Інтегрований урок. Графічний аналіз формули тонкої лінзи.
Інтегрований урок: «Графічний аналіз формули тонкої лінзи»
Серія: «Математичні інструменти в шкільній фізиці». Випуск 1.
- Вступ. Інтегрований урок як елемент STEM-освіти.
Сучасна освітня парадигма пропонує відійти від ізольованого викладання дисциплін природничо-математичного циклу. Свого часу це було викликано браком фахівців інженерних та природничих спеціальностей, через що Національний науковий фонд США (National Science Foundation) сформулював освітній тренд, який тепер вживають під акронімом STEM[1]: S — Наука (Science), яка займається та прагне до розуміння природного світу; T — Технологія (Technology), з іншого боку, є модифікацією природного світу для задоволення людських потреб і бажань; E — Інженерія (Engineering) — галузь, у якій знання математичних і природничих наук, здобуті шляхом навчання, досвіду та практики, застосовуються виважено для розробки способів економічно вигідного використання матеріалів і сил природи на благо людства; M — Математика (Mathematics) — наука про закономірності та взаємозв'язки, яка забезпечує точну мову для технологій, науки та інженерії. Цей термін виник у 2001 році, коли колишня директорка наукового фонду Джудіт Рамалей замінила застарілий акронім SMET на нову концепцію інтегрованого навчання[2]. В той час у 2000-х роках уряди розвинених країн зрозуміли, що економіка майбутнього базується на високих технологіях, а не на виробництві. Програми підтримки STEM-навчання стали державними пріоритетами у США, країнах ЄС, Сінгапурі та Великій Британії. В Україні офіційно ухвалено концепцію STEM-освіти у 2020 році розпорядженням Кабміну, в самій назві якого, чітко стоїть знак рівності: STEM-освіта = природничо-математична[3], що орієнтує на об’єднання зусиль всіх учасників освітнього процесу та урахуванням кращого національного та міжнародного досвіду. А досвід показує, що учні часто втрачають інтерес до природничих наук і математики, коли вивчають їх ізольовано та відірвано, втрачаючи зв'язки з практичним застосуванням у реальному світі, тоді як інтегроване навчання надає учням можливості навчатися за допомогою більш актуального та стимулювального досвіду. Отже, природничо-наукову освіту можна покращити шляхом впровадження підходу інженерного проєктування, оскільки це створює можливість застосовувати наукові знання та дослідження, а також забезпечує автентичний контекст для вивчення математичного мислення задля прийняття обґрунтованих рішень під час процесу проєктування. Таке контекстне навчання може надати сенсу математиці, оскільки “учні хочуть знати не лише те, як виконати математичне завдання, але й те, чому їм взагалі потрібно вивчати математику в першу чергу. Вони хочуть знати, як математика пов'язана з їхнім життям[4].
- Мета цього інтегрованого уроку.
Запропонований інтегрований урок є таким прикладом впровадження практик STEM, які включають математичний інструментарій, необхідний для оцінювання реальних інженерних рішень, забезпечує необхідне обґрунтування для вивчення учнями математики та допомагає побачити зв’язки між тим, що вивчається в школі, і тим, що вимагається для професійних навичок у сфері STEM. Цей урок є ще однією складовою цілої низки матеріалів: презентація, опорний конспект, дидактичний матеріал з задачами для самостійного опрацювання, які входять до складу першого випуску започаткованої серії: «Математичні інструменти в шкільній фізиці». В цьому випуску ми зосередились на одній темі «Формула тонкої лінзи» з курсу фізики[5], до якої застосовуємо математичні інструменти теми «Перетворення функцій» з курсу алгебри[6]. На прикладі детального аналізу формули тонкої лінзи продемонструємо потужність математичного апарату аналізу графіків функцій, адже графіки – це мова, якою спілкуються інженери, розробники, дослідники, технологи та інші фахівці різних галузей, в яких графічна візуалізація функціональних залежностей є засобом мислення та прийняття рішень. За щасливим збігом обставин, вивчення цих тем синхронізоване у часі: до початку теми «Формула тонкої лінзи» на уроці фізики учні вже розібрали на уроках алгебри основні прийоми перетворення графіків функцій такі як перенесення вздовж осей координат та стискання/розтягнення. Ось це і є вдалий момент синергії дисциплін – зараз ми надамо одержаним математичним навичка цілком матеріальне втілення у вигляді аналізу формування зображень. І для цього учням не потрібно окремо розбирати 6 різних випадків розташування предмета по відношенню до фокусу[7]. Залежність 
містить всі ці варіанти. При цьому, доречним є використати «по гарячих слідах» досвід, щойно здобутий учнями на уроках алгебри 9 класу, щоб закріпити його в 9 класі на більш складних задачах з підручника 11 класу[8], адже основна складність цих задач пов’язана саме з математичним апаратом, який краще актуалізується безпосередня після вивчення теми «Перетворення функцій» в 9 класі. І це підтверджено реальним використанням цих задач в 9 класі, коли один з учнів викликався до дошки і розібрав функцію за всіма правилами перетворення функцій[9] за винятком лише одного фінального прийому, який автор розробки рекомендує взяти на озброєння: по-перше, замість перенесення графіків функцій – переносити осі, по друге, замість стискати/розтягувати графік – змінювати масштаб по осях[10]. Це значно спрощує процедуру побудови графіків функцій, адже саму криву функції доведеться креслити лише один раз, далі все перетворення відбуваються лише з осями. Такий прийом ще неодноразово стане у пригоді при розв’язані інших задач з фізики. Але відкладати застосування цієї навички до 11 класу виглядає трохи недоцільним. Навпаки, підготовленість учнів до використання щойно засвоєного математичного апарату зміцнить їх вмотивованість до вивчення обох дисциплін.
- Практичний кейс: Аналіз та розв'язок задачі
(За мотивами вправи 28 №№ 9, 10 підручника Т. М. Засєкіної, 11 клас, поглиблений рівень)
№9. Побудуйте графік залежності відстані 
(від зображення до лінзи) від відстані 
(від предмета до лінзи). Розгляньте також випадок, коли предмет уявний.
Розв’язок цієї задачі детально розібрано в інших розробках цієї серії[11].
№10. Обчисліть лінійне збільшення 
через фокусну відстань 
і відстань від предмета до лінзи для випадків: а) 
; б) 
. Побудуйте графік залежності 
. Визначити, при яких значеннях зображення буде прямим, а при яких – оберненим[12].
Розв’язок.
Етап 1. Фізико-математичний аналіз
Збільшення запишемо у вигляді, який містить дані про те, яким буде зображення, прямим чи оберненим, що визначається знаком (
– пряме; 
– обернене):
Записуємо формулу тонкої лінзи:
яке розв’язуємо відносно :
Підставляємо це значення у вираз для збільшення і одержуємо шукану залежність 
:
Етап 2. Виділення базової функції
В презентації до цього випуску дається визначення базової функції (слайд 5) як деякої відомої елементарної функції, яку взято за початкову для подальших перетворень. В 9 класі учні проходять цю тему, яку майже один до одного описано в підручнику з Алгебри[13] саме для такого випадку (тут важлива кооперація з вчителем математики). Учні мають знати як виділити з цього виразу базову функцію, якою є обернена функція 
. Їм також має бути вже відомо, що знак «мінус» перед дробом відображає симетричну цю функцію відносно осі абсцис і перетворює її на функцію 
. Але у нас ще є множник, тобто ми зводимо цю залежність до виду типу: 
. Тепер вже можна будувати графік цієї функції, використовуючи доробок, одержаний на уроках алгебри. І тут важливо підкреслити певну особливість, яку потрібно враховувати при переході від абстрактних безрозмірних функцій, які вивчають на 
математиці, до залежностей фізичних величин.
Етап 3. Побудова «містка» через приведені координати
Розділимо праву частину одержаного рівняння на і введемо безрозмірну відстань 
. Тоді збільшення матиме вигляд:
В такому вигляді вже чітко видно, що цю функцію одержано шляхом зсуву кривої базової функції виду на 1 праворуч.
Етап 4. Лайфгак перетворення: Метод зміщення осей
Замість виснажливого прорахунку точок, застосуємо алгоритм зміщення координатних осей (слайди 12–13 презентації), де сама крива базової гіперболи лишається нерухомою.
Етап 5. Лайфгак перемасштабування: Зміна масштабу
Замість розтягувати графік базової функції, ми залишаємо саму криву незмінною (слайд 14), натомість змінюємо масштаб на осі абсцис, помноживши числа по осі на .
Крок 1 Крок 2 Крок 3
Крок 4 Крок 5
Важливий фізичний аналіз зображення:
-
Пряме/обернене. Вертикальна асимптота при
розділяє весь діапазон на два:
ліворуч (зображення пряме); праворуч (зображення обернене).
-
Збільшене/зменшене.
(збільшене при 
та 
); 
(зменшене при ).
-
Дійсне/уявне. Аналіз залежності 
дає відповідь на це питання, що визначається знаком : якщо 
() – уявне; 
(
) – дійсне.
-
Пункти 1) – 3) стосуються випадку, коли
(лінза збиральна/увігнуте дзеркало). Якщо ж 
, ординат потрібно зсувати в протилежний бік (тобто праворуч), що одразу дає результат на тій самій кривій (лише з вісь в іншому місці) – зображення завжди буде обернене (
і зменшене (
- Методичний аналіз: синхронізація підручників алгебри та фізики
Аналізуючи актуальні підручники, ми стикаємося з деяким часовим розривом.
Алгебра, 9 клас: Учні детально вивчають тему «Перетворення графіків функцій». Наприклад, у відомому підручнику з алгебри авторського колективу Н. А. Тарасенкової на сторінці 117 (задача 1) по-кроково розбирається саме функція гіперболи та алгоритми її геометричного зміщення.
Фізика, 11 клас: Глибокі задачі на графічний аналіз складних оптичних систем профільні програми з фізики чомусь відкладають на кінець старшої школи. Відкриваємо підручник «Фізика. Поглиблений рівень. 11 клас» авторства Т. М. Засєкіної: у вправі 28 (завдання № 9 та № 10) учням пропонуються саме такі дослідження.
У чому незручність? Через два роки часового розриву (між 9 та 11 класами) без постійної практики математичні навички нівелюються. В 11 класу випускники сприймають графічний аналіз оптики не як знайому математичну модель, а як нову, відірвану від життя й надскладну теорію.
Рішення: Проведення інтегрованих уроків чи пропедевтичних занять у 9 класі. Це покаже дев'ятикласникам реальну силу алгебри, а для 11 класу — стане миттєвою «реанімацією» знань та заощадить дефіцитний час.
5. Чому вчителям варто взяти цю методику на замітку?
- Для вчителів математики: Це спосіб дати учням не лише інструмент у вигляді методів побудови графіків функцій, але й готова аргументація важливого прикладного значення цього інструменту. Це аргументована відповідь на учнівське запитання: «Навіщо нам здалися ці графіки та перетворення?». Це живий приклад проектування оптичних систем, об'єктивів камер чи телескопів.
-
Для вчителів фізики: Метод звільняє уроки від рутинної арифметичної рутини побудови графіків по точкам. Учні вчаться «читати» графік як фізичний процес (бачать асимптоти, рух від
до .
- Комплексний пакет матеріалів. До уроку додається повний пакет дидактичних засобів: опорний конспект для учнів, комп'ютерна презентація з покроковою анімацією зміщення осей та картки з 8 різнорівневими задачами (від простих концептів 9 класу до олімпіадного рівня 11 класу).
- Висновки та очікувані результати
Ми не можемо збудувати STEM-освіту, просто додавши до уроків конструктори роботів чи 3D-принтери. Справжній STEM починається з архітектури знань. Потрібно відмовитися від лінійно-ізольованого планування предметів. Математичний апарат має подаватися як інструментарій (Toolbox) напередодні або паралельно з тим, як у фізиці виникає потреба в описі відповідного процесу.
Таким є наведений приклад впровадження пропонованої системи фізико-математичної синергії у спеціалізованому ліцеї, що дозволяє розв'язати хронічну проблему відірваності інструментарію від смислового наповнення. Замість механічного підходу «підставив і порахував» (plug and chug), ліцеїсти отримують цілісну наукову картину світу.
Головні підсумки такого методичного підходу:
- Зростання статусу фізичної освіти: Фізика перестає бути для учнів «складною математикою з текстом» або набором штучних мнемонічних фокусів. Вона утверджується як фундаментальний простір, де математичні абстракції матеріалізуються і стають інструментами пізнання Всесвіту.
- Успішність поняттєвого зрощення: Завдяки єдиній математичній індексації осей, переходу до приведених координат, використання загальних прийомів, засвоєних ними на уроках математики, учні позбавляються когнітивного перевантаження. Для них не має потреби завчати різні варіанти формування зображення, вони оперують універсальними аналітичними інструментами.
- Економічна ефективність часу ліцею: Календарне зміщення програм (коли математична база випереджає фізичне застосування на 1–2 тижні) ліквідує часові розриви. Це ідеальна ситуація, коли вчителю фізики більше не доводиться витрачати уроки на передчасне пояснення математичних методів аналізу, в нашому випадку методів аналізу функцій.
Очікувані результати для закладу:
- Суттєве підвищення середнього бала ліцеїстів на профільних іспитах завдяки глибокому розумінню графічного аналізу функцій загалом.
- Збільшення кількості переможців олімпіад вищих рівнів з фізики та астрономії завдяки володінню апаратом математики на інтуїтивному та координатному рівнях.
- Створення зразкової моделі бінарної взаємодії між природничою та математичною кафедрами для профільної школи.
1
[3] Розпорядження Кабміну № 960-р «Про схвалення Концепції розвитку природничо-математичної освіти (STEM-освіти)»
[4] T.R.Kelley, J.G.Knowles, A conceptual framework for integrated STEM education Int.J.STEM Education (2016) 3:11, https://doi.org/10.1186/s40594-016-0046-z
[5] Т.М.Засєкіна, Д.О.Засєкін, Фізика, 9 клас, для ЗНЗ з поглибленим вивченням фізики, Оріон, 2017
[6] А.Г.Мерзляк, М.С.Якір, Алгебра, підручник для 9 класу закладів ЗСО, Гімназія, 2026
[7] Т.М.Засєкіна, Д.О.Засєкін, Фізика, 11 клас, для ЗНЗ з поглибленим вивченням фізики, Оріон, 2019, с.208, тбл.7.
[8] Там же, с. 217, впр.28, №№ 9, 10.
[9] Н.А.Тарасенкова, І.А.Акуленко та ін. Алгебра, підручник для 9 класу закладів ЗСО, Оріон, 2026, с.117, задача 1.
[10] В.В.Кислюк, розробка «Графічний аналіз формули тонкої лінзи. Презентація» на сайті «На урок», слайди 9 – 14.
[11] В.В.Кислюк, «На урок», серія: «Математичні інструменти у шкільній фізиці», випуск 1 «Графічний аналіз формули тонкої лінзи: Презентація, Конспект, Задачі , завантажено: липень, 2026.
[12] Цього питання немає в підручнику. Його використано для розширення умови.
[13] Н.А.Тарасенкова, І.А.Акуленко та ін. Алгебра, підручник для 9 класу закладів ЗСО, Оріон, 2026, с.117, задача 1.
Інтегрований урок: «Графічний аналіз формули тонкої лінзи»
Серія: «Математичні інструменти в шкільній фізиці». Випуск 1.
1. Вступ. Інтегрований урок як елемент STEM-освіти.
Сучасна освітня парадигма пропонує відійти від ізольованого викладання дисциплін природничо-математичного циклу. Свого часу це було викликано браком фахівців інженерних та природничих спеціальностей, через що Національний науковий фонд США (National Science Foundation) сформулював освітній тренд, який тепер вживають під акронімом STEM[1]:
S — Наука (Science), яка займається та прагне до розуміння природного світу; T — Технологія (Technology), з іншого боку, є модифікацією природного світу для задоволення людських потреб і бажань; E — Інженерія (Engineering) — галузь, у якій знання математичних і природничих наук, здобуті шляхом навчання, досвіду та практики, застосовуються виважено для розробки способів економічно вигідного використання матеріалів і сил природи на благо людства; M — Математика (Mathematics) — наука про закономірності та взаємозв'язки, яка забезпечує точну мову для технологій, науки та інженерії. Цей термін виник у 2001 році, коли колишня директорка наукового фонду Джудіт Рамалей замінила застарілий акронім SMET на нову концепцію інтегрованого навчання[2]. В той час у 2000-х роках уряди розвинених країн зрозуміли, що економіка майбутнього базується на високих технологіях, а не на виробництві. Програми підтримки STEM-навчання стали державними пріоритетами у США, країнах ЄС, Сінгапурі та Великій Британії. В Україні офіційно ухвалено концепцію STEM-освіти у 2020 році розпорядженням Кабміну, в самій назві якого, чітко стоїть знак рівності: STEM-освіта = природничо-математична[3], що орієнтує на об’єднання зусиль всіх учасників освітнього процесу та урахуванням кращого національного та міжнародного досвіду. А досвід показує, що учні часто втрачають інтерес до природничих наук і математики, коли вивчають їх ізольовано та відірвано, втрачаючи зв'язки з практичним застосуванням у реальному світі, тоді як інтегроване навчання надає учням можливості навчатися за допомогою більш актуального та стимулювального досвіду. Отже, природничо-наукову освіту можна покращити шляхом впровадження підходу інженерного проєктування, оскільки це створює можливість застосовувати наукові знання та дослідження, а також забезпечує автентичний контекст для вивчення математичного мислення задля прийняття обґрунтованих рішень під час процесу проєктування. Таке контекстне навчання може надати сенсу математиці, оскільки “учні хочуть знати не лише те, як виконати математичне завдання, але й те, чому їм взагалі потрібно вивчати математику в першу чергу. Вони хочуть знати, як математика пов'язана з їхнім життям[4].
