Границя функції в точці

Про матеріал
Розробка уроку з алгебри у 9 класі на тему: ,,Границя функції в точці,, Рівень стандарт
Перегляд файлу

Тема уроку: Границя функції неперервного аргументу.

Мета уроку: Формування поняття про границю функції.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо­вісти на запитання, що виникли в учнів при виконанні до­машніх завдань.

2. Сформулюйте означення і властивості модуля дійсного числа, користуючись таблицею 1.

3. Усне розв'язування рівнянь і нерівностей з модулем за табли­цею 2 для усних обчислень.

Таблиця 2

 

1

2

3

4

1

|х| = 5

|х| = 0

х =  5

|х| = х

2

|х| =  х

|х  3| = 2

|х + 2| = 3

|х – 1| + |х + 1| = 0

3

|х| < 2

|х| > 0

|х| > 1

|х| > 3

4

|х  1| < 2

|х + 1| < 2

|х – 1| > 3

|х + 3| > 1

II. Сприймання поняття границі функції.

https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image006.jpg

Побудуємо графік функції f(x) = х + 1 (рис. 9). Якщо х наближається до 1, то зна­чення у наближається до 2.

Говорять, що границя функції f(x) при х, що наближається до 1, дорівнює 2 і запи­сується: https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image010.png(x +1) = 2.

Розглянемо другий приклад.

Побудуємо графік функції g(x) = https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image017.png і розглянемо  поведінку цієї функції при х, близьких до 1.

Функція g(x) = https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image017.png визначена при х https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image025.png (-https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image029.png; 1) https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image033.png (1; +https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image029.png) і графік являє собою пряму у = х + 1 з виколотою точкою х = 1 (рис. 10),  бо функція g(x) =

=  https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image017.png не визначена в точці х = 1.

https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image037.jpgЯкщо х наближається до 1 (зліва чи справа), то у наближається до 2 (відпов­ідно знизу чи зверху).

 Отже, https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image039.pnghttps://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image017.png=2.

Розглянемо третій приклад. Побудуємо графік функції

https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image041.png(рис. 11) і розглянемо поведінку функції при х, що наближається до 1.

https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image042.jpgПри х → 1 (що наближається до 1) границі функції h(x) не існує, поскільки не існує єди­ного числа, до якого наближається функція при х, що прямує до 1.

(Якщо х наближається до 1 зліва, то h(x) наближається до 1; якщо ж х наближається до 1 справа, то h(x) наближаєть­ся до 2).

Таким чином:

Якщо при значеннях х, що прямують до дея­кого числа а, значення функції f(x) прямують до єдиного значення b, то говорять, що при х, що наближається до а, функція f(x) має границю, яка дорівнює b, і це записується так: https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image044.png f(x) = b або f(x)  b при х  а.

 

 

 

 

 

 

ІІІ. Виконання вправ

1. Використовуючи графіки функцій (рис. 12), з'ясуйте:

https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image045.jpg

1) Чи має границю функція в точці х, що прямує до 2? Якщо має, то чому дорівнює ця границя?

2) Чи залежить існування границі функції в точці від визначе­ності функції в цій точці?

3) Якщо функція визначена в точці, то чи завжди границя функ­ції дорівнює значенню функції в цій точці? 2. Користуючись графіком, знайти границі (якщо вони існують): a) https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image047.png б) https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image049.png в) https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image051.png г) https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image053.png

IV. Осмислення поняття границі функції.

Нехай задано деяку функцію, наприклад, f(x) = 2х + 1. Розглянемо таблицю значень цієї функції в точках, що досить близько розташовані до числа 1 (і в самій точці 1), та знайдемо |х – 1| та |f(x) – 3| у відповідних точках.

х

0,5

0,8

0,9

0,99

0,999

1

1,001

1,01

1,1

1,5

f(x)

2

2,6

2,8

2,98

2,998

3

3,002

3,02

3,2

4

|х  1|

0,5

0,2

0,1

0,01

0,001

0

0,001

0,01

0,1

0,5

|f(x)  3|

1

0,4

0,2

0,02

0,002

0

0,002

0,02

0,2

1

З таблиці видно, що при наближенні значення аргументу до чис­ла 1 значення функції наближається до числа 3, при цьому по­хибка значень функції може бути досягнена як завгодно малою, шляхом зменшення похибки аргументу. Дійсно, взявши довільне ε > 0, тоді |f(x) – 3| < ε,

або |2х + 1 – 3| < ε; |2х – 2| < ε, 2|х – 1| < ε; |х – 1| < https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image055.png.

Отже, щоб похибка значень функції не перевищувала ε > 0, слід  взяти значення х такі, що |х – 1| < https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image055.png.

Число b називається границею функції у = f(x) в точці а, якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х: 0 < |х – а| < δ, виконується нерівність |f(x) – b| < ε. (Рис. 13).

https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image056.jpgРозглянемо приклад.

Доведіть, що https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image058.png(2x  1) = 5.

Розв'язання Задамо довільне ε > 0 і покажемо, що існує δ > 0 таке, що із нерівності |х - 3| < δ випливає нерівність |(2х - 1) - 5| < ε. Маємо |( - 1) - 5| < є,

|2х - б| < ε;  |2(х - 3)| < ε;  2·|х - 3| < ε; |х - 3| < https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image055.png Отже, якщо взяти δ = https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image055.png, то виконання нерівності

| x - 3| < δ приведе до виконання нерівності |(2x - 1) - 5| < ε. Отже, згідно з означенням границі маємо: https://fizmat.7mile.net/algebra-10/01-2-granicya-funktsiya.files/image058.png(2x -1) = 5.

Виконання вправи № 12 (3).

V. Домашнє завдання.

§ 33 Запитання і завдання для повторення № 6. Впра­ви № 2 (6), 12 (1).

Опрацювати конспект та виконати завдання в зошиті.

VІ. Підведення підсумків уроку.

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Носальська Ольга Василівна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Додав(-ла)
Давидюк Богдан
Пов’язані теми
Алгебра, Розробки уроків
Додано
7 червня 2022
Переглядів
2888
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку