28 вересня о 18:00Вебінар: Формування навичок розв'язування задач із хімії засобами дистанційного навчання

Компланарність векторів. Розкладання вектора за трьома некомпланарними векторами

Про матеріал
У даному документі ви знайдете короткий вступ до теми: "Компланарність векторів. Розкладання вектора за трьома некомпланарними векторами" та декілька задач на дану тему.
Перегляд файлу

Класна робота

Урок на тему: «Одиничний вектор. Розклад вектора за трьома некомпланарними векторами»

Вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній або паралельних площинах.

 

З цього слідує, що на площині (2D) всі вектори компланарні між собою. Що стосується тримірного простору (3D), то таке твердження не завжди вірне.

В тримірному просторі компланарними будуть кожні два вектори, оскільки через них можна провести паралельні площини.

Якщо маємо більше векторів, то для перевірки використовують необхідну і достатню умову компланарності трьох векторів у просторі.

Ознака компланарності трьох векторів

Якщо вектор можна подати у вигляді 𝑐⃗ = 𝑥𝑎⃗ + 𝑦𝑏⃗⃗, де х і у – деякі числа, то вектори

𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗– компланарні.

Розкладання вектора за трьома некомпланарними векторами

Якщо вектори 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ некомпланарні, то будь-який вектор 𝑑⃗можна подати у вигляді 

𝑑⃗ = 𝑥𝑎⃗ + 𝑦𝑏⃗⃗ + 𝑧𝑐⃗ , де х, у і z – деякі числа, причому такий розклад єдиний.

Координатні вектори (орти)

Одиничні вектори ⃗𝑒⃗⃗1⃗ = (1; 0; 0), 𝑒⃗⃗⃗2⃗ = (0; 1; 0), 𝑒⃗⃗⃗3⃗ = (0; 0; 1),співнапрямлені з осями координат, називають координатними векторами, або ортами.

𝑚⃗⃗⃗ = 𝑎⃗𝑒⃗⃗1⃗ + 𝑏𝑒⃗⃗⃗2⃗ + 𝑐𝑒⃗⃗⃗3

Розкладання вектора за координатними векторами 

Будь-який вектор 𝑎⃗ = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3)можна подати у вигляді 𝑎⃗ = 𝑎1⃗𝑒⃗⃗1⃗ + 𝑎2𝑒⃗⃗⃗2⃗ + 𝑎3𝑒⃗⃗⃗3.

№ 1

Серед векторів 𝑎⃗ укажіть одиничні вектори.

Одиничними називають ті вектори, довжина (модуль) яких рівний 1.

|𝑎⃗| = √𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32

В даному завданні одиничними векторами є лише вектор 𝑐⃗ і 𝑑⃗, тому що:

            |𝑐⃗|  ;          |𝑑⃗| .

№ 2

Знайдіть координати одиничного вектора, який співнапрямлений з вектором:

1) 𝑎⃗(−3; 4; 0); 2) 𝑏⃗⃗(2; −3; −6); 3) 𝑐⃗(𝑘; 𝑚; 𝑝).

Розв’язання

1)  𝑎⃗(−3; 4; 0);             |𝑎⃗| ;        𝑒⃗⃗⃗1⃗ = (−  ;  ; 0);

2)  𝑏⃗⃗(2; −3; −6);         |𝑏⃗⃗| ;      𝑒⃗⃗⃗2⃗ = ( ; −  ; − );

3)  𝑐⃗(𝑘; 𝑚; 𝑝); |𝑐⃗| = √𝑘2 + 𝑚2 + 𝑝2 ; 𝑒⃗⃗ 2 𝑘2 2            2 𝑚2 2          2 𝑝2 2 .

√𝑘 +𝑚 +𝑝 √𝑘 +𝑚 +𝑝 √𝑘 +𝑚 +𝑝

№ 3

Дано одиничні вектори ⃗𝑒⃗⃗1⃗ = (1; 0; 0), 𝑒⃗⃗⃗2⃗ = (0; 1; 0), 𝑒⃗⃗⃗3⃗ = (0; 0; 1). Знайдіть координати векторів: 1) 5⃗𝑒⃗⃗1⃗ + 3𝑒⃗⃗⃗2⃗ − 2𝑒⃗⃗⃗3; 2) 4⃗𝑒⃗⃗1⃗ + 5⃗𝑒⃗⃗3;  3) 𝑚⃗𝑒⃗⃗1⃗ − 𝑛𝑒⃗⃗⃗2⃗ + 𝑘𝑒⃗⃗⃗3⃗ .

Розв’язання

1)  𝑎⃗ = 5⃗𝑒⃗⃗1⃗ + 3⃗𝑒⃗⃗2⃗ − 2𝑒⃗⃗⃗3⃗ = 5(1; 0; 0) + 3(0; 1; 0) − 2(0; 0; 1) = 𝑎⃗(5; 3; −2);

2)  𝑏⃗⃗ = 4⃗𝑒⃗⃗1⃗ + 5⃗𝑒⃗⃗3⃗ = 𝑏⃗⃗(4; 0; 5);

3)  𝑐⃗ = 𝑚⃗𝑒⃗⃗1⃗ − 𝑛𝑒⃗⃗⃗2⃗ + 𝑘𝑒⃗⃗⃗3⃗ = 𝑐⃗(𝑚; −𝑛; 𝑘) .

№4

Розкладіть вектор 𝑚⃗⃗⃗(5; −17; 11)за векторами 𝑎⃗(3; −2; 0), 𝑏⃗⃗(−2; 4; 1)і 𝑐⃗(−1; −3; 4). Розв’язання

Будь-який вектор можна розкласти за векторами 𝑎⃗(3; −2; 0), 𝑏⃗⃗(−2; 4; 1)і 𝑐⃗(−1; −3; 4).

Отже, 𝑚⃗⃗⃗ = 𝜆𝑎⃗ + 𝜇𝑏⃗⃗ + 𝜐𝑐⃗ . Знайдемо 𝜆; 𝜇 і 𝜐 склавши систему рівнянь:

3𝜆 − 2𝜇 − 𝜐 = 5; {−2𝜆 + 4𝜇 − 3𝜐 = −17; 0𝜆 + 𝜇 + 4𝜐 = 11.

Розв’яжемо цю систему рівнянь.

𝜇 + 4𝜐 = 11; 𝜇 = 11 − 4𝜐.

                      3𝜆 − 2(11 − 4𝜐) − 𝜐 = 5;                    3𝜆 − 22 + 8𝜐 − 𝜐 = 5;

             {                                                           {

               −2𝜆 + 4(11 − 4𝜐) − 3𝜐 = −17;        −2𝜆 + 44 − 16𝜐 − 3𝜐 = −17;

            {       3𝜆 + 7𝜐 = 27;  ∙2    +{        6𝜆 + 14𝜐 = 54;   

                    −2𝜆 − 19𝜐 = −61;∙3          −6𝜆 − 57𝜐 = −183;

                                                 

−43𝜐 = −129;

                                                 

                   𝝊 = 𝟑:

3𝜆 + 21 = 27; 3𝜆 = 6; 𝝀 = 𝟐;

𝜇 = 11 − 12 = −1, 𝝁 = −𝟏 отже, 𝑚⃗⃗⃗ = 2𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ + 3𝑐⃗ .

 

pdf
Додано
16 квітня
Переглядів
395
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку