Геометричні методи розв’язування алгебраїчних задач

Геометричні методи розв’язування алгебраїчних задач

Працюючи з дітьми, які цікавляться математикою, на факультативах, готуючи їх до олімпіад, ми розв’язуємо багато складних задач. І завжди інтерес і навіть захоплення дітей викликає можливість застосувати геометричні методи до розв’язування алгебраїчних задач. Адже вони переконуються в тому, що таким способом можна зробити розв’язання складної задачі простішим, компактнішим, раціональнішим.

У математичній літературі питанню інтеграції алгебраїчного змісту задач і геометричних методів їх розв’язування приділяється недостатня увага Проте є багато алгебраїчних задач, традиційне розв’язання яких складне, громіздке, а іноді не можливе. Досить часто у таких випадках успішно розв’язує проблему застосування геометричних методів.

Деякі текстові задачі, рівняння та їх системи доцільно розв’язувати, використовуючи геометричні методи. Також цінним є володіння геометричними методами при розв’язуванні вправ з тригонометрії.

Геометричне розв’язування рівнянь та систем рівнянь

 

Розглянемо кілька прикладів застосування геометричних методів до розв’язування рівнянь та систем рівнянь.

Задача 1. Із умов , та для додатних не обчислюючи їх значень, вкажіть значення виразу .

Розв’язання. Розв’язати систему рівнянь не складно.

Але задача не вимагає розв’язувати систему й потім обчислювати значення виразу . Навпаки, знайти це значення треба, не розв’язуючи систему рівнянь.

Ось як будемо це робити.

Так як , та , то задачу можна представити геометрично.

За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, числа та 3 є довжинами відповідно катетів та гіпотенузи трикутника (кут прямий).

 

Тоді, розглянувши друге рівняння системи, можна зробити висновок, що і 4 є відповідно довжинами катетів та гіпотенузи трикутника з прямим кутом .

Третє рівняння системи дозволяє стверджувати, що число є середнім пропорційним чисел та . Тоді за теоремою, оберненою теоремі про пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику, кут прямий .

Тепер, щоб відповісти на головне питання задачі, розглянемо вираз .

Відповідь. 12.

 

Задача2.Знайдіть усі значення параметрапри яких система рівнянь має рівно 4 розв’язки і не має розв’язків.

Розв’язання. Побудуємо лінії, що визначаються рівняннями системи . Чотири розв’язки можуть бути лише в двох випадках: коли , або .

Система не має розв’язків, якщо а>1і а<1/2 (зрозуміло, що а ≥ 0).

Відповідь: 1; ½. а>1і а<1/2, а ≥ 0.

Задача3 . Для додатних із умов не знаходячи значень , обчисліть значення виразу .

Розв’язання. Запишемо три умови задачі у вигляді системи рівнянь

За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, числа та 5 є довжинами відповідно катетів та гіпотенузи трикутника з прямим кутом , а числа і 13 є довжини сторін трикутника з кутом , що дорівнює 135°.

Цей висновок можна зробити, використовуючи теорему, обернену теоремі косинусів. Аналогічно та 12 є довжини сторін трикутника з кутом, що дорівнює 135°.

На рисунку  зображені ці трикутники. Так як , то в трикутнику = 90°.

 

Відповідаючи на головне питання задачі, помітимо, що значення виразу дорівнює чотирьом площам трикутника .

Отже, = 120.

Відповідь: 120.

 

Задача 4. Розв’язати систему рівнянь :

Геометричний спосіб розв’язання.

Розглянемо доданки другого рівняння й перетворимо підкореневі вирази.

Нехай це відстань між якоюсь точкою та .

Нехай це відстань між точками та .

Знайдемо відстань між точками і :

Звідси слідує, що .

Складемо рівняння прямої , що проходить через точки і .

Отже ,

Одержуємо нову систему:

Її розв’язками є числа

На цьому прикладі особливо чітко видно математичну витонченість і красу геометричного методу.

Без його застосування розв’язання цієї вправи було б громіздким і важким.

 

Задача 5. Знайти найбільше значення функції .

Розв’язання

Уведемо вектори і .

Тоді .

Найбільше значення функції .

Задача 6. Довести нерівність:

Розв’язання

Уведемо вектори: .

Тоді

Нерівність стає очевидною.

Можна довести і  аналогічну нерівність для простору:

 

 

 

 Геометричні методи розв’язування тригонометричних задач

 

 

Особливо цінним є застосування геометричних методів у розв’язуванні тригонометричних задач. Адже ці задачі, як правило, при розв’язуванні традиційними методами викликають значні труднощі, а часто їх розв’язок знайти практично не можливо.

Задача 7.Обчисліть .

Алгебраїчним методом це завдання можна виконати наступним чином:

1)

2)

3)

4)

Так як то

Якщо то при .

Звідси слідує, що

Знаходження геометричним методом.

Звернемося до рисунка .

Суми внутрішніх кутів трикутників дорівнюють по , отже, і

Трикутники та подібні, так як обидва є рівнобедреними зі спільним кутом при основах Отже,, тобто

Якщо і (, так як ) то і .

Звідси

Це число називають золотим перерізом або числом Фідія (батька Архімеда).

Так як , а ,то .

Відповідь: .

Задача 8.Обчисліть .

Розв’язання: Розглянемо прямокутний трикутник ,

у якому і - одиничний відрізок.

Визначивши величини кутів, помічаємо, що

Так як , то .

Відповідь: .

 

Задача 9. Довести рівність.

 

Розв’язання:

а) Для доведення розглянемо рівнобедрений трикутник з кутами , ,   і проведемо бісектрису кута . Тоді . Нехай для визначеності.

Із трикутників та отримаємо , , а з рівності відразу слідує  потрібне співвідношення.

Володіння різними способами розв’язування задач дає змогу обирати оптимальний шлях знаходження розв’язку.

 Інтеграція алгебраїчного змісту задач і геометричних методів їх розв’язування дозволяє розвинути логічне мислення, уяву, математичні здібності учнів, їх інтерес до математики, сформувати уявлення про цілісність науки математики , що включає алгебру й геометрію.

Використана література

1. Математика. Навчальний посібник для факультативних знань у 8 класі. За редакцією професора Боровика В.Н. Ніжин – 2006.
2. Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А. , Полонський В.Б. , Якір М.С.  Алгебра і початки аналізу підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів,  профільний рівень. Харків «гімназія» 2018.
3. Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А. , Полонський В.Б. , Якір М.С. Алгебра і початки аналізу підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів,  профільний рівень. Харків «гімназія» 2018.
4. Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А. , Полонський В.Б. , Якір М.С. Збірник завдань для державної пісумкової атестації,  9 клас. Київ, Центр навч.-метод. літ.,  2014
5. Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А. , Полонський В.Б. , Якір М.С. Збірник завдань для державної пісумкової атестації,  11 клас. Київ, Центр навч.-метод. літ.,  2014
6. Якір М.С., Мерзляк А.Г., Полонський В.Б. Несподіваний крок або сто тринадцять красивих задач. Київ: Агрорифма «Олександрія». 1993.
7. Яковець В.П. , Боровик В.Н. , Мельник В.П. , Ваврикович П.В. Аналітична геометрія на площині. Практикум. Ніжин – 2005
8. Кушнір І. Геометричні розв’язання негеометричних задач // №11. 1989.
9. Ясиновий  Е.Геометрія допомагає розв'язувати рівняння // №12. 1984.