29 червня о 18:00Вебінар: Практика вдумливого читання: поради для роботи в початковій школі (і не тільки)

Індивідуальна робота "Теорія границь"

Про матеріал

Індивідуальна робота "Теорія границь" для учнів 11 класу.

Дана робота призначена для перевірки якості та рівня засвоєння знань учнів з теми "Теорія границь". Робота розрахована на учнів з поглибленим вивченням математики.

Перегляд файлу

Індивідуальна робота 1 «Теорія границь»

 

Завдання 1. Знайти границю .

Завдання 2. Знайти границю .

Завдання 3. Знайти .

Завдання 4. Обчислити .

Завдання 5. Обчислити .

Завдання 6. Обчислити .

Завдання 7. Обчислити .

Завдання 8. Знайти границю .

Завдання 9. Знайти .

Завдання 10. Обчислити границю .

Завдання 11. Обчислити .

Завдання 12. Обчислити .

Завдання 13. Обчислити .

Завдання 14. Обчислити .

Завдання 15. Обчислити границю .

Завдання 16. Обчислити .

Завдання 17. Обчислити .

 

 

 

Розв’язання та відповіді до завдань

Розв’язання 1. Маємо невизначеність виду , задану відношенням многочленів. Старший степінь цих многочленів – четвертий, тому поділимо чисельник та знаменник дробу під знаком границі на . Отримуємо:

.

Застосуємо до отриманого виразу теорему про границю частки:

.

Тут ми використали для границь у чисельнику та знаменнику теорему про границю суми функцій, а також врахували те, що , , , є нескінченно малими величинами. Таким чином, .

При знаходженні границь, аналогічних границі прикладу 2.29, доцільно використовувати наступне правило. Якщо степінь чисельника дробу є меншою, ніж степінь знаменника, то границя дорівнює нулю; якщо степінь чисельника дорівнює степені знаменника, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях чисельника та знаменника; якщо степінь чисельника більший за степінь знаменника, то границя дробу дорівнює нескінченності.

Розв’язання 2. У цьому прикладі вираз під знаком границі є відношенням ірраціональних функцій, утворюючи при невизначеність виду . Старший степінь чисельника дорівнює (доданок ), старший степінь знаменника також дорівнює (), тому поділимо чисельник та знаменник дробу на . Отримаємо:

.

Невизначеність виду при задана відношенням двох многочленів. У цьому випадку потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники . Оскільки при чисельник та знаменник дробу дорівнюють нулю, то у їхньому розкладу на множники присутній множник . Скорочення на степінь можливе, оскільки , але . Після такого скорочення невизначеність усувається.

Розв’язання 3. Розкладемо на множники чисельник та знаменник дробу під знаком границі. Маємо:

.

Коренями квадратного тричлена є , , тому його розклад на множники має вигляд:

.

Підставивши знайдені розклади на множники у задану границю, отримуємо:

.

Невизначеність виду при задана відношенням ірраціональних виразів. Для розкриття таких невизначеностей звичайно позбавляються від ірраціональності у чисельнику або знаменнику.

Розв’язання 4. Позбудемося ірраціональності у знаменнику. Маємо:

Від ірраціональності можна позбавитися також шляхом введення нової змінної.

Розв’язання 5. Маємо невизначеність виду . Щоб позбутися ірраціональності, виконаємо заміну змінної . При , , . Отримаємо:

.

Оскільки є коренем чисельника та знаменника дробу, то їх можна поділити націло на . Маємо:

, .

Підставивши ці вирази у останню границю, отримуємо:

.

 Невизначеність виду задана різницею раціональних дробів або ірраціональних виразів.

Розв’язання 6. Маємо невизначеність виду , утворену різницею раціональних дробів. Виконаємо віднімання:

Отже, .

Підставивши знайдену різницю дробів у границю,отримаємо:

Розв’язання 7. Маємо невизначеність , утворену різницею виразів, що містять ірраціональність. Розкриємо дану невизначеність наступним чином:

Невизначеності виду , задані виразами, що містять тригонометричні функції, часто розкриваються за допомогою першої важливої границі.

 

Розв’язання 8. Використовуючи співвідношення , запишемо границю у вигляді: .

Розв’язання 9. Виконаємо перетворення виразу у чисельнику дробу:

При обчисленні цієї границі було використано формулу (2.17) : при .

Розв’язання 10. У даному прикладі при підстановці замість значення отримуємо невизначеність . Перетворимо її до вигляду . Для цього задану границю запишемо у вигляді:

.

Виконаємо заміну змінної . Тоді при ,  тригонометричні вирази у границі набувають вигляду:

,

.

Підставимо ці вирази у границю:

Розв’язання 11. Виконаємо заміну змінної , . При  . Задана границя набуває вигляду:

 

.

При розкритті невизначеності виду використовують другу чудову границю . 

Розв’язання 12. Оскільки , , то обчислення даної границі зводиться до знаходження невизначеності . Застосуємо другу важливу границю . Для цього представимо дріб у вигляді суми одиниці та нескінченно малої величини:

.

Отримуємо:

.

Тут у показнику степеня ми виділили величину, , обернену нескінченно малій, що додається до одиниці у основі степеня. Застосовуючи формулу (2.20), знаходимо:

.

Розв’язання 13. Підставивши у вираз під знаком границі , отримуємо невизначеність , тому для розв’язання прикладу використаємо другу важливу границю. Для цього представимо вираз у основі степеня у вигляді суми одиниці та нескінченно малої і виділимо у показнику степеня величину, обернену цій нескінченно малій:

.

Використовуючи формулу (2.20), отримуємо:

.

8. При розкритті невизначеності у випадках, коли під знаком границі знаходяться логарифмічні або показникові функції, доцільно використовувати формули (2.21) – (2.24).

Розв’язання 14. Підстановка у вираз під знаком границі значення приводить до невизначеності .  Оскільки під знаком границі знаходиться показникова функція, то для обчислення границі можна використати формулу (2.22). Зробимо заміну , . При . Отримуємо:

.

Розв’язання 15. Маємо невизначеність і під знаком границі знаходяться показникові функції. Застосувавши формулу (2.22), отримуємо:

.

Тут ми використали результат, отриманий у попередньому прикладі 2.42 – .

Розв’язання 16. Підстановка у вираз під знаком границі значення визначає невизначеність . Оскільки у виразі під знаком границі знаходиться логарифмічна функція, для розв’язання прикладу доцільно використати формулу (2.21). Виконавши заміну , , отримаємо:

.

Розв’язання 17. Після підстановки у вираз під знаком границі значення маємо невизначеність виду . Зробивши заміну , , отримуємо (при ): 

.

Тут ми використали результат прикладу 2.44: , де  .

 

 

1

 

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Бережецька Людмила Сергіївна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Пов’язані теми
Алгебра, Контрольні роботи
Додано
15 квітня 2018
Переглядів
947
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку