Конспект+презентація

Алгебра 9 кл.

Тема. Арифметична і геометрична прогресія  навколо нас.

Тип уроку: урок-семінар.

Обладнання. Таблиці, дидактичний матеріал, портрети видатних математиків, комп'ютер, презентація , роздатковий матеріал.

Девіз:                                                          Математика цікава тоді,

                                                         коли живить нашу винахідливість

                                                        і здатність міркувати.

                                                                                             Д. Пойа.

І. Організаційний етап.

Організація уваги учнів. Перевірка готовності классу до заняття.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Учні пояснюють домашні задачі.

ІІІ. Оголошення теми та мети уроку. На попередніх уроках ми  ознайомилися з прогресіями, з їхніми властивостями і формулами знаходження п-го члена, суми п-перших членів, , розглянули задачі  на знаходження будь якого члена, номера члена прогресії . Сьогодні  перед нами стоїть задача:

• повторити все, що вивчили;
• пригадати те, що забули;
• вміло застосовувати отримані знання до розв’язування  прикладних задач.

Незважаючи на те, що попереду у нас велика пізнавальна робота, я сподіваюсь, що ми зможемо зберегти гарний настрій до кінця уроку, а якщо вдасться, то ще його й покращимо.

Але перш, ніж ми почнемо я прошу звернути вашу увагу на «Пам’ятку для учнів». Ознайомтесь, будь-ласка, із запропонованими вам рекомендаціями. Якщо ви будете слідувати їм, то я впевнена, що сьогодні на уроці ви обов’язково виконаєте всі завдання тільки на високому рівні.

                                                                       Справжній скарб для людини – вміння    трудитися.  

                                                                                                                                                        Езоп

                                        Пам’ятка для учнів.

1. Будь уважним.
2. Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.
3. Шукай нові способи розв’язування проблеми.
4. Самостійно встановлюй зв’язки відомого з невідомим.
5. Будь наполегливим і не бійся помилитися.
6. Експериментуй та виправляй невдалі спроби.
7. Будь упевнений у своїх здібностях.

Тож давайте познайомимося з планом маршруту нашого уроку.

Маршрутний лист

Цей лист вказує кроки уроку та їх оцінка. Тому ви самі фіксуєте свої бали а в кінці уроку підібʼємо підсумки.

ІV.  Мотивація навчальної діяльності.

Математика застосовується абсолютно скрізь. Зараз математика застосовується не тільки в астрономії, механіці, фізиці, хімії і техніці, де вона застосовувалася і раніше, але також – у біології, в історії, літературі.. Математики передбачають погоду, обчислюють орбіти штучних супутників, курси кораблів, перекладають наукові тексти з однієї мови на іншу.

Знання стають міцнішими, якщо вони застосовуються у практичній діяльності.

Тому проведемо урок практичного застосування знань, що ви отримали під час вивчення теми « Прогресії» і ви дізнаєтеся як можна застосувати знання даної теми в житті.

ІV.  Актуалізація знань, умінь та навичок.

1. Теоретичний бліц-турнір.

    Учитель зачитує запитання, учні відразу відповідають. Неправильні відповіді виправляють самі учні (і лише за необхідності – вчитель). За правильні відповіді учні виставляють у мар     шрутний лист кількість набраних балів.

Перелік запитань

1.Яка послідовність   називається   АП ?

2. Як знайти число d ?

3 . Яка послідовність називається ГП ?

4.Як знайти   число g ?

5. Якою є АП , якщо  d>0 ,     d <0,  d=0  ?

6. Якою буде ГП , якщо  g>1,  g <1   ,  g =1  ?

7.За якою формулою можна знайти будь- який член АП ?

8.За якою формулою можна знайти будь- який член ГП ?

9.Яка є властивість трьох послідовних членів АП ?

10 .За якою формулою можна знайти суму n-перших членів  АП ?

11. За якою формулою можна знайти суму n-перших членів  ГП ?

       12.Що можна знайти в АП знаючи d  і а₁ ?

Другий крок «Тестові завдання»  за даними.

2.Тестові завдання

1. Яка серед даних послідовностей є арифметичною прогресією?

А),                         Б) 2,3 4

В) 1; 5; 9;17;…                         Г) 1/2, 1/9,8/5,…

     2. Різницею якої арифметичної прогресії є число2,5?

 А) 2,5; 3,5; 4,5; …                             Б) 3,5; 1; -1,5;…

 В)  -3; -0,5; 2;…                                 Г) 2,5; 1,5; 0,5;…

    3. Послідовність (у_п) – арифметична прогресія. Якщо у₁= 3, у₄= 3 - 3, то чому дорівнює різниця цієї арифметичної прогресії?

 А) 3;                                            Б) - ;

 В)  -   ;                                        Г) 2.

    4.     Для арифметичної прогресії (х_п): 4; 7; 10; 13;…, знайдіть   n – й член.

 А) (х_п) = 5 n – 1;                              Б) (х_п) =  n + 3;

 В) (х_п) = 3 n + 1;                              Г)  (х_п) = n² +3.

5.Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?

А) 2; 6; 18; 36;                                    В) 4; 8; 16; 32;

Б) 80; 40; 20; 5;                                   Г)2; -10; 50; 250.

6.Знайдіть знаменник геометричної прогресії  (bn), якщо b6 = 14 / 15    

    b7 =2 /3.

А) 3/7;                   Б) 5/7;                В) 7/5;              Г) 7/3.

7.Знайдіть перший член  геометричної прогресії, якщо її другий член      b2 =12, знаменник q = -3.

А) 4;                     Б) -4;                  В) 36;               Г) -36.

8.Знайти невідомий член геометричної прогресії: 3;  х; 27; 81.

А)9;                      Б) 9;                   В)3;                 Г) 343.

Відповіді.

1. А   ,   2. В ,   3.В  ,  4.В ,   5.  В  ,   6.Б  ,   7.В  ,   8.Б

 3.Метод «Спіймай помилку».

1.   а_n+1= а_n+d  

2.   а_n= а₁+(n+1)d

3     b_n-1=b_n :g

4

5.      b_n=b₁ gⁿ⁺¹

6. S_n

ПЕРЕВІРКА .  ПОМИЛКА : 2 , 5, 6

V. Застосування знань, закріплення вмінь і навичок при розв’язуванні задач.

2. Історичні дослідження учнів.

1  Зародження прогресій.

1.Перші задачі на прогресії , які до нас дійшли , пов’язані з життєвими проблемами людини.

Найдавнішою задачею , пов’язаною з прогресіями , вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса:

Задача.    Нехай тобі сказали розділити десять мір ячменю  між 10 чоловіками так, щоб різниця між кожним  чоловіком і його сусідом становила 1/8 міри ячменю.

2.     Задача із папірусу Рінд. 

Є 7 будинків , в кожному будинку по 7 котів, кожен кіт зїдає 7 мишей, кожна миша зїдає по 7 колосків ячменю , кожен колосок , якщо посієш зерно з нього дає 7 мір ячменю.

Знайти суму загального числа будинків, котів, мишей, колосків і мір.

У клинописних табличках вавилонян, які і в єгипетських папірусах , які належать ІІ тисячоліття до нашої ери зустрічаються приклади арифметичної і геометричної прогресії.

                З однієї клинописної таблички   можна зробити висновок, що спостерігаючи за Місяцем,вавилоняни дійшли висновку.

За 5 днів після нового місяця зростання Місячного диску відбувається за законом геометричної  прогресії із знаменником 2.

  3.  У Стародавній Греції в часи Евкліда і Архімеда   «Начала»  (ІІІ ст. .до н.е.) властивості прогресій розглядалися з теоретичними дослідженнями. Так  у цій книзі подається формула суми трьох членів  геометричної прогресії .

В VIII ст.. в англійських підручниках зявилися позначення арифметичної і геометричної прогресії.

 Зустрічаються прогресії і в російських математичних рукописах ХV-XVII століть.

 Ось одна з таких задач .

« Було 40 міст, а в кожному місті по 40 вулиць, а на кожній вулиці по 40 домів, а в кожному домі по 40 стовпів , а на кожному стовпі по 40 кілець , а біля кожного кільця по 40 коней , а біля кожного коня по 40 чоловік, а в кожного чоловіка по 40 батогів. Чи багато їх всього?»

Значна кількість задач на прогресії міститьсЯ в чудовій пам’ятці математичної літератури початку ХVІІІ ст. “Арифметиці « Л.П.Магніцького.

Наприклад задача.

« Дехто продав коня за  156 рублів . Але покупець повернув товар вважаючи , що ціна завелика . Тоді продавець запропонував йому купити лише цвяхи до підкови коня. В кожній підкові по 6 цвяхів . За І цвях- 1/4 копійки, за ІІ цвях -1/2 копійки , За ІІІ цвях -1 копійку і т.д.

Покупець вирішив , що при таких підрахунках він заплатить за коня не більше , як 10 рублів.

Підрахувавши , скільки йому потрібно заплатити за  24 цвяха , тобто знайти суму 24 перших членів геометричної прогресії ми зрозуміємо наскільки більше заплатив жадібний покупець ця сума майже 42 тисячі рублів.

Ми установили , що самі по собі прогресії відомі  так давно, що неможна говорити про те , хто їх відкрив.

3  Практика.

Фізика.

При вільнім падінні тіло проходить у першу секунду 4,9 м, а в кожну наступну на 7,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо вільно падаюче тіло досягло її дна через 5с з  початку падіння.

Розвязання.

Будівельники.

Робітник виклав плитку в такий спосіб: у першому ряді - 3 плитки, у другому    5 плиток і т.д., збільшуючи кожний ряд на 2 плитки. Скільки плиток знадобитися для 7 ряду?

Розвязання.

Історики.

