Інтерактивний підручник "Комбінації з кулею"

Вписана та описана куля. Автор. Вчитель математики та інформатики. КЗШ №73 Дроненко Людмила Геннадіївна

ПУТІВНИКОписана куля навколо призми. Вписана куля в призму. Описана куля навколо піраміди. Вписана куля в піраміду. Вписана куля в циліндр. Описана куля навколо циліндра. Описана куля навколо конуса. Вписана куля в конус. Завершити роботу. Самостійнаробота. Завдання

Описані навколо многогранників (призм) кулі1. Кулю називають описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі(сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю.2. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин. АО=ВО=ОВ1=….=Rкулі.3. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти, яка з`єднує центри кіл, описаних навколо основ призми. H= О1 О2 -висота призми, R- радіус кулі, r- радіус кола описаного навколооснови призми: ОАВСС1 В1 А1 О1 О2 Rкуліr

Описані навколо многогранників (призм) кулі(продовження)1. Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа многокутник навколо якого можна описати коло. DACBA1 C1 D1 B1 О2. Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда,лежить в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі. АС1=dкулі=2 RНаслідок: Кулю можна описати навколо призмиякщо в основі лежить прямокутник,квадрат.

Описані навколо пірамід кулі1. Кулю називають описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.2. О1 - центр кулі; АО1=Rкулі ; О - центр кола описаного навколо основи.3. Центр кулі,описаної навколо довільної піраміди лежить на прямій,перпендикулярній площині основи, яка проходить через центр кола,описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною,яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину. ОО1 ┴ (АВС); М - середина SA; α ┴ SA(М α ); α перетинає ОО1 в точці О1. SABCО1 ОRкулі М4. Центр кулі може знаходитись:в середині піраміди;в площині основи;поза пірамідою.

Описані навколо пірамід кулі (продовження)1. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра. SO - висота піраміди; О-центр кола описаного навколо основи піраміди;АО = r - радіус кола описаного навколо основи піраміди;М-середина ребра SА,МО1∩SА=О1-центр описаної кулі2. Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні, то при розв`язанні деяких задач можна продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з`єднати S1 з А. Тоді SS1 -діаметр кулі SAS1 - прямий, як вписаний кут, який спирається на діаметр. SABCDО1 Оr. RMS1┐

R1. Вершина конуса S лежить на сфері.2. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса . У такому перерізі маємо трикутник, вписаний у коло. АВОS4. Трикутник ASB рівнобедрений . Бічні сторони - твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі.5. Радіус кулі дорівнює радіусу кола , описаного навколо осьового перерізу конуса. SO1 O1 C3. Трикутник АОS-рівнобедрений. Кут АСО-прямий. АС=СS, R-радіус кулі,r-радіус конуса,H-висота конуса,R2=(H-R)2+r2r. HКонус, вписаний в кулю

Циліндр, вписаний у кулю2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі.3. Ця комбінація тіл симетрична відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра. 4. Переріз тіла такою площиною є прямокутник АВСD і описане навколо нього коло.5. Прямокутник АВСD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло – велике коло даної кулі.6. Діагональ АС є діаметром описаної кулі. О2 О1 ОАВСD1. Куля називається описаною навколо циліндра,якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі.7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра: R2=(0,5 H)2 + r2 AО= R-радіус куліDE=r-радіус циліндра. AD=H-висота циліндра. Dr. ОАСBER

1. Кулю можна вписати в пряму призму,якщо її основи є многокутниками,описаними навколо кола, а висотапризми дорівнює діаметру кулі і діаметру цього кола. Вписані в многогранники (призми) кулі2. Центр кулі,вписаної в пряму призму,лежить на середині відрізка, якийз’єднує центри кіл, вписаних в основипризми. С1 В1 А1 АВСО1 О2 ОRr3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола,вписаного в основу призми, а діаметркулі дорівнює висоті призми.4. R-радіус кулі, r- радіус кола,вписаного в основу призми, H = О1 О2 - висота призми і діаметр кулі.

Вписана в піраміду куля1. Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі. О1 - центр кулі, К - точка дотику з гранню (SАС); О1 К=r (радіус кулі), О1 К ┴(SАС).2. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди. SО - висота піраміди, О - центр кола,вписаного в основу піраміди, О1 О=r. О1 КВАСSОM┐┐МО1 - бісектриса SМО. SM ┴ ВС і ОМ ┴ ВС, тому SМО - лінійний кут двогранного кута при основі . ОМ - радіус кола,вписаного в основу піраміди.

Циліндр, описаний навколо кулі2. Точки дотику кулі і основ циліндра є центрами основ циліндра.3. Площина проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла. 5. Висота циліндра є діаметром кулі: Н циліндра = О1 О2= dкулі4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат. ОRDCBAHОО1 О2rц. ABCDRк. Куля називається вписаною в циліндр,якщо основи і всі твірні,які утворюють циліндр дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра.

SO2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії.3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник, у який вписане коло. SABO14. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB - твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло - велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола вписаного в трикутник ASB. R1. Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу,що лежить в площині, паралельній основі конуса. Hr. OR-радіус кулі,r-радіус конуса,H-висота конуса. Куля , вписана в конус

Задача 1. У кулю вписано правильну трикутну піраміду з бічним ребром L, що нахилене до основи піраміди під кутом α . Знайти площу поверхні кулі. Розв'язання. Оскільки піраміда правильна, то центр О кулі є точкою перетину висоти DO і серединного перпендикуляра LΟ до бічного ребра DA у площині ADK. У ΔDLO:

Задача 2. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 120°, радіус його основи r. Знайти об'єм кулі, в яку цей конус вписано. Розв'язання. Розглянемо осьовий переріз одержаної фігури. АКВ — тупокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, а отже, і центр кулі, описаної навколо конуса, лежатиме поза трикутником (конусом). ΔАКВ — осьовий переріз даного конуса, АВ = 2r, АО — радіус кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола, описаного навколо ΔАКВ, тому за наслідком теореми синусів. Відповідь.

Задача 3. У кулю радіуса R вписано піраміду, в основі якої лежить прямокутник із кутом α між діагоналями. Всі бічні ребра піраміди нахилені до основи під кутом ϕ. Знайти об'єм піраміди. Розв'язання. Оскільки всі бічні ребра піраміди SABCD нахилені до площини основи під однаковим кутом, то висота піраміди SK проходить через центр описаного навколо многокутника основи кола, тобто через точку перетину діагоналей прямокутника ABCD. Центр кулі, описаної навколо піраміди, є точкою перетину висоти SK і серединного перпендикуляра МО до бічного ребра SC, що лежить у площині SCK, це — точка О. SC i SA — бічні ребра піраміди, SK(АВС), КС і ΚΑ — проекції цих ребер на площину основи, тому кутами нахилу цих бічних ребер до основи є кути між SC і КС, SA і КА відповідно, тобто

Відповідь.

Задача 4. В основі піраміди лежить трикутник з кутами α і β і площею S. Усі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кут ϕ. Знайти площу поверхні кулі, описаної навколо піраміди. Обчислити, якщо S = 36 см2, α = 60º, β = 30º, ϕ = 45°. Розв'язання. Нехай SАВС — дана піраміда, SABC = S, САВ =α, СВА= =β. Проведемо висоту SO піраміди. Тоді АSO = ВSO = =СSO = ϕ. Нехай О1 - центр кулі, описаної навколо піраміди. Площу поверхні кулі (сфери) знаходимо за формулою: Sсф = 4π R2, де R = O1 S — її радіус. Покажемо, що центр кулі лежить на прямій SO. Прямокутні трикутники ∆АSО, ∆ВSO, ∆СSО мають спільний катет SO і рівні гострі кути. Тому ∆АSO = ∆ВSO = ∆СSО, звідки випливає, що ОА = ОВ = ОС, тобто точка О є центром кола, описаного навколо трикутника АВС. Оскільки О1 А = О1 В = О1 С = R, то проекції похилих О1 А, О1 В і O1 С на площину АВС рівні між собою.

Це означає, що проекція точки О1 на площину АВС рівновіддалена від точок А, В і С, тобто цією проекцією є точка О. Оскільки проекціями точок S і О1 на площину АВС є одна і та сама точка О, то О1 належить SO. Оскільки відстані від точки О1 до кінців ребер піраміди рівні між собою, то центр кулі, описаної навколо даної піраміди, є точкою перетину прямої, що містить висоту піраміди, з площиною, яка перпендикулярна до одного з бічних ребер і проходить через його середину. Нехай R = O1 S = х. З точки О1 проведемо перпендикуляр O1 N до ребра SВ. З трикутника O1 SN:

Відповідь.

Задача 5. Правильну чотирикутну піраміду описано навколо кулі, радіус якої дорівнює r. Бічна грань піраміди нахилена до основи під кутом α . Знайти об'єм піраміди. Відповідь.

Задача 6. Кулю вписано в конус. Радіус основи конуса дорівнює 6 см, висота — 8 см. Знайти об'єм кулі. Відповідь. V = 36π см3. Розв'язання.ΔΑDB — осьовий переріз конуса, ΜΑ — радіус його основи, DM — висота конуса, DA — його твірна. AM — проекція AD на площину основи конуса, тому DAM є кутом нахилу твірної DA до основи. У площині DAM проведемо бісектрису АО кута DAM. Вона перетне висоту DM у точці О, яка і є центром вписаної в конус кулі. ОМ А В , ОМ — радіус кулі. AD=10 см. За властивістю бісектриси DO : ОМ = AD : AM. ОМ = r, DO = 7 - r, тому, r = 3 см. Об'єм V кулі, вписаної в конус, знайдемо за формулою: V = πr3, де r – радіус кулі. V= π·33 =36π (см3).

Задача 1. Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур. Знайти радіус основи конуса, якщо сторона основи піраміди дорівнює 8 см. Задача 2. У задачі 1 бічне ребро піраміди нахилене до основи під кутом 60°. Знайти об'єм конуса. Задача 3. У кулю вписано конус, твірна якого дорівнює а і утворює з висотою кут α . Знайти площу поверхні кулі. Задача 4. Кулю вписано в правильну чотирикутну піраміду, висота якої Н, а двогранний кут при основі піраміди α . Знайти радіус кулі. ВВВВЗавдання для самостійного виконання

Задача 2. Розв'язання. DA — бічне ребро піраміди, DO — висота, DO (АВС), ОА — проекція бічного ребра DA на (АВС). Тому DAO є кутом нахилу бічного ребра DA до основи АВС піраміди, DAO= 60°, AО — радіус основи конуса. Об'єм V конуса обчислюємо за формулою: V = πR2 H, де R = АО = , Η = DO. DO знайдемо з Δ DOA (DOA = 90°). DO(АВС), DO(АВС) = О, АО (АВС), АО проходить через точку О, тому DOАО (за означенням перпендикулярних прямої і площини). DO=AOtg. DAO, H=DO= tg60º , DO = 8 см.

Задача 7. Навколо кулі радіуса R описано пряму чотирикутну призму, в основі якої лежить прямокутна трапеція з похилою бічною стороною довжиною b. Обчислити об'єм цієї призми. Розв'язання. Нехай в основі прямої призми лежить трапеція АВСD, у якої АD || ВС, А =  В = 90º, СD = b, Q — центр кулі, вписаної в призму. Через точку Q. проведемо пряму, перпендикулярну до площини АВС. Ця пряма буде перпендикулярною і до площини A1 B1 C1. Нехай О і О1 — точки перетину прямої відповідно з площинами АВС і А1 В1 С1. Тоді відрізки QO і QO1 є радіусами вписаної кулі, а відрізок OO1 — висотою призми: QO = QO1 = R, OO1 = 2 R.

Відповідь. 2 R2(2 R + b).

Задача 8. У пряму призму, основою якої є прямокутний трикутник з кутом α і гіпотенузою с, вписано сферу. Знайти об'єм призми.

Задача 2. Навколо правильної трикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною її основи кут . Визначити об’єм призми. Розв’язання. Нехай К – центр кулі, описаної навколо правильної трикутної призми, КА=R. Через точку К проведемо пряму, перпендикулярну до площини АВС, яка буде перпендикулярною і до площини А1 В1 С1. Нехай О і О1 – точки перетину цієї прямої відповідно з площинами АВС і А1 В1 С1. Тоді ОА=ОВ=ОС, як проекції на площину АВС рівних похилих КА, КВ, КС. Отже, точка О є центром кола, описаного навколо трикутника АВС.

Задача 9. Висота циліндра Н і утворює з діагоналлю осьового перерізу циліндра кут α. Знайти радіус кулі, описаної навколо циліндра. Розв'язання. Нехай у циліндрі проведений осьовий переріз ABCD. Його діагональ АС , висота ВС = Н. Кут між висотою циліндра і діагоналлю осьового перерізу - CBD=α. AC – діаметр описаної кулі навколо циліндра, АО = ОС=R – радіус описаної кулі. З ΔADC (ADC=90°): DОАСBEТоді радіус описаної кулі : Відповідь.

Задача 10. У рівносторонній циліндр вписано кулю радіуса R, а в неї вписано рівносторонній конус. Знайти відношення площ бічних поверхонь циліндра і конуса. Розв'язання. Відповідь. Осьовий переріз рівностороннього циліндра – квадрат. В циліндр вписано кулю, тоді радіус кулі дорівнює радіусу основи циліндра, що дорівнює радіусу вписаного кола в даний квадрат. Тоді AD – радіус основи циліндра, AD=R. Осьовий переріз рівностороннього конуса - правильний трикутник. Так як конус вписаний в кулю, то радіус кулі дорівнює радіусу описаного кола навколо осьового перерізу конуса, тобто рівностороннього трикутника: Р

Посилання на відеоресурси:https://www.youtube.com/watch?v=iciyw. Ne5 XBMhttps://www.youtube.com/watch?v=X4aehb. Cpid4https://www.youtube.com/watch?v=Blz35fvia. PIhttps://www.youtube.com/watch?v=g. Mc. Nq0 KFwd. Ehttps://www.youtube.com/watch?v=91qi. Dc. D_l. Gs