2. Мета цього інтегрованого уроку.
Запропонований інтегрований урок є таким прикладом впровадження практик STEM, які включають математичний інструментарій, необхідний для оцінювання реальних інженерних рішень, забезпечує необхідне обґрунтування для вивчення учнями математики та допомагає побачити зв’язки між тим, що вивчається в школі, і тим, що вимагається для професійних навичок у сфері STEM. Цей урок є ще однією складовою цілої низки матеріалів: презентація, опорний конспект, дидактичний матеріал з задачами для самостійного опрацювання, які входять до складу першого випуску започаткованої серії: «Математичні інструменти в шкільній фізиці». В цьому випуску ми зосередились на одній темі «Формула тонкої лінзи» з курсу фізики[5], до якої застосовуємо математичні інструменти теми «Перетворення функцій» з курсу алгебри[6]. На прикладі детального аналізу формули тонкої лінзи продемонструємо потужність математичного апарату аналізу графіків функцій, адже графіки – це мова, якою спілкуються інженери, розробники, дослідники, технологи та інші фахівці різних галузей, в яких графічна візуалізація функціональних залежностей є засобом мислення та прийняття рішень. За щасливим збігом обставин, вивчення цих тем синхронізоване у часі: до початку теми «Формула тонкої лінзи» на уроці фізики учні вже розібрали на уроках алгебри основні прийоми перетворення графіків функцій такі як перенесення вздовж осей координат та стискання/розтягнення. Ось це і є вдалий момент синергії дисциплін – зараз ми надамо одержаним математичним навичка цілком матеріальне втілення у вигляді аналізу формування зображень. І для цього учням не потрібно окремо розбирати 6 різних випадків розташування предмета по відношенню до фокусу[7]. Залежність 𝑑 𝑑 містить всі ці варіанти. При цьому, доречним є використати «по гарячих слідах» досвід, щойно здобутий учнями на уроках алгебри 9 класу, щоб закріпити його в 9 класі на більш складних задачах з підручника 11 класу4, адже основна складність цих задач пов’язана саме з математичним апаратом, який краще актуалізується безпосередня після вивчення теми «Перетворення функцій» в 9 класі. І це підтверджено реальним використанням цих задач в 9 класі, коли один з учнів викликався до дошки і розібрав функцію 𝑑 𝑑 за всіма правилами перетворення функцій[8] за винятком лише одного фінального прийому, який автор розробки рекомендує взяти на озброєння: поперше, замість перенесення графіків функцій – переносити осі, по друге, замість стискати/розтягувати графік – змінювати масштаб по осях[9]. Це значно спрощує процедуру побудови графіків функцій, адже саму криву функції доведеться креслити лише один раз, далі все перетворення відбуваються лише з осями. Такий прийом ще неодноразово стане у пригоді при розв’язані інших задач з фізики. Але відкладати застосування цієї навички до 11 класу виглядає трохи недоцільним. Навпаки, підготовленість учнів до використання щойно засвоєного математичного апарату зміцнить їх вмотивованість до вивчення обох дисциплін.
3. Практичний кейс: Аналіз та розв'язок задачі
(За мотивами вправи 28 №№ 9, 10 підручника Т. М. Засєкіної, 11 клас, поглиблений рівень)
№9. Побудуйте графік залежності відстані 𝑑 (від зображення до лінзи) від відстані 𝑑 (від предмета до лінзи). Розгляньте також випадок, коли предмет уявний.
Розв’язок цієї задачі детально розібрано в інших розробках цієї серії[10].
№10. Обчисліть лінійне збільшення Γ через фокусну відстань 𝐹 і відстань від предмета до лінзи 𝑑 для випадків: а) 𝑑 𝐹; б) 𝑑 𝐹. Побудуйте графік залежності Γ 𝑑 . Визначити, при яких значеннях 𝑑 зображення буде прямим, а при яких – оберненим[11].
Розв’язок.
Етап 1. Фізико-математичний аналіз
Збільшення запишемо у вигляді, який містить дані про те, яким буде зображення, прямим чи оберненим, що визначається знаком Γ (Γ 0 – пряме; Γ 0 – обернене):
𝑑
Γ 
𝑑
Записуємо формулу тонкої лінзи:
1 1 1
,
𝐹 𝑑 𝑑
яке розв’язуємо відносно 𝑑 :
𝐹 ⋅ 𝑑
𝑑 
.
𝑑 𝐹
Підставляємо це значення у вираз для збільшення і одержуємо шукану залежність Γ 𝑑 :
𝐹
Γ .
𝑑 𝐹
Етап 2. Виділення базової функції
В презентації до цього випуску дається визначення базової функції (слайд 5) як деякої відомої елементарної функції, яку взято за початкову для подальших перетворень. В 9 класі учні проходять цю тему, яку майже один до одного описано в підручнику з Алгебри[12] саме для такого випадку (тут важлива кооперація з вчителем математики). Учні мають знати як виділити з цього виразу базову функцію, якою є обернена функція 𝑦 1/𝑥. Їм також має бути вже відомо, що знак «мінус» перед дробом відображає симетричну цю функцію відносно осі абсцис і перетворює її на функцію 𝑦 1/𝑥. Але у нас ще є множник, тобто ми зводимо цю залежність до виду типу: 𝑦 𝑘/𝑥. Тепер вже можна будувати графік цієї функції, використовуючи доробок, одержаний на уроках алгебри. І тут важливо підкреслити певну особливість, яку
|
Концептуальний розрив: (графік в алгебрі) vs. (графік у фізиці) Чому учень, який легко будує гіперболу на математиці, може відчувати незручність при аналізі графіку фізичних величин? Проблема криється у природі координатних осей: • В алгебрі функція 𝑦 𝑥 — це абстрактне співвідношення двох безрозмірних величин. Осі мають фіксований, однаковий масштаб (одна клітинка — одна одиниця як по вертикалі, так і по горизонталі). Учень звикає до симетричної, «ідеальної» картинки. • У фізиці ми працюємо з іменованими величинами абсолютно різної природи (наприклад, як в цій задачі відстані 𝑑 та 𝐹 у сантиметрах, а Γ – безрозмірна величина). Фізик не обмежений жорсткою симетрією: масштаби по вертикалі та горизонталі можуть відрізнятися в рази, щоб графік просто помістився на папері. Ця раптова асиметрія миттєво руйнує дитячі шаблони. Приведені (безрозмірні) координати — це і є той самий рятівний місток. Коли ми ділимо фізичну величину на її масштабний множник, наприклад, , ми переходимо до безрозмірної величини 𝑑 таким чином ніби штучно повертаємо фізику в «комфортне» для учня безрозмірне поле алгебри. |
потрібно враховувати при переході від абстрактних безрозмірних функцій, які вивчають на математиці, до залежностей фізичних величин.
Етап 3. Побудова «містка» через приведені координати
Розділимо праву частину одержаного рівняння на 𝐹 і введемо безрозмірну відстань 𝑑 
.
Тоді збільшення Γ матиме вигляд:
1 1
Γ 
.
𝑑 1 𝑑 1
𝐹
В такому вигляді вже чітко видно, що цю функцію одержано шляхом зсуву кривої базової функції виду 𝑦 1/𝑥 на 1 праворуч.
Етап 4. Лайфгак перетворення: Метод зміщення осей
Замість виснажливого прорахунку точок, застосуємо алгоритм зміщення координатних осей (слайди 12–13 презентації), де сама крива базової гіперболи лишається нерухомою.
Етап 5. Лайфгак перемасштабування: Зміна масштабу
Замість розтягувати графік базової функції, ми залишаємо саму криву незмінною (слайд 14), натомість змінюємо масштаб на осі абсцис, помноживши числа по осі на 𝐹.
Алгоритм побудови (5 кроків для учня):
Крок 1: Креслимо стандартну допоміжну сітку з кроком 1.
Крок 2: Фіксуємо опорні точки базової гіперболи 𝑦 1/𝑥 : це точки (1; -1) та (-1; 1).
Крок 3: Проводимо дві вітки гіперболи 𝑦 1/𝑥 .
Крок 4 (Зміщення осей): Дивимось на рівняння Γ 1/ 𝑑 1. Графік цієї функції одержано зсувом графіку базової функції на +1 (праворуч), що еквівалентно тому, що ми побудуємо нову вісь ординат зміщену від попередньої на 1 одиницю ліворуч. Крок 5 (Зміна масштабу): вісь ординат лишаємо без змін, а на осі абсцис переходим від безрозмірних величини, домножаючи масштаб на 𝐹.
Крок 1 Крок 2 Крок 3
Крок 4 Крок 5
Важливий фізичний аналіз зображення:
1) Пряме/обернене. Вертикальна асимптота при 𝑑 𝐹 розділяє весь діапазон на два: ліворуч Γ 0 (зображення пряме); праворуч Γ 0 (зображення обернене).
2) Збільшене/зменшене. |Γ| 1 (збільшене при 0 𝑑 𝐹 та 𝐹 𝑑 2𝐹 ); |Γ| 1 (зменшене при 𝑑 𝐹 ).
⋅
3) Дійсне/уявне. Аналіз залежності 𝑑 
дає відповідь на це питання, що визначається знаком 𝑑 : якщо 𝑑 0 (𝑑 𝐹) – уявне; 𝑑 0 (𝑑 𝐹) – дійсне.
4) Пункти 1) – 3) стосуються випадку, коли 𝐹 0 (лінза збиральна/увігнуте дзеркало). Якщо ж 𝐹 0, ординат потрібно зсувати в протилежний бік (тобто праворуч),
що одразу дає результат на тій самій кривій (лише з вісь в іншому місці) – зображення завжди буде обернене (Γ 0 і зменшене (|Γ| 1 .
4. Методичний аналіз: синхронізація підручників алгебри та фізики
Аналізуючи актуальні підручники, ми стикаємося з деяким часовим розривом.
Алгебра, 9 клас: Учні детально вивчають тему «Перетворення графіків функцій». Наприклад, у відомому підручнику з алгебри авторського колективу Н. А. Тарасенкової на сторінці 117 (задача 1) по-кроково розбирається саме функція гіперболи та алгоритми її геометричного зміщення.
Фізика, 11 клас: Глибокі задачі на графічний аналіз складних оптичних систем профільні програми з фізики чомусь відкладають на кінець старшої школи. Відкриваємо підручник
«Фізика. Поглиблений рівень. 11 клас» авторства Т. М. Засєкіної: у вправі 28 (завдання № 9 та № 10) учням пропонуються саме такі дослідження.
У чому незручність? Через два роки часового розриву (між 9 та 11 класами) без постійної практики математичні навички нівелюються. В 11 класу випускники сприймають графічний аналіз оптики не як знайому математичну модель, а як нову, відірвану від життя й надскладну теорію.
Рішення: Проведення інтегрованих уроків чи пропедевтичних занять у 9 класі. Це покаже дев'ятикласникам реальну силу алгебри, а для 11 класу — стане миттєвою «реанімацією» знань та заощадить дефіцитний час.
5. Чому вчителям варто взяти цю методику на замітку?
• Для вчителів математики: Це спосіб дати учням не лише інструмент у вигляді методів побудови графіків функцій, але й готова аргументація важливого прикладного значення цього інструменту. Це аргументована відповідь на учнівське запитання: «Навіщо нам здалися ці графіки та перетворення?». Це живий приклад проектування оптичних систем, об'єктивів камер чи телескопів.
• Для вчителів фізики: Метод звільняє уроки від рутинної арифметичної рутини побудови графіків по точкам. Учні вчаться «читати» графік як фізичний процес (бачать асимптоти, рух від 2𝐹 до 𝐹.
• Комплексний пакет матеріалів. До уроку додається повний пакет дидактичних засобів: опорний конспект для учнів, комп'ютерна презентація з покроковою анімацією зміщення осей та картки з 8 різнорівневими задачами (від простих концептів 9 класу до олімпіадного рівня 11 класу).
5. Висновки та очікувані результати
Ми не можемо збудувати STEM-освіту, просто додавши до уроків конструктори роботів чи 3D-принтери. Справжній STEM починається з архітектури знань. Потрібно відмовитися від лінійно-ізольованого планування предметів. Математичний апарат має подаватися як інструментарій (Toolbox) напередодні або паралельно з тим, як у фізиці виникає потреба в описі відповідного процесу.
Таким є наведений приклад впровадження пропонованої системи фізико-математичної синергії у спеціалізованому ліцеї, що дозволяє розв'язати хронічну проблему відірваності інструментарію від смислового наповнення. Замість механічного підходу «підставив і порахував» (plug and chug), ліцеїсти отримують цілісну наукову картину світу.
Головні підсумки такого методичного підходу:
1. Зростання статусу фізичної освіти: Фізика перестає бути для учнів «складною математикою з текстом» або набором штучних мнемонічних фокусів. Вона утверджується як фундаментальний простір, де математичні абстракції матеріалізуються і стають інструментами пізнання Всесвіту.
2. Успішність поняттєвого зрощення: Завдяки єдиній математичній індексації осей, переходу до приведених координат, використання загальних прийомів, засвоєних ними на уроках математики, учні позбавляються когнітивного перевантаження. Для них не має потреби завчати різні варіанти формування зображення, вони оперують універсальними аналітичними інструментами.
3. Економічна ефективність часу ліцею: Календарне зміщення програм (коли математична база випереджає фізичне застосування на 1–2 тижні) ліквідує часові розриви. Це ідеальна ситуація, коли вчителю фізики більше не доводиться витрачати уроки на передчасне пояснення математичних методів аналізу, в нашому випадку методів аналізу функцій.
Очікувані результати для закладу:
• Суттєве підвищення середнього бала ліцеїстів на профільних іспитах завдяки глибокому розумінню графічного аналізу функцій загалом.
• Збільшення кількості переможців олімпіад вищих рівнів з фізики та астрономії завдяки володінню апаратом математики на інтуїтивному та координатному рівнях.
• Створення зразкової моделі бінарної взаємодії між природничою та математичною кафедрами для профільної школи.
[1] The origin of STEM education
[2] ATE Had Role in the Naming of STEM
[3] Розпорядження Кабміну № 960‐р «Про схвалення Концепції розвитку природничо‐математичної освіти (STEM‐освіти)»
[4] T.R.Kelley, J.G.Knowles, A conceptual framework for integrated STEM education Int.J.STEM Education (2016) 3:11, https://doi.org/10.1186/s40594‐016‐0046‐z
[5] Т.М.Засєкіна, Д.О.Засєкін, Фізика, 9 клас, для ЗНЗ з поглибленим вивченням фізики, Оріон, 2017
[6] А.Г.Мерзляк, М.С.Якір, Алгебра, підручник для 9 класу закладів ЗСО, Гімназія, 2026
[7] Т.М.Засєкіна, Д.О.Засєкін, Фізика, 11 клас, для ЗНЗ з поглибленим вивченням фізики, Оріон, 2019, с.208, тбл.7. 4 Там же, с. 217, впр.28, №№ 9, 10.
[8] Н.А.Тарасенкова, І.А.Акуленко та ін. Алгебра, підручник для 9 класу закладів ЗСО, Оріон, 2026, с.117, задача 1.
[9] В.В.Кислюк, розробка «Графічний аналіз формули тонкої лінзи. Презентація» на сайті «На урок», слайди 9 – 14.
[10] В.В.Кислюк, «На урок», серія: «Математичні інструменти у шкільній фізиці», випуск 1 «Графічний аналіз формули тонкої лінзи: Презентація, Конспект, Задачі , завантажено: липень, 2026.
[11] Цього питання немає в підручнику. Його використано для розширення умови.
[12] Н.А.Тарасенкова, І.А.Акуленко та ін. Алгебра, підручник для 9 класу закладів ЗСО, Оріон, 2026, с.117, задача 1.
про публікацію авторської розробки
Додати розробку
Зареєструватись за допомогою Google