В 1689 році на Плещеєвому озері було побудовано перший російський корабель епохи Петра І. У наступні роки російські умільці продовжували будувати кораблі,при цьому кожен наступний рік було збудовано на 13 кораблів більше ніж за попередній. Скільки кораблів брало участь в параді першої російської в кінці 1692 року?

Розвязання.

Торговець .Задача 4. У газеті, що була видана у 1914р., описувалася справа, яка відбулася у місті Новочеркаську, про продаж отари, що має 20 овець, за такими умовами: за першу вівцю слід заплатити 1 к., за другу - 2 к., за третю - 4 к. і т. д. У яку суму обійдеться вся отара?

Розв'язання:

1; 2; 4; 8;... - геометрична прогресія,

.

=1084575=11000 (крб.).

Фінансисти.

Задача . Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов'язані заплатити фірмі 1к, за другий - 2к, за третій - 4к. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір не менш ніж на 20 днів за таких умов?

Розв'язання:

Від фірми отримуємо - 2000 грн, а повинні будемо заплатити за це суму, що дорівнює 8го для геометричної прогресії, де . Тобто:

1048575(коп.)=10485грн. 75к

Вчитель робить зауваження, що в сучасних ринкових умовах учні повинні бути компетентними у фінансових питаннях, і тому освіченість особистості, як ніколи, на першому місці.

Біологи. 

Задача . Задача про розмноження бактерій.

За сприятливих умов за 1 хв кожна з бактерій поділяється навпіл. Визначити кількість бактерій, народжених однією бактерією за 7 хв.

Розв'язання:

Кількість бактерій зростає за геометричною прогресією:

2, 4, 8, 16, ..., у якої .

=2(27-1 )=2( 128-1 )=2 127=254(бактерії).

Риболовля

Олег, Петро, Сергій та Андрій ловили рибу. Кількості рибин, які вони впіймали, утворюють арифметичну прогресію. Найменше рибин – 9 – упіймав Петро, а найбільше – 18 – Олег. Скільки рибин упіймали Сергій та Андрій разом? Скільки всього рибин упіймали хлопці?

Розв'язання

В арифметичній прогресії Тому Сергій та Андрій разом зловили 9+18=27 рибин. Хлопці зловили 54 рибини.

Медицина.

2.Курс повітряних ванн починають із 15 хв. у перший день і збільшують час цієї процедури в кожний наступний день на 10 хвилин. Скільки днів слід приймати ванни в зазначеному режимі, щоб досягти їхньої максимальної тривалості 1 година 45 хвилин? 

Дано: арифметична прогресія, а₁=15 хв, d = 10 хв., a_n=105 хв.

Знайти: n

Розв'язання

Відповідь: 10 днів слід приймати ванни. 

Основи здоров'я

3.У період інтенсивного зростання людина росте в середньому на 5 см у рік. Зараз ріст Олексія – 130 см. Якого росту він буде в 2026 році?

Розв’язання

Відповідь:165 см

Вчитель. Як ми переконалися, прогресії застосовуються не тільки в математиці. За законом геометричної прогресії здійснюється поділ нейтронів під час ядерної ланцюгової реакції. Відрізки шляху за рівноприскореного руху утворюють арифметичну прогресію. Геометрична прогресія відіграє велику роль у побудові математичних моделей економіки. Знання прогресій потрібні і в багатьох інших галузях.

VІ. Закріплення знань, умінь і навичок

Кросворд.

Тема: «Числові послідовності»

По горизонталі:

1. Як називають перший із двох сусідніх членів послідовності.
2. Як називається послідовність, якщо кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього.
3. Число q в геометричній прогресії.
4. Формула, якою задається послідовність.

По вертикалі:

1. Функція, яка задана на множині деяких чисел.

5. Числа,я які задають послідовність.
6. Вид прогресії.
7. Число d в арифметичній прогресії.

Відповіді.

По горизонталі: 1. Попередній.  2. Спадна.  3. Знаменник.  4. Рекурентна.

По вертикалі: 1. Послідовність.  5. Члени.  6. Геометрична.  7. Різниця.

Розв’язати задачу – значить знайти і пройти шлях, що веде до знаходження очікуваної відповіді.

Під час розв’язування  прикладних   задач  зрозуміло яку велику роль грає математика в житті.

Математичні знання потрібні  не тільки тим, хто присвятить себе науковій діяльності, але й тим, хто стане займатись практичними справами.

Математика потрібна і в побуті, і в техніці, і на виробництві.

 VІІ. Підсумок уроку.

1. Виставлення і коментування оцінок.

         Учні оголошують свої результати.

2.Метод «Чотири ЩО?»

1. Що ви дізналися, навчилися на уроці?
2. Що сподобалося найбільше?
3. Що було найскладнішим?
4. Що треба ще вивчити?

VІІІ. Домашнє завдання.

Повторити Пар.16-20. Приготувати дві прикладні задачі і розв’язати .

ІХ. Рефлексія.       Метод  «Похвали себе».

Учні вказують на позитивні сторони своєї роботи на уроці.