Конспект для учня 10 класу з алгебри на тему "Застосування похідної"

Конспект учня 10 класу з алгебри на тему: Застосування похідної

Застосування похідної в геометрії пов’язане із задачею про дотичну до кривої в певній точці. Характерною властивістю будь-якої кривої є її напрям, який змінюється від точки до точки. Цей напрям характеризується напрямом дотичної до кривої в цій точці.

Щоб провести дотичну до кривої в точці , досить знайти кутовий коефіцієнт дотичної, тобто тангенс кута між дотичною і додатним напрямом осі , що є похідною функції в точці . Дотична до графіка диференційованої в точці функції ‑ це пряма, що проходить через точку і має кутовий коефіцієнт .

Отже, існування похідної функції в точці рівносильне існуванню дотичної (не вертикальної) у даній точці графіка, кутовий коефіцієнт якої дорівнює . Це і є геометричний зміст похідної.

Приклад 1. Пряма паралельна дотичній до графіка функції . Знайти координати точки дотику.

Розв’язання.

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції дорівнює:

.

Якщо пряма паралельна дотичній до графіка функції , то її кутовий коефіцієнт дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто має місце рівність , звідки , , розв’язками є ,              .

Знайдемо ординати точок дотику:

,

.

Відповідь. , .

Похідна у фізиці та техніці

Похідна – це швидкість зміни функції. Нехай матеріальна точка рухається вздовж координатної прямої за законом . Тоді похідна від координати за часом у даний момент є швидкістю руху в цей момент часу. У цьому й полягає її механічний зміст.

Приклад 2. Точка рухається прямолінійно по закону (S – шлях в метрах, t – час в секундах). Знайдіть швидкість точки: а) в довільний момент ; б) в момент часу .

Розв’язання.

а) 1) Нехай значення аргумента одержало приріст , тоді .

 2) Знайдемо відповідний приріст шляху

 3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (середню швидкість):

.

 4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приросту часу (середньої швидкості):

.

 Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу дорівнює .

Отже, при заданому законі руху миттєва швидкість в довільний момент часу обчислюється по формулі .

б) Якщо , то маємо (м/с).

Відповідь: а) ; б) 21 м/с.

Застосування похідної до дослідження функції

Умова існування екстремуму в точці така:

Якщо в критичній точці похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», то ‑ точка максимуму, а якщо змінює знак з «мінуса» на «плюс», то є точкою мінімуму.

Приклад 3. Дослідити функцію та побудувати її графік

Відповідь. Графік функції:

Виконайте самостійно дане завдання:

Приклад 4. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Відповідm. Графік функції:

Приклад 5. Серед прямокутників, вписаних у коло, знайти прямокутник найбільшої площі.

Розв’язання

Нехай сторони даного прямокутника дорівнюють і , а діаметр кола – . За теоремою Піфагора маємо: , .

Площа прямокутника дорівнює: , де .

Знайдемо найбільше значення функції на відрізку :

1) .

2) , якщо

,

,

,

.

3) ,

,

.

Отже, для функція набуває найбільшого значення, що дорівнює .

Тому шуканий прямокутник є квадратом зі стороною .

Відповідь. Квадрат зі стороною .