"Арифметична прогресія" Презентація до проекту "Числові послідовності"

Арифметична прогресія. Підготували учні 9 класу ЗШ І-ІІІ ст. с. Червоне

МЕТА: Детальніше ознайомитись з арифметичною прогресією її історією та розглянути її застосування в повсягденому житті. ЗАВДАННЯ: Зібрати історичний матеріал по обраній темі. Підібрати та розв’язати задачі практичного спрямування. Підготувати презентацію. Захистити проект.

Різницю арифметичної прогресії позначають буквою d. Різницю арифметичної прогресії можна знайти, якщо від будь-якого члена прогресії, починаючи з другого, відняти попередній. d = an+1 – an , тобтоd = a2 - a1 = a10 – a9 Арифметична прогресія. Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, ... . Число a1 називається першим членом арифметичної прогресії. Перший член і різниця арифметичної прогресії можуть бути якими завгодно числами. Арифметична прогресія зростаюча, якщо її різниця додатна або спадна, якщо її різниця від'ємна. Формула n-го члена арифметичної прогресії an=a1+(n-1)d. Сума членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює півсумі крайніх її членів, помноженій на число членів: 

Історія арифметичної прогресії Числові послідовності – явище унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих ІІ тисячоліттям до н.е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії. Впродовж століть людей приваблювала внутрішня гармонія і краса числових рядів. На зв’язок між прогресіями першим звернув увагу великий АРХІМЕД (бл. 287 -212рр. До н.е.)Слово “прогресія” походить від латинського слова “progression” і означає “ рух уперед”. Уперше цей термін як математичний вживається у працях римського вченого Боеція (V - VIст). Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються в папірусах ІІ тисячоліття до н. е. Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса: “Нехай тобі сказали: розділи десять мір ячменю між 10 чоловіками так, щоб різниця між кожним чоловіком і його сусідом становила 1/8 міри ячменю”.                                                                   

Історія арифметичної прогресіїВ XVIII ст. в англійських підручниках з’явилися позначення арифметичної і геометричної прогресії. Арифметична прогресія Коли німецькому математику К. Ф. Гауссу було 9 років, учитель, прагнучи надовго зайняти дітей, задав на уроці наступну задачу: “порахувати суму всіх натуральних чисел від 1 до 100”. Але один із учнів ( це був Гаусс) через хвилину викрикнув: ”Я вже розв’язав”. У зошиті Гаусса було тільки одне число, але зате вірне. Помітивши, що суми 1+100, 2+99 і т. д. рівні, він помножив 101 на 50, тобто 1+2+3+4+…+98+99+100=101∙50=5050. Інакше кажучи, він помітив закономірність, яка властива арифметичній прогресії. К. Гаусс знайшов суми членів арифметичної прогресіїКарл Гаусс (1777-1855) німецький математик.

Арифметична прогресія в літературіНавіть у літературі ми зустрічаємося з математичними поняттями!Ямб – це віршований розмір з наголосом на парних складах 2,4,6,8…. Номери складів утворюють арифметичну прогресію з першим членом 2 і різницею прогресії 2 Хорей – це віршований розмір з наголосом на непарних складах вірша . Номери ударних складів утворюють арифметичну прогресію 1,3,5,7…. Ямб “Мой д. Ядя с. Амых ч. Естных п. Равил…”Прогресія: 2,4,6,8…Хорей“Я пропал , как зв. Ерь в заг. Оне…”Прогресія : 1, 3,5,7…Як лисиця та вовк рибу дiлили. Вкрали лисиця з вовком риби багатенько, та й давай дiлитись. — Я не дуже тямущий у математицi, — каже вовк, — дiли ти, але так, щоб порiвну. — Ось тобi одна рибка, а менi двi, — каже лисичка. — Чи не замало?! — стривожився вовк. — Та нi, — каже лисичка, — слухай далi. Ось тобi три рибки... — Так можна, — заспокоївся вовк. — Менi 4, а тобi 5, менi 6, а тобi 7... Так дiлила лисичка рибку, щоразу збiльшуючи на одну рибину. Наостанку вона кинула собi20 рибин i на цьому риба закiнчилась. Вовк подумав, що лисиця чесно подiлила. А ти якгадаєш, у кого бiльше риби i на скiльки?

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 15; d = -3; an = 0an = a1 + d(n – 1) 0 = 15 - 3(n – 1) 3(n – 1) =153n – 3 =153n =18n = 6 Відповідь: Гальмівний шлях автомобіля 45 метрів. Задача № 1 Гальмуючи автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну - на 3 м менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля. Цікаво!Прогресії виражають закони деяких фізичних явищ. Наприклад, тіло, що вільно падає, рухається рівноприскорено. Відрізки шляху, пройдені цим тілом за першу, другу, третю, четверту,... секунди, становлять арифметичну прогресію.

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 40d = - 3an = a1 + d(n – 1) a3 = a1 + 2d = 40 + 2· (-3) = 40 – 6 = 34 (м.)a10 = a1 + 9d = 40 + 9· (-3) = 40 – 27 = 13 (м.)Відповідь: 34 метра; 13 метрів. Задача № 2 Дідусь віком 76 років біг 10 хвилин. За 1 хв. він подолав 40 метрів, а кожну наступну хв. він біг на 3 метри менше за попередню. Скільки метрів подолав дідусь за 3 хвилину; за останню?

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 4,9d = 9,8n = 8 Відповідь: 313, 6 м. Задача № 3 При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Яка глибина шахти, якщо камінець досяг її дна через 8 с після початку падіння.

Задачі практичного спрямування. Господиня на весні посадила помідори. За 1 тиждень на стовбурі з’явились два листочка, а кожного наступного тижня на 2 листочки більше. Скільки листочків було на рослині на 5 тиждень? Розв’язок: a1 = 2d = 2 Відповідь:30 листочків. Задача № 4

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 5d = 1n = 4800 : 600 = 8an = a1 + d(n – 1) a8 = 5 + 1(8 – 1) = 5 + 7 = 12 (млн)Відповідь: 12 мільйонів. Задача № 5 Кількість еритроцитів (з розрахунку на 1 мм3) в крові людини становить на рівні моря – 5 мільйонів. Через кожні 600 м підняття вгору їх кількість збільшується на 1 мільйон. Яка кількість еритроцитів буде в крові людини, якщо вона підніметься на вершину гори висотою 4800 м.

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 15d = -1an = a1 + d(n – 1) a12 = 15 + 11·(-1) = 15 -11 = 4 Відповідь: 144 колоди. Задача № 6 Дрова складені так, що в нижньому ряду лежить 15 колод, а в кожному наступному на 1 колоду менше, ніж у попередньому. Скільки колод у 12 рядах?

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 1000d = 500 S12 - ?an = a1 + d(n – 1) a12 = 1000 + 11· 500= 1000 + 5500 = 6500 Відповідь: 45000 грн. Задача № 7 9 клас виграв певну суму на розвиток матеріальної бази кабінету математики. За умовами конкурсу клас отримуватиме фінансування наступним чином: перший місяць 1000 грн, а кожен наступний місяць на 500 грн більше, ніж в попередній. Який розмір виграшу, якщо кабінет математики фінансувався протягом 1 року?

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 5d = 2an = a1 + d(n – 1) a6 = 5 + 5·2= 5 + 10 = 15 (п) a10 = 5 + 9·2= 5 + 18 = 23 (п) Відповідь: 15 поверхів; 23 поверхи. Задача № 8 За 1 тиждень робітники побудували 5 поверхів будинку, а за кожний наступний тиждень будували на 2 поверхи більше ніж за попередні. Скільки поверхів будинку побудували робітники за 6тиждень; за 10 тиждень?

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a3 = 34a10 = 13d = -3an = a1 + d(n – 1) a3 = a1 + d(3 – 1) a1 = a3 - d(3 – 1) = 34 + 3·2 = 34 + 6 = 40 Відповідь: 40 ст. – за 1 день; в книжці 265 ст. Задача № 9 Бабуся Галя читала онукам книжку з казками, яку прочитала за 10 днів. Скільки сторінок вона прочитала в 1 день, скільки сторінок взагалі в книжці, якщо кожного дня вона читала на 3 сторінки менше ніж попереднього? Відомо, що за 3 день вона прочитала 34 сторінки, а за 10 день 13 сторінок.

Задачі практичного спрямування Розв’язок: a1 = 4a6 = 14a3 - ?an = a1 + d(n – 1) a6 = a1 + 5d 4 + 5d =145d =10d = 2 a3 = 4 + 2(3 – 1) = 4 + 4 = 8 (к)Відповідь: 8 кубиків. Задача № 10 Кубики складено рядами так, що у верхньому ряду 4 кубики, а в кожному ряду, що нижче – на одну й ту саму кількість кубиків більше , ніж у попередньому. Відомо, що в 6 ряду 14 кубиків. Скільки кубиків у 3 ряду.

Висновок: Розглянувши історію, властивості сфери використання арифметичної прогресії, розв’язавши задачі на вирішенні різних життєвих ситуаціях, ми показали практичну значимість арифметичної прогресії. Даний проект був цікавим, пізнавальним та практичним. Мета – досягнута!

Дякуємо за увагу !