непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення справджується рівність:

 f(- x) = -  f(x.)    Графік будь-якої непарної функції симетричний відносно початку координат.

4. Найбільше та найменше значення функції

 Якщо графік функції у = f(x) на проміжку [а; в] є неперервною лінією, то у множині значень функції є найбільше число і найменше число. Ці числа називають найбільшим і найменшим значеннями функції на проміжку [а;в].

Обернена функція

Під час дослідження функцій ми  неодноразово розв’язували задачу знаходження значення функції f(x) для заданого значення аргументу х. Часто доводилося розв’язувати й обернену задачу: знаходити значення аргументу х, для якого функція набуває заданого значення у. Функцію, яка набуває кожного свого значення тільки в одній точці області визначення, називають оборотною.

Функція  f(x) = 2х - 7, є оборотною,  тому оберненою для неї буде функція              х = ( у + 7 ) : 2,  або g = ( х + 7 ) : 2. а функція f(x ) = х ² + 2, не є оборотною. Графіки функцій у = 2 х - 7 і g = (х + 7 ) : 2   побудовані в  одній  координатній площині  є симетричними відносно прямої у = х . Таку властивість мають графіки для будь-якої оборотної і оберненої до неї функцій.