Роздатковий матеріал до теми 

«Графічний аналіз формули тонкої лінзи. Задачі».

Приклад 1. Предмет розташовують перед збиральною лінзою з фокусною відстанню . Спочатку його розміщують на відстані   від лінзи, а потім переміщують у положення на відстані  . В обох випадках лінза дає лінійне збільшення, модуль якого дорівнює . Визначте відстань  між цими двома положеннями предмета, якщо в першому випадку зображення є уявним, а в другому — дійсним.

Розв’язок. Графік  наочно демонструє ситуацію, коли у двох різних положеннях можуть бути утворені зображення однакового розміру, тобто у обох випадках збільшення буде одним і тим самим: 

                                                                                                                                .                                       (1.1)

Запишемо формулу тонкої лінзи для обох випадків:

                                             .                                                (1.2)

З аналізу графіку залежності видно, що  має від’ємне значення. Оскільки, ми розглядаємо в умові задачі модуль лінійного збільшення – це значення має бути додатнім, тобто:

                                                                                        (1.3)

Підставляємо (1.3) в (1.2):

                                                                                    ,                                                           (1.4)

звідки, розв’язуючи верхнє та нижнє рівняння відносно  та , відповідно, та записуючи їхню різницю  одержимо шукане значення:

                                                                                                                                                                                                                      .                 

Приклад 2. Об’єкт починає свій рух зі швидкістю 𝑣 вбік збиральної лінзи (з фокусною відстанню 𝐹, перебуваючи на відстані 𝐿 = 3𝐹 від неї. Побудувати графік залежності відстані зображення цього об’єкту від часу 𝑑_𝑖(𝑡). 

Розв’язок. Використовуватимемо залежність 𝑑_𝑖(𝑑_𝑜) (опорний конспект, формула 4):

 (2.1)

Запишемо рівняння руху об’єкта, а саме, рівняння, в якому виразимо як змінюватиметься відстань від об’єкта до лінзи в процесі цього руху:

.                                                              .2)

Підставляємо (2.2) в (2.1):

 .                                                  (2.3)

Перенесемо 𝐹 в ліву частину рівняння та розділимо праву та ліву частини на 𝐹:

.                                                    (2.4)

Останній прийом – запишемо це рівняння у безрозмірних (приведених координатах). З ординатою ми це вже зробили – ми маємо безрозмірну координату, яку позначимо 𝑑̃_𝑖 = ^𝑑𝑖⁄𝐹.

За безрозмірну абсцису оберемо величину, яку визначимо після того як перенесемо 𝐹 у правій частині з чисельника у знаменник (для цього ми розділимо чисельник і знаменник правої частини рівняння (2.4) на 𝐹:

.                                                    (2.5)

Для того, щоб ординату записати у вигляді безрозмірної величини 𝑡̃ потрібно змінну 𝑡 розділити на масштабний множник 𝜏 розмірності часу: 𝑡̃ = 𝑡/𝜏 . Як видно з рівняння (2.5) таким множником є 𝜏 = 𝐹/𝑣. Після цього рівняння (2.5) можемо записати у безрозмірних координатах:

,                                                 (2.6)

де 𝐿̃ = 𝐿/𝐹 – приведена початкова відстань від об’єкта до лінзи. Отже маємо базову функцію:

 ____________ ,

що для абсциси у вигляді приведеного часу означає:   𝑓(𝑡̃) =                           .

                                                                                                       ____________

У презентації «Графічний аналіз формули тонкої лінзи» (слайд 13) сформульовано правило, що дає пряме керівництво, як потрібно будувати функцію, яку можна одержати паралельним перенесенням базової функції вздовж осі Ox та осі Oy. Однак для спрощення побудови графіку функції, ми можемо застосувати прийом (слайд 12), який передбачає зміщення не самої базової функції, а відповідних осей. При цьому крива базової функції лишається незмінною. В нашому випадку можемо записати відповідь у приведених координатах:

                                                                                   ,                                                           (2.7)

де 𝑎̃ = 𝐿̃ − 1. Тоді, побудувавши базову функцію , ми зсуваємо осі: вісь абсцис на 1 вниз, а вісь ординат на 𝑎̃ вліво якщо 𝑎̃ > 0, або вправо якщо 𝑎̃ < 0. У нашому випадку 𝑎̃ = 𝐿̃ − 1 = 3 − 1 = 2 (оскільки 𝐿̃ = 𝐿/𝐹, а за умовою задачі 𝐿 = 3𝐹). Послідовність побудови графіку 𝑑_𝑖(𝑡) подібна до тої, що зображена в презентації (слайд 15). Як ми вже з’ясували, базова

1 функція − . Починаємо з неї побудову графіка шуканої функції. Для цього будуємо сітку з інтервалом 1 (крок 1), помічаємо точки, через які треба буде провести нашу базову функцію (крок 2): (1;-1) та (-1;1) і проводимо дві вітки гіперболи (крок 3). Це вже і є криві, що описують шукану залежність 𝑑_𝑖(𝑡).

Тепер лишилось правильно розставити осі, та вибрати на них відповідний масштаб. Для цього скористаємось формулою (2.7), згідно з якою та керуючись правилом переносу осей (слайд 13) переносимо вісь абсцис на 1 вниз, а вісь ординат – на величину 𝑎̃ = 2  вліво (крок 4).   

4)                                                                                                  5)              

Крок 5: домножаємо шкалу на осях на нормувальний множник:  𝑑̃_𝑖 = 𝑑_𝑖/𝐹 – шкалу по осі ординат домножаємо на 𝐹; 𝑡̃ = 𝑡/𝜏 – шкалу по осі абсцис домножаємо на 𝜏 = 𝐹/𝑣. Для 𝑡 > 3𝐹/𝑣 функція не існує, оскільки 3𝐹/𝑣 – час, за який предмет досягає лінзи. 

Приклад 3. Оптична система складається зі збиральної та розсіювальної лінз, які розташов.ні на відстані 𝐿 =15 cм одна від одної. Модуль фокусної відстані у них однаковий |𝐹| = 10 см. Знайти яким буде зображення предмету (прямим/оберненим; збільшеним/зменшеним; дійсним/уявним), розташованого перед збиральною лінзою на відстані 𝑑_𝑜 =15 см. На які відстані та по який бік від розсіювальної лінзи буде знаходитись зображення? Розв’язок провести із використанням аналізу формули тонкої лінзи, та графіку 𝑑_𝑖(𝑑_𝑜).

Розв’язок. В цій задачі важливо правильно записати умову:

для збиральної лінзи фокус додатна величина, а для розсіювальної – від’ємна. Величини, що стосуватимуться збиральної лінзи позначатимемо одним штрихом, а для розсіювальної  - використовуватимемо два штрихи:

𝐹′′ = − 10 см відстані відносно лінз та величина збільшення будуть позначені як 𝑑₀′, 𝑑_𝑖′, Γ′

та , відповідно. Введемо також знак для збільшення: якщо зображення пряме – збільшення записують додатнім, якщо обернене – від’ємним. Це одне з правил знаків, які використовують при аналізі складніших оптичних систем, для яких можуть бути випадки, коли 𝑑_𝑜 < 0.

Застосовність формули (3.1) легко перевірити на прикладі формування зображення у збиральній лінзі, як розібрано в опорному конспекті за цією темою на рис. 1, де видно, що дійсне зображення завжди одержуємо перевернутим (𝑑_𝑖 > 0, 𝑑_𝑜 > 0 ⇒ Γ < 0 – за формулою (3.1)), тоді, як уявне – буде прямим (𝑑_𝑖 < 0, 𝑑_𝑜 > 0 ⇒ Γ > 0).

Переходимо безпосередньо до розв’язку задачі. Знайдемо значення 𝑑_𝑖′ , використовуючи формулу тонкої лінзи:   30 (см).  

Збиральна лінза (побудова зображення)

Значення 𝑑_𝑖′ перевищує відстань між лінзами, так що для другої лінзи об’єктом є зображення, утворене за участі збиральної лінзи, при цьому цей об’єкт опиняється по інший (від підсвітного)

 бік від лінзи (праворуч від лінзи, тоді як промені у

нас направлені зліва направо). Звідси маємо:

 .

