Геометричний зміст визначеного інтеграла розбір завдань НМТ
𝒂𝒃𝒇𝒙+𝒈𝒙𝒅𝒙=𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙+𝒂𝒃𝒈𝒙𝒅𝒙 𝒂𝒃𝒌𝒇𝒙𝒅𝒙=𝒌𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙 Властивості визначеного інтеграла
𝑺=𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙 𝑺 𝑺>𝟎, 𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙>𝟎 Обчислення площ фігур. Оскількито
𝑺=𝟎𝟏𝒆𝒙𝒅𝒙=𝒆𝒙|𝟎𝟏=𝒆−𝟏
𝑺=𝟎𝝅𝟑sin𝒙𝒅𝒙=−cos𝒙|𝟎𝝅𝟑=−cos𝝅𝟑+cos𝟎=−𝟏𝟐+𝟏=𝟏𝟐
abh𝟎𝟕𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝟑+𝟖𝟐⋅𝟕=𝟑𝟖,𝟓 𝟎𝟕𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑺трапеції=𝒂+𝒃𝟐⋅𝒉 𝑺
−𝟓𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑺півкруга 𝑺півкруга=𝟏𝟐𝛑·𝑹𝟐=𝟏𝟐𝛑·𝟓𝟐=𝟏𝟐,𝟓𝛑 𝟏𝝅−𝟓𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝟏𝝅·𝟏𝟐,𝟓𝛑=𝟏𝟐,𝟓 𝑹
-4-118𝑺𝟏 𝑺𝟐 −𝟒−𝟏𝒇𝒙ⅆ𝒙+𝟐𝟏𝟖𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑺𝟏+𝟐𝑺𝟐=𝟑·𝟏+𝟐·𝟕·𝟐=𝟑𝟏
𝟎𝟓(𝒇𝒙+𝟔)ⅆ𝒙=𝟎𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙+𝟎𝟓𝟔ⅆ𝒙 𝟎𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑨+𝑩=𝟕,𝟐+𝟔,𝟏=𝟏𝟑,𝟑 𝟎𝟓𝟔ⅆ𝒙=𝟔𝒙|𝟎𝟓=𝟑𝟎−𝟎=𝟑𝟎 𝟎𝟓(𝒇𝒙+𝟔)ⅆ𝒙=𝟏𝟑,𝟑+𝟑𝟎=𝟒𝟑,𝟑
Даний інтеграл чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої лініями𝒙=−𝟓;𝒙=𝟎;𝐲=𝟎;𝐲=𝟐𝟓−𝒙𝟐 Це – чверть круга радіуса 5𝟏𝝅−𝟓𝟎𝟐𝟓−𝒙𝟐ⅆ𝒙=𝟏𝝅·𝟏𝟒𝛑·𝑹𝟐=𝟏𝟒·𝟓𝟐=𝟔,𝟐𝟓
𝑺=−𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙 𝑺>𝟎, 𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙<𝟎 𝑺 Обчислення площ фігур. Оскількито
𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺=𝑺𝟏+𝑺𝟐=𝟏𝟔 𝑺𝟏=𝑺𝟐=𝟖 −𝟑𝟑𝒇𝒙ⅆ𝒙=−𝑺=−𝟏𝟔
𝟎𝟓(𝒇𝒙+𝟒)ⅆ𝒙=𝟎𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙+𝟎𝟓𝟒ⅆ𝒙 𝟎𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑨+−𝑩+𝑪=𝟔,𝟑−𝟓,𝟒+𝟒=𝟒,𝟗 𝟎𝟓(𝒇𝒙+𝟒)ⅆ𝒙=𝟒,𝟗+𝟐𝟎=𝟐𝟒,𝟗 𝟎𝟓𝟒ⅆ𝒙=𝟒𝒙|𝟎𝟓=𝟐𝟎
𝟎𝟓(𝟐𝒇𝒙−𝟏)ⅆ𝒙=𝟐𝟎𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙−𝟎𝟓𝟏ⅆ𝒙 𝟎𝟓𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑨+−𝑩+𝑪=𝟒,𝟗−𝟑,𝟏+𝟐=𝟑,𝟖 𝟎𝟓(𝟐𝒇𝒙−𝟏)ⅆ𝒙=𝟐·𝟑,𝟖−𝟓=𝟐,𝟔 На рисунку зображено графік неперервної на відрізку [0; 5] функц відповідно. ії y = f(x). Площі геометричних фігур A, B і C, обмежених віссю x та графіком цієї функції, дорівнюють 4,9 кв. од., 3,1 кв. од. та 2 кв. од. відповідно. Обчисліть𝟎𝟓(𝟐𝒇𝒙−𝟏)ⅆ𝒙 𝟎𝟓𝟏ⅆ𝒙=𝒙|𝟎𝟓=𝟓
𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟏=−𝟑𝟎𝒇𝒙ⅆ𝒙 𝑺𝟏=𝑺𝟐 𝑺𝟐=−𝟎𝟑𝒇𝒙ⅆ𝒙 −𝟑𝟑𝒇𝒙ⅆ𝒙=−𝟑𝟎𝒇𝒙ⅆ𝒙+𝟎𝟑𝒇𝒙ⅆ𝒙=𝑺𝟏+−𝑺𝟐=𝟎
𝑺=𝒂𝒃(𝒇𝒙−𝒈𝒙)𝒅𝒙 Обчислення площ фігур
𝑺=𝟎𝟒𝟑𝒙−𝟑𝟐𝒙𝒅𝒙=𝟎𝟒𝟑𝒙𝟏𝟐−𝟑𝟐𝒙𝒅𝒙= =𝟑𝒙𝟑𝟐𝟑𝟐−𝟑𝟐𝒙𝟐𝟐|𝟎𝟒=𝟐𝒙𝟑−𝟑𝟒𝒙𝟐|𝟎𝟒= =𝟐𝒙𝟑−𝟑𝟒𝒙𝟐|𝟎𝟒=𝟐𝟒𝟑−𝟑𝟒𝟒𝟐=𝟏𝟔−𝟏𝟐=𝟒
𝑺=𝟎𝟐𝟗−(𝒙𝟑+𝟏)𝒅𝒙=𝟎𝟐𝟖−𝒙𝟑𝒅𝒙= =𝟖𝒙−𝒙𝟒𝟒|𝟎𝟐=𝟏𝟔−𝟒=𝟒 ? 𝒙𝟑+𝟏=𝟗; 𝒙=𝟐 ? Знаходимо верхню межу інтегрування
𝑺=𝟎𝟑𝒇(𝒙)−(𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟑)𝒅𝒙=𝟎𝟑𝒇𝒙𝒅𝒙−𝟎𝟑(𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟑)𝒅𝒙 𝟎𝟑(𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟑)𝒅𝒙=𝒙𝟑𝟑−𝒙𝟐+𝟑𝒙|𝟎𝟑=𝟗−𝟗+𝟗=𝟗 𝑺=𝟏𝟒,𝟏−𝟗=𝟓,𝟏
𝑺=𝟎𝟏𝒂𝒙𝟐+𝟐𝒃𝟑𝒙+𝟓𝒅𝒙=𝒂𝒙𝟑𝟑+𝟐𝒃𝟑𝒙𝟐𝟐+𝟓𝒙|𝟎𝟏= =𝒂𝟏𝟑𝟑+𝟐𝒃𝟑𝟏𝟐𝟐+𝟓·𝟏−𝟎=𝒂𝟑+𝒃𝟑+𝟓 𝒂𝟑+𝒃𝟑+𝟓=𝟐𝟏 𝒂𝟑+𝒃𝟑=𝟏𝟔 𝒂+𝒃=𝟒𝟖
𝟎𝒂(𝒙𝟑𝟐+𝒙)𝒅𝒙=𝒙𝟒𝟖+𝒙𝟐𝟐|𝟎𝒂=𝒂𝟒𝟖+𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟒𝟖+𝒂𝟐𝟐=𝟒𝟎=> 𝒂𝟒+𝟒𝒂𝟐−𝟑𝟐𝟎=𝟎 𝒂𝟐=𝒕>𝟎 𝒕𝟐+𝟒𝒕−𝟑𝟐𝟎=𝟎 𝒕𝟏=−𝟐𝟎<𝟎; 𝒕𝟐=𝟏𝟔 𝒂𝟐=𝟏𝟔=>𝒂𝟏=−𝟒<𝟎; 𝒂𝟐=𝟒>𝟎
про публікацію авторської розробки
Додати розробку