Комплексні числа теоретичний матеріал

Комплексні числа

Число, квадрат якого дорівнює -1 називається уявною одиницею і позначається   і.  

Числа, які мають вигляд bi, де b – дійсне число, називають уявними числами.

Комплексним числом називається число вигляду , де , при цьому “a” – називається дійсною частиною, а  “b” – уявною.

Комплексною числовою площиною називають площину, точки якої зображають комплексні числа.

Алгебраїчною формою запису комплексного числа називається запис комплексного числа у вигляді .

Протилежними називаються два комплексні числа та , сума яких дорівнює 0.

Комплексно спряженими  називаються два комплексні числа a+bi та a-bi.

Модулем комплексного числа називається довжина радіус-вектора          .

Дійсною віссю називають вісь абсцис.   

Уявною віссю називають вісь ординат.

Аргументом комплексного числа називається число , що зображує кут, на який треба повернути додатній напрямок осі , щоб він співпав з напрямком радіус-вектора, вважаючи цей кут додатнім, якщо обертання здійснюється проти часової стрілки, а від’ємним – в протилежному випадку (позначається через ).

Для обчислення аргументів зручно користуватися такими формулами:

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число , дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах доданків, тобто .

Різницею двох комплексних чисел і ми називаємо число , що задовольняє рівності .

Добутком комплексних чисел і називається комплексне число .

Часткою комплексних чисел та називається таке комплексне число , яке при множенні на дає .

Тригонометричною називається форма комплексного числа

, 

Помножити два комплексні числа в тригонометричній формі означає, що необхідно їх модулі перемножити, а аргументи додати.

Розділити два комплексні числа в тригонометричній формі означає, що необхідно модулі їх розділити, а аргументи відняти.

Піднесення до степеня комплексного числа у тригонометричній формі: перша формула Муавра

.

Показникова форма комплексного числа:   ,   ().

При множенні комплексних чисел у показниковій формі їхні модулі перемножуються, а аргументи додаються.

Модуль частки двох комплексних чисел у показниковій формі дорівнює частці їх модулів, а аргумент — різниці їх аргументів.

При піднесенні комплексного числа в показниковій формі до степеня модуль його підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня.

Вправи для самостійного розв’язання

1. Записати дійсні та уявні частини комплексного числа:

2. Чи є числа та ; та ; та ; та спряженими? Чому?

3. Знайдіть комплексні числа, спряжені з даними:

4. За умовою рівності комплексних чисел визначити дійсні і :

5. Виконати додавання комплексних чисел:

6. Виконати віднімання комплексних чисел:

7. Виконати множення комплексних чисел:

 8. Обчислити добуток спряжених комплексних чисел:

9. Знайти частку комплексних чисел:

10. Піднести до степеня двочлени:

11. Виконати дії:

12. Побудувати геометричне зображення чисел:

13. Знайти модулі даних комплексних чисел: