Конспект+Презентація+Вказівки для самост.вивчення на тему "Елементи комбінаторики"

«Три шляхи ведуть до знання.

  шлях роздумів -  найблагородніший,

  шлях наслідування -  найлегший,

шлях досвіду - самий гіркий ».

КОНФУЦІЙ

Тема заняття: Елементи комбінаторики

Мета заняття:

навчальна:

• дати означення факторіала  та основних понять комбінаторики перестановки, розміщення, комбінації; пояснити комбінаторні правила суми та добутку;
• сформувати вміння знаходити значення і перетворювати вирази з факторіалами;
• використовувати формули комбінаторики для розв'язування найпростіші комбінаторні задач;
• показати практичне використання формул комбінаторики.

виховна:

• формувати інтерес до предмету, наполегливість в досягненні мети і зацікавленості в кінцевих результатах праці;
• виховувати почуття колективізму, взаємодопомоги, підтримки, відповідальності, самостійності, вміння слухати і вступати в діалог, брати участь в колективному обговоренні проблем, будувати продуктивну взаємодію;

розвиваюча:

• розвивати у студентів творчу уяву, пам'ять, увагу;
• розвивати розумову діяльність: вміння аналізувати, узагальнювати досліджувані факти, виділяти і порівнювати суттєві ознаки

Вид заняття: інтерактивна багатоцільова лекція

Форми та методи роботи: робота в групах, метод «перевернутий клас», комп’ютерне тестування.

Забезпечення заняття

ХІД ЗАНЯТТЯ

1.     Організаційна частина.

Підготовка групи до навчання

• Привітання студентів
• Перевірка присутності студентів.
• Виявлення рівня підготовки студентів до заняття.
• Вступне слово викладача. 

2. Актуалізація опорних знань

• Відповіді на запитання студентів,
• Перевірка домашнього завдання
• Прокоментувати виконання 1-2 завданнь

Запитання студентам

• Дайте означення ймовірності
• Яку подію називаємо випадковою?
• Що ви розумієте під поняттям кількість усіх елементарних подій?
• Які числа називаємо простими?

Які числа діляться на 5? 

3. Мотивація навчальної діяльності

 На минулій парі ми розглядали ймовірність подій, для яких нескладно було обчислити п і т. Проте, при розв’язуванні багатьох задач знаходження кількості всіх та сприятливих подій потребують спеціальних знань. На практиці часто доводиться відповідати на запитання: скількома способами можна виконати певне завдання. наприклад,                                                                                                                 сл_2_

• скількома способами можна скласти розклад занять на день,
• скількома способами можна поєднати одяг нашого гардеробу,
• скількома способами скласти меню,
• скількома способами провести спортивні змагання і т.д..

Майже щодня кожному з нас доводиться комбінувати речі з власного гардероба, вирішувати, що вдягнути на ту чи іншу подію                                            сл_3

В таких задачах йде мова про комбінування об'єктів і їх називають комбінаторними задачами, а розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, що відповідають тим чи іншим умовам можна скласти із заданих об'єктів, називається комбінаторикою              . сл_4_5

 В наш час комбінаторні задачі приходиться розв'язувати фізикам, хімікам, біологам, економістам, спеціалістам самих різних професій                            сл.6

Широко застосовується комбінаторика у художньому конструюванні виробів– це прийоми знаходження різних поєднань, перестановок, розміщень даних елементів у певному порядку.                                                                                     Сл.7

4. Повідомлення теми, мети та завдань заняття

Сьогодні  навчимось розв’язувати комбінаторні задачі і будемо працювати за таким планом                                                                                                                                            Сл.8

1. Факторіал.
2. Множини. Основні поняття. Впорядковані множини
3. Перестановки
4. Розміщення
5. Комбінації

5.  Сприйняття й засвоєння студентами навчального матеріалