Геометричні перетворення

Урок 5

Тема. Геометричні перетворення

«Симетрія – це ідея, за допомогою якої людина

намагається пояснити і створити порядок, красу і досконалість»

Г.Вейль

Мета:

• повторити, систематизувати, доповнити знання про приклади геометричних перетворень, їх найпростіші властивості;

• вчитися розв’язувати задачі на геометричні перетворення

При опрацюванні теми необхідно:

• повторити теоретичний матеріал, розглянути приклади розв′язування задач;

• розв’язати тестові завдання

• розв´язати задачі

Теоретична скарбничка

Перетворенням фігури F на фігуру F₁ називається така відповідність, при якій:

• кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F_{1 ;}

• кожній точці фігури F₁ відповідає єдина точка фігури F;

• різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F₁

П ри цьому F₁ називають образом фігури F для даного перетворення.

Приклад:

Побудувати образи точки Е₁ при перетворенні відрізка С₁ D₁ на відрізки С₂D₂ і С₃D₃ , якщо відповідні точки лежать на променях з початком О.

Через точку О проводимо промені, які перетинають відрізки С₂, D₂ , С₃, D₃ у точках Е_2, Е₃ відповідно.

Точки Е_2, Е₃ - образи точки Е₁ при перетворенні відрізка С₁ D₁ на відрізки С₂D₂ і С₃D_3.

Приклади перетворень:

Р ух (переміщення) – перетворення фігури F, яке зберігає відстань між точками.

Паралельне перенесення на – перетворення, при якому кожній точці Х фігури М ставиться у відповідність точка Х₁ фігури М₁ така, що .

Паралельне перенесення є рухом.

С иметрія відносно точки (центральна симетрія).

Точки А А₁,В В₁,С С₁ – називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізків АА₁, ВВ₁, СС_1.

Симетрія відносно прямої (осьова симетрія)

Т очки Х і Х₁ називаються симетричними відносно прямої g, якщо пряма g є серединним перпендикуляром відрізкаXX₁.

Фігуру називають симетричною відносно прямої АВ, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно прямої АВ, також належить цій фігурі.

Пряма АВ – вісь симетрії фігури.

Вісь симетрії мають:

• р івнобедрений трикутник (пряма, яка містить висоту, проведену до основи);

• рівносторонній трикутник має три осі симетрії;

• будь-якій кут має вісь симетрії – це пряма, яка містить його бісектрису;

• відрізок має дві осі симетрії:- це його серединний перпендикуляр і пряма, яка містить цей відрізок;

• квадрат має чотири осі симетрії;

• к оло має безліч осей симетрії – це будь яка пряма, що проходить через центр кола;

• безліч осей симетрії має пряма-це пряма, перпендикулярна до неї.

П рикладом перетворення фігур є поворот:

ОХ = ОХ₁. точка О – центр повороту, - кут повороту

Приклад розв´язування задач

Задача 1

Точки А(5; у) і В(х; -7) симетричні відносно точки Р(3; -8). Знайти х і у.

Розв´язання.

Оскільки точки А і В симетричні відносно точки Р, то точка Р є серединою відрізка АВ. За формулами координат середини відрізка маємо

3= -8=

Відповідь. х=1; у=-9.

П еревір свої знання

Тестове завдання № 1

1. Знайти координати точки О, відносно якої симетричні точки А(-4; 1) і В (-2; -3)

2. Серед точок А(3; 2), В(-2; -3), С(-3; 2), D(-3; -2) виберіть дві, які симетричні відносно осі абсцис

3. Серед наведених геометричних фігур укажіть ту, яка не має осей симетрії

4. При паралельному перенесенні точка А(-4; 9) переходить у точку А₁ (5; -8). Знайдіть координати т. В₁, у яку переходить т. В (2; -3) за такого паралельного перенесення

5. Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло (х – 1)² + (у - 1)² = 1 при симетрії відносно осі ОУ

А	Б	В	Г
(х – 1)2 + (у + 1)2 = 1	(х – 1)2 + (у - 1)2 = 1	(х + 1)2 + (у - 1)2 = 1	(х + 1)2 + (у + 1)2 = 1

6. Знайдіть координати точки В, у яку переходить точка А ( ) при повороті її навколо початку координат на кут 60° за годинниковою стрілкою

Розв´яжи сам

Задача 1

Довести, що точки, які лежать на сторонах даного кута і рівновіддалені від його вершини, симетричні відносно прямої, яка містить бісектрису цього кута.

Задача 2.

Доведіть, що точки перетину двох кіл симетричні відносно прямої, яка проходить через центри цих кіл.

Задача 3.

Осями симетрії ромба є прямі х=-2 і у=1.Двома його сусідніми вершинами є точки А(-2;3) і В(2; 1). Знайдіть координати інших вершин ромба.

Відповідь. С(-2; -1), D(-6; 1).

.

Відповіді до завдань тестової роботи

Шкала оцінювання

Презентація «Симетрія в природі»