Застосовуємо формулу тонкої лінзи для розсіювальної лінзи:

                        Збиральна лінза (𝑭 > 𝟎)                 Розсіювальна лінза (𝑭 < 𝟎)

На рисунках проілюстровано процес знаходження відстаней від відповідної лінзи до зображення. Як бачимо, відстань до зображення другої лінзи вийшла від’ємною. Це означає, що зображення уявне. Наші правила знаків можемо доповнити ще одним правилом, яке наслідком першого, а саме, того, що таке насправді уявне зображення – воно формується як продовження променів, що розходяться, тобто формується по той же бік лінзи, що й джерело світла. Тобто, якщо прийняти що промені в нашій задачі розповсюджуються зліва направо, то уявне зображення формується ліворуч від лінзи. Це правило можна сформулювати так:

                                      Правило знаків 4

Відповідь: зображення пряме, збільшене в 4 рази, уявне, там же, що й предмет:

𝑑_𝑖′′ = −30 см – відстань від зображення до другої лінзи (|𝑑_𝑖′′| = 𝑑_𝑜′ + 𝐿).        

Задачі для самостійного опрацювання

1.   Збиральна лінза з фокусною відстанню 𝐹 = 20 см дає чітке зображення предмета у двох різних експериментах. В обох дослідах лінійні розміри зображення в 5 разів більші за сам предмет. Обчисліть відстань, на яку експериментатор пересунув предмет уздовж головної оптичної осі лінзи між дослідами. Знайти координати на оптичній осі, при яких проводився експеримент. (8 см, 16 см, 24 см).

2.   Для дослідження оптичних властивостей системи студент змінює положення об'єкта перед збиральною лінзою. Пересунувши предмет на Δ𝑑_𝑜 = 6 см далі від лінзи, він зауважив, що абсолютна величина лінійного збільшення залишилась рівною 4. Знайдіть фокусну відстань 𝐹 цієї лінзи. (12 см).

3.   Відстань між предметом та екраном становить 𝐿 = 50 см. Між ними переміщують збиральну лінзу з фокусною відстанню 𝐹 = 10 см. Визначте відстань Δ𝐿 між двома положеннями лінзи, за яких на екрані спостерігається чітке зображення предмета. Які значення лінійного збільшення Γ матиме зображення в кожному з цих положень? (22,4 cм; – 2,6 см; – 0,4 см).

4.   Предмет починає рухатися вздовж головної оптичної осі в бік збиральної лінзи, яка має фокусну відстань 𝐹 = 10 см. У початковий момент часу (𝑡 = 0) предмет перебуває на відстані 𝐿 = 25 см від лінзи. Швидкість руху предмета становить 𝑣 = 10 см/с. Визначте відстань 𝑑_𝑖 від лінзи до чіткого зображення предмета через 𝑡 = 1 с після початку руху. Побудуйте графік 𝑑_𝑖(𝑡). (30 см).

5.   Предмет починає рухатися вздовж головної оптичної осі, віддаляючись від збиральної лінзи з фокусною відстанню 𝐹 = 10 см зі сталою швидкістю 𝑣_𝑜 = 10 см/с. У початковий момент часу 𝑡 = 0 с предмет знаходився на відстані 𝐿 = 20 см (у подвійному фокусі). Виведіть аналітичний закон руху чіткого дійсного зображення 𝑑_𝑖(𝑡) (залежність відстані від зображення до лінзи з часом) та побудуйте його графік.

6.   Зображення предмета у збиральній лінзі з фокусною відстанню 𝐹 = 10 см віддаляється від неї вздовж головної оптичної осі зі сталою швидкістю 𝑣_𝑖 = 10 см/с. У початковий момент часу 𝑡 = t0 с зображення знаходилося на відстані 𝑑_𝑖(0) = 20 см. Виведіть аналітичний закон руху предмета 𝑑_𝑜(𝑡) (залежність відстані від предмета до лінзи з часом) та побудуйте його графік.  

7.   Дві лінзи з однаковими за модулем фокусними відстанями |𝐹| = 8 см (перша — збиральна, друга — розсіювальна) розміщені на відстані 𝐿 =  10 см. Об'єкт розташовано на відстані  см перед системою. Визначте за допомогою формули тонкої лінзи величину

уявного предмета для другої лінзи 𝑑_𝑜′′ та знайдіть відстань від другої лінзи до кінцевого зображення 𝑑_𝑖′′. Яким буде загагальне збільшення системи? Охарактиризуйте одержане зображення. (-14 см; -18,7 см; +2,7; пряме, уявне, збільшене)

8.   Розв’яжіть задачу 7 за умови, що збиральну та розсіювальну лінзи поміняли місцями.

(14,8 см; 17,4 см; -0,5; обернене, дійсне, зменшене)