Кейс-урок з теми «Арифметична та геометрична прогресії»

Кейс-урок з теми «Арифметична та геометрична прогресії»Чи можливий прогрес без математики?

Кейс-урок. Кейс-уроки - структурують навчальний матеріал, в особливому форматі. Він складається з 6 або 10 розгорток, які системно відображають розділи шкільної програми. Наш урок має 4 розгорток ,які піготували учні 9-А класу, досліджуючи питання «Прогресії»

Цілі і завдання кейсу. Освітні:отримання нових знань, умінь, навичок,засвоєння, закріплення, перевірка вивченого матеріалу. Розвиваючі:робота з інформацією,активізація пізнавальної діяльності через добування знань досвідченим шляхом,розвиток комунікативних навичок і умінь працювати в команді, придбання досвіду прийняття рішень і відповідальність за них. Методичні:демонстрація кейс-уроку та проведення власних презентацій кейсів,відпрацювання аргументів при веденні дискусій.

Девіз уроку   Прогрес – це рух, це велич, це зростання,                                             Як Україні зараз він потрібний,                                             Прогресії – його сестриці рідні.                                             Це школа, математика, навчання.                                                    І кожен з нас, як аксіому знає:                                                    Без математики на ноги нам не стати                                                    Тож хай лунає лозунг наш крилатий                                                    Прогресу без прогресій не буває!

Девіз уроку“ПРОГРЕССИО – РУХ ВПЕРЕД”

Перевірка готовності до кейсу. Впізнати в лице

Види числовихпослідовностей. Арифметична прогресія. Геометрична прогресія. Послідовність ФібоначчіЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІstyle.colorfillcolorfill.type

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 1; 2; 3; 5;8;…4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;…6) –2; –2; – 2; – 2; …арифметична прогресія d = 3арифметична прогресія d = 0 та геометрична q = 1 геометрична прогресія q = 3последовність Фібоначчі геометрична прогресія q = 2последовність чисел

Ваш результат. Початковий або середній рівень ;Достатній рівень;Високий рівень. Червона картка;Жовта картка;Зелена картка;

Історія. Розгортка 1

Презентація з теми:« Історія відкриття прогресій» Виконали: Учениці 9- А класу. Поддубна Катерина. Діська Катерина

Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються у папірусах II тисячоліття до н.е. На зв’язок між прогресіями вперше звернув увагу великий. АРХІМЕД ( 287–212 рр. до н.е)Цікаво знати

л. Вивчаючи питання, ми дізналися, що термін «прогресія» запровадив римський вчений Боецій (VІ ст.. ), від лат. « рух уперед».  Боецій передав європейській цивілізації методи й базові знання найкращих грецьких авторів у сфері «математичних» наук , а саме прогресій.

Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на скільки третій одержав більше другого і т. д . У V ст. до н. е. греки знали слідуючі прогресії і їх суми: Древній Єгипет

Найдавніша задача на прогресію Сто мір хліба поділити між п'ятьма чоловіками так, що другий одержав на скільки більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий більше від третього, п'ятий від четвертого. Крім того, двоє перших повинні одержати у 7 раз менше від трьох інших. скільки треба дати кожному? 

Очевидно, кількість хліба, отриманого учасниками поділу, складає зростаючу арифметичну прогресію. Нехай перший член x, різниця y. Тоді: а1–Доля першого – x, а2–Доля другого – x+y, а3–Доля третього – x+2y, а4–Доля четвертого – x+3y, а5–Доля п’ятого – x+4у.

Правило для знаходження суми членів арифметичної прогресії дається у «Книзі абака» (1202 р.) італійського вченого-математика Леонардо Фібоначчі. Правило для суми скінченної геометричної прогресії зустрічається у книзі Н. Шюке «Наука про числа», яка побачила світ у 1484 році. Наука про числа. Цікаво знати

Англія XVIII ст. В XVIII ст. в англійських підручниках з’явилося позначення арифметичної та геометричної прогресії: Арифметическая Геометрическая

Усний рахунок. Гімнастика розуму

Усна робота1) Дано: (а n ) арифметична прогресія а1 = 5 d = 3 Найти: а6 ; а10.а n = а 1+( n -1) d а6 = а1 +5 d = 5+ 5 . 3 = 20 а10 = а1 +9 d = 5+ 9 . 3 = 32 Відповідь: 20; 32 Розв’язання

Усна робота. Дано: (b n ) геометрична прогресія b1= 5 q = 3 Найти: b3 ; b5. b n = b1 q n-1b3 =b1q2 = 5 . 32 =5 . 9=45 b5 =b1q4 = 5 . 34 =5 . 81=405 Відповідь:45; 405.

Усний рахунок3) Дано: (а n ) арифметична прогресія а4 = 11 d = 2 Знайти: а1 .а n= а 1+ ( n – 1) d а4 = а1 +3 d ; а1= а4 – 3 d =11 – 3 . 2 = 5 Віповідь: 5.

Усний рахунок4) Дано: (b n ) геометрична прогресія b4= 40 q = 2 Знайти: b1. b n = b1 q n-1b4 =b1q3 ; b1 = b4 : q3 =40:23 =40 :8=5 Відповідь: 5.

Ваш результат. Початковий або середній рівень ;Достатній рівень;Високий рівень. Червона картка;Жовта картка;Зелена картка;

Найвідоміші задачі з прогресіями. Виконали:учениці 9-А класу. Тригуб Анна, Клімова Анастасія, Купрієнко Діана

Мета: дослідити найвідоміші задачі в історії людства з прогресіями

Так, у вавилонських текстах розповідається про те, що збільшення освітленої частини місячного диска протягом перших п'яти днів відбувається за законом геометричної прогресії зі знаменником 2, у наступні 10 днів - за законом арифметичної прогресії з різницею 16.

Задача-легендаІндійсий цар Шерам позвав до себе винахідника шахматів, своего підданого Сету, щоб нагородити його за винахід. Сета, знущаясь над царем, став вимагати на першу клетинку шахматної доски 1 зерно, на другу — 2 зерна, на третю — 4 зерна і т. д. Царь зрадів над Сетой і наказав видати йому таку «скромну» нагороду. Чи повинен був сміятися царь? style.colorfillcolorfill.type

Легенда про шахи. Маємо геометричну прогресію (вn), в якій в1=1, в2=2, в3= 4…. q = 2. В шахівниці 64 клітинки. Тому S64= 18 446 744 073 709 551 615. (Вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот сорок чотири трильйони сімдесят три мільярди сімсот дев’ять мільйонів п’ятсот п’ятдесят одна тисяча шістсот п’ятнадцять)Якщо маса 1 зерна становить 0,065 г, то загальна маса пшениці на шахівниці становить 1,2 трильйонів тонн Таку кількість зернин можна зібрати з площі, яка приблизно у 2000 разів більша від площі усієї поверхні Землі.

Німеччина Карл Гаус першим знайшов моментально суму всіх натуральних чисел від 1 до 100, будучи ще учнем початкової школи. Рішення:1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ….. = 101 ∙ 50 = 5050

Магічний квадрат

Магічний квадрат. Цікава властивість арифметичної прогресіїІз кожних дев’яти послідовних членів будь-якої арифметичної прогресії натуральних чисел можна скласти магічний квадрат.

Магічний квадрат919571115173133, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Італійський купець і мандрівник , син міського писаря ,Леонардо із Пізи (1180-1240р.) , більш відомий під прізвищем Фібоначчі ,був одним із найвідоміших математиків середньовіччя. Леонардо Пізанський (Фібоначчі)

При розв’язуванні однієї задачі про можливість кількості народження кроликів від однієї пари через рік, він одержав ряд чисел:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…. Особливістю цієї послідовності чисел є те, що кожний її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх, а відношення сусідніх чисел ряду наближається до відношення золотого перерізу, який дуже хвилював голови того часу. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618

Істинне чи хибне твердження

1. В арифметичній прогресії 2,4; 2,6;… різниця дорівнює 2.2. Четвертий член арифметичної прогресії 0,3; 0,7; 1,1,… дорівнює 1,5style.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

3. 11-ий член арифметичної прогресії, для якої дорівнює 0,24. Перший член геометричної прогресії (bn), якщо b6 = 3, q = 3 дорівнює 81;

Ваш результат. Початковий або середній рівень ;Достатній рівень;Високий рівень. Червона картка;Жовта картка;Зелена картка;

Біологія. Хімія. Розгортка 3

Арифметичні та геометричні прогресії у медецині, біології, хімії. Виконали: Павленко Д, Штабна В, Налімова В.

Мета. Дослідити як застосовуються знання з теми прогресія в біології та хімії.

b15 = 2·214 = 32 768 Чисельність любого вида при відсутності обмежень росте в відповідності згеометричною прогресією; Крива роста чисельності називається експонентою. Літом інфузорії розмножуються безполим способом діленням пополам. Питання: скольки буде інфузорій після 15-го розмноження?

У сприятливих умовах бактерії розмножуються так, що протягом 15 сек одна з них ділиться на дві. Вкажіть кількість - бактерій, народжених однією бактерією за 7 хвилин?Розв’язання 15 сек = ¼ хвилини. N = 7 / ¼ = 28 Bn = B28 B28 = B1*q27 B28 = 1*227 B28 = 134217728 Відповідь: 134217728 бактерій

Інтенсивність розмноження бактерій використовується в…в харчової промисловості для виготовлення кисломолочних Продуктівпри квашении, заквасці та засолці.в фармацевтичні промисловості (для створення ліків та вакцин)в сільському господарстві: для Виготовлення силосу кормів для тваринв комунальном господарстві природоохороних заходах для очистки забрудненої води ліквідації Нафтових плям

Прогресії у хімії При підвищенні температури по арифметичній прогресії швидкість хімічних реакцій зростає в геометричній прогресії.

Біологічна задача Робота в парах

Ваш результат. Початковий або середній рівень ;Достатній рівень;Високий рівень. Червона картка;Жовта картка;Зелена картка;

Література. Розгортка 4

Арифметична прогресія в літературіУчениця 9-А класу. Купченкова Маргарита

Арифметичну прогресію можна зустріти в літературі. Згадаємо віршові розміри: ямб, хорей, амфібрахій. Відмінність між ними в кількості стоп і в різних розташуваннях наголошених складів вірша. Ямб – у слабо-тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на парних складах вірша, тобто наголошеними є 2-й, 4-й, 6-й, 8-й і т.д. склади. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію з первим членом 2 і з різницею, рівною 2: 2, 4, 6, 8, 10…

Ста/рі/ ду/би, спа/си/бі/ вам /за /о/сінь,за/ від/лі/та/ння ра/до/сті /і /птиць. Ще/, пев/но, я/ за/тур/ка/на не/ зов/сім,Що/ чу/ю шур/хіт/ кня/жих баг/ря/ниць. Ліна Костенко

Хорей – у слабо- тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на непарних складах вірша. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 2: 1, 3, 5, 7, 9… 

Дощ/ по/лив/, і /день/ та/кий/ по/ли/в’я/ний/,Все/ бли/щить/, і/ лю/ди/ як/ но/ві/. Лиш/ ді/док/ ста/ре/сень/кий/, кро/пи/в ’я/ний/,Блис/кав/ки/ ви/зби/ру/є/ в тра/ві/. Ліна Костенко

Хорей – у слабо- тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на непарних складах вірша. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 2: 1, 3, 5, 7, 9… 

Амфібрахій – у слабо- тонічному віршуванні трискладова сто-па з наголосом на другому (середньому) складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 2, а різниця дорівнює 3: 2, 5, 8,11…

Про/сві/че/ний/ сон/цем/, на/ віт/рі/, в зе/ле/нім/ ог/ні/Він/ лис/тя/ різьб/ле/не/, об/тя/же/не/ ро/са/ми/, су/шить/. Хай/ лом/лять/ся/ го/ри/, хай/ гро/зи/ ре/вуть/ в ви/ши/ні/,— Він/ тут/ вко/рі/нив/ся/, він/ тут/ ук/рі/пив/ся/ й не/ ру/шить…М. Бажан «На Карпатських узгір'ях»

ДПА,ПРОГРЕСІЇ ТА ВІДСОТКИЯку суму поклали в банк під прості відсотки за ставкою 22% річних, якщо через п’ять років вклад досягнув величини грн.? На скільки гривень збільшився вклад за п’ять років?

ДПА,ПРОГРЕСІЇ ТА ВІДСОТКИР о з в ‘я з о к В нашому випадку р = 22, п = 5, S= 94500. З прикладу (2) підрахуємо . Підставимо сюди задані значення і отримаємо (грн.). За п’ять років вклад збільшився на (грн.).

Ваш результат. Початковий або середній рівень ;Достатній рівень;Високий рівень. Червона картка;Жовта картка;Зелена картка;

Робота в групах

Задача №2 Потяг пройшов за першу хвилину 620м, а за кожну наступну хвилину – на 80м менше, ніж попередню. Яку відстань пройшов потяг за восьму хвилину?

Розв’язанняa1=620, d=-80 Sn=((2a1+d(n-1)):2)*n. S8=((2*620-80(8-1)):2)*8=(1240-560)*4 S8=2720 Відповідь:2720м пройшов потяг за восьму хвилину.

Ваш результат. Початковий або середній рівень ;Достатній рівень;Високий рівень. Червона картка;Жовта картка;Зелена картка;

Рефлексія. Притча Плутарха

Притча Плутарха. У Плутарха есть известная притча о работниках, которые везли тачки с камнями. Работников было трое. К ним подошёл человек и задал каждому и них один и тот же вопрос: «Чем ты занимаешься?» Ответ первого был таков: «Везу эту проклятую тачку». По иному ответил второй: «Зарабатываю себе на хлеб». Третий воодушевлённо провозгласил: «Строю прекрасный храм!»Все они выполняли одну и ту же работу, но думали о ней, а, следовательно,  и выполняли её по-разному. Поэтому, прежде всего, необходимо осознание школьниками полезности своего учебного труда, осознание мотивов своей деятельности.

Рефлексія. Ким ви сьогодні себе відчували на уроці?Якщо тягнули важкий математичний візок, то підніміть червону картку. Якщо ви добували собі знання ,то підніміть жовту картку. Якщо будували чудовий храм науки, то підніміть зелену картку.

Чи можливий прогрес без математики?Прогресу без прогресій не буває!

Дякую 9-А за плідну співпрацю