Конспект факультативного заняття "Магічні фігури. Магічні квадрати"
Конспект факультативного заняття "Магічні фігури. Магічні квадрати". Мета заняття. Познайомити учнів з видами, властивостями та методами створення «магічних квадратів», навчити будувати найпростіші «магічні квадрати», застосовуючи метод Баше, а також методи симетрії та поворотів.
1
Тема заняття: «Магічні фігури. Магічні квадрати.»
Мета заняття. Познайомити учнів з видами, властивостями та методами створення «магічних квадратів», навчити будувати найпростіші «магічні квадрати», застосовуючи метод Баше, а також методи симетрії та поворотів. Розвивати логічне мислення, пам’ять, естетичний смак, увагу і любов до математики.
Хід уроку
І. Організаційний момент.
ІІ. Історична довідка.
Числа настільки увійшли в життя людини, що їм почали приписувати різні магічні властивості. Так досі багато хто не полюбляє числа13, а число 666 називають «звіриним числом», що, мовляв, приносить нещастя; щасливим вважають, наприклад, досконалі числа *.
Під час археологічних розкопок у Китаї та Індії були знайдені квадратні амулети 9-го ст.н.е. Квадрат поділений на дев’ять клітинок, у кожній з яких написано по одному числу від 1 до 9. Дивовижно, що суми чисел у кожному рядкові, у кожному стовпці і по кожній з двох діагоналей дорівнювали одному й тому самому числу 15.
Сьогодні я пропоную вам зазирнути у світ магічних фігур і, зокрема, магічних квадратів. А, якщо подорож ця вам сподобається, то ніщо не завадить нам ще і ще раз повернутись у цю магічну країну.
Тема сьогоднішнього заняття «Магічні фігури. Магічні квадрати.»
1 В Європу магічний квадрат проник завдяки одному греку на ім’я
Москопулос, який жив на початку 15 ст.
2 То, який же він цей магічний квадрат? Подивіться на слайд і
підрахуйте суми чисел у рядках, стовпцях і по діагоналях. Ви
отримали 15.
В середні віки магічні квадрати були вельми популярними. Одним і
3 найдавніших у Європі можна без ввагань назвати той, який
відтворений на одному із шедеврів Альбрехта Дюрера на гравюрі
«Меланхолія».
А.Дюрер був не лише талановитим художником але й доброю,
4 чесною, працелюбною людиною.
Достаньо подивитись на той спадок, який він залишив після себе.
- кілька десятків картин;
- більше 100 гравюр;
- близько 250 ксилографій;
- багато сотень малюнків;
Теоретичні роботи:
- “Керівництво по вимірюванню циркулем і лінійкою” (1525р.);
- “Настанови по зміцненню міст, замків і фортець” (1527р.);
- “Чотири книги про пропорції людини” (1528р.)
Про те, що художника любили і поважали за життя свідчить
5 епітафія, написана його учнями на могилі митця:
“Вірність, любов, чистота, простота, доброчинність і віра,
Розум, мистецтво, талант сховались під цим пагорбом”
Але повернемось до магічного квадрата, зображеного на гравюрі. Порахуйте суми чисел кожного рядка, стовпця та обох діагоналей. Вони
дорівнюють 34.
Крім того, цікаво, що два числа в середині нижнього рядка позначають рік написання картини – 1514р.
ІІІ. Утворення магічних квадратів
Одержання магічних квадратів було популярною розвагою серед математиків; створювалися величезні квадрати, наприклад, 43×43, який містив числа від 1 до 1849; такі квадрати мали, крім згаданих властивостей, ще й багато додаткових.
Були придумані способи побудови магічних квадратів будь-якого розміру, однак досі не знайдена формула, за якою можна було б віднайти кількість магічних квадратів даного розміру.
Відомо, що магічних квадратів 2×2 не існує.
6 3×3 – лише один – решта таких квадратів виходять з нього
поворотами та симетріями. (Коментарі до слайда).
Магічних квадратів 4×4 вже 880,
а 5×5 – близько чверті мільйона.
ІV. Види магічних фігур
Магічні фігури поділяються на плоскі і просторові: існують
7 магічні квадрати, трикутники, прямокутники, многокутники, круги
і куби.
Квадрати поділяються на парні і непарні (залежно від числа клітинок вздовж його сторін), магічні звичайні і над магічні (з особливими властивостями, залежно від розміщення чисел у квадраті).
V. Властивості магічних квадратів
Магічний квадрат залишиться магічним, якщо всі числа, які є в ньому,
8 – збільшити або зменшити на одне і те ж число.
– помножити або поділити всі його числа на одне і те ж число.
Коментар до слайда 8.
В І квадраті магічна сума дорівнює15;
в ІІ квадраті ми додали по 10 до кожного числа, і чарівна сума буде 15+3×10=45; ІІІ квадрат ми отримали в результаті додавання двох перших квадратів, сума вийшла 15+45 = 60;
останній квадрат отримали, перемноживши всі члени ІІ квадрата на 2, сума вийшла 45×2 = 90.
Із усіх цих правил можна отримати важливу практичну вказівку:
складаючи будь-який магічний квадрат, достатньо спочатку скласти його з найпростіших чисел (чисел натурального ряду: 1,2,3,4,5,…), а потім шляхом множення, ділення, додавання і віднімання цих чисел можна отримати нескінченну кількість магічних квадратів із найрізноманітнішими сумами.
Іншою найважливішою особливістю магічних квадратів є те, що з двох квадратів ми можемо отримати третій, додаючи числа, розміщені у відповідних клітинках.
Квадрат не втратить своїх магічних властивостей, якщо переставити його стовпці або рядки, розміщені симетрично відносно центра квадрата.
VІ. Інші методи побудови магічних квадратів
Існує дуже багато різних методів побудови магічних квадратів.
9 Один із най красивіших і най простіших – це метод Баше.
Названий на честь французького математика, який запропонував його ще у 17 ст.
Коментар до слайда 9.
Спосіб полягає ось у чому: накреслимо квадрат 3×3.
Пишемо по порядку числа від 1 до 9, розміщуючи їх навскоси по 3 в ряд.
Числа, які стоять зовні квадрата, вписуємо всередину до протилежних сторін (вони повинні зберігатись у тих же рядках і стовпцях, що й раніше).
Застосуємо правило Баше до створення квадрата 5×5 (Практичне завдання).
VІІ. Судоку
Виступ учениці.
Судоку
Судоку – базована на логіці головоломка-пазл з числами.
В перекладі з японської мови «су» означає «число», «доку» має безліч різних перекладів, але в цілому означає щось одне, одиничне, цілісне. Оригінальну назву головоломки японською дуже важко вимовити, і для англійців його довелося скоротити до «Sudoku».
Розв’язання головоломки не вимагає математичних розрахунків, але потребує терпіння і здатності до логічного мислення. За деякими даними розв’язування головоломок Судоку поліпшує пам’ять, мислення, а також перешкоджає розвитку і, навіть, лікує захворювання, пов’язані з головним мозком.
Трохи історії.
Прообраз сучасного Судоку, так звані, «магічні квадрати» знали ще в стародавньому Китаї. В Європі згадується щось подібне у 18ст., коли сліпий швейцарський математик Леонард Ейлер з’ясував, що в матриці (квадраті) розміром 9×9 кожен ряд і кожну колонку можна заповнити цифрами від 1 до 9 в певному порядку і без повторення.
Вперше Судоку в сучасному вигляді з’явилась в одному з американських журналів пазлів у 1979 році. Автором головоломки був громадянин США, 74-річний архітектор на пенсії Говард Гарнс. Журнал-видавець дав пазлу ім’я «Number Place», яке яке і до цього часу використовується у США. Справжню популярність головоломка завоювала в 2005, коли японський журнал «Nikoli» став регулярно друкувати її на своїх сторінках.
У 2004 Судоку почали друкувати англійські газети, звідки судоку-манія перекинулася на Європу і до Австралії. Нарешті, в 2005 ця головоломка тріумфально повернулася у США, завершивши свій «кругосвітній тур».
В даний час видається безліч спеціалізованих журналів і збірок, книг і інструкцій по їх розв’язанню. Багато газет друкують Судоку разом з кросвордами і завданнями для шахів.
Правила
Ігрове поле складається з квадрата розміром 9×9, розділеного на менші квадрати (їх називають «регіони») із стороною 3×3 клітинки. Таким чином, все поле налічує 81 клітинку. У деяких з них вже на початку гри розташовані цифри (від 1 до 9). Залежно від того, скільки клітинок вже заповнено, судоку можна віднести до легких або складних.
Мета головоломки – необхідно заповнити вільні клітинки цифрами від 1 до 9 так, щоб в кожному рядку, кожному стовпці і в кожному малому квадраті 3×3, кожна цифра зустрічалася лише один раз. Правильна головоломка має лише один розв’язок.
Математична основа
Кількість можливих комбінацій в судоку 9×9 складає за розрахунками Бертхама Фельгенхауера 6 670 903 752 021 072 936 960.
VІІІ. Комп’ютерна гра «Комп’ютер вгадує число»
|
1. Задумайте будь-яке двоцифрове число. 2. Відніміть від нього його цифри (наприклад, від числа 54 відняти 5 и 4, вийде 45). 3. Знайдіть це число в таблиці і символ, якому воно відповідає. 4. Уявіть собі цей символ. 5. Клацніть по квадрату.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Коментар: Число, яке отримуємо при відніманні завжди буде кратне 9, тобто потрапить на лінію 9-18-27-36-45-54-63-72-81-90, а по цій лінії всі фігури однакові і завжди висвічуються у квадраті.
IX. Підсумок заняття
Закінчилось заняття.
Я прагнула відкрити перед вами невідому сторінку древньої науки математики.
Хотіла показати, як тісно зв’язана вона з мистецтвом.
Я ставила своїм завданням навчити вас чогось зовсім невідомого.
Думаю, що мені це вдалось.
Принаймні, спогади будуть, а, отже, буде – продовження.
Додаток:
|
|
|
|
9 |
5 |
|
1 |
8 |
2 |
|
7 |
1 |
2 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
8 |
3 |
|
|
4 |
6 |
7 |
|
|
6 |
|
2 |
9 |
4 |
|
3 |
|
|
8 |
2 |
3 |
|
|
|
9 |
7 |
4 |
|
|
5 |
|
7 |
8 |
3 |
|
2 |
|
|
9 |
7 |
4 |
|
|
2 |
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
9 |
2 |
5 |
3 |
|
2 |
3 |
5 |
|
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
5 |
|
1 |
8 |
2 |
|
7 |
1 |
2 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
8 |
3 |
|
|
4 |
6 |
7 |
|
|
6 |
|
2 |
9 |
4 |
|
3 |
|
|
8 |
2 |
3 |
|
|
|
9 |
7 |
4 |
|
|
5 |
|
7 |
8 |
3 |
|
2 |
|
|
9 |
7 |
4 |
|
|
2 |
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
9 |
2 |
5 |
3 |
|
2 |
3 |
5 |
|
1 |
8 |
|
|
|
про публікацію авторської розробки
Додати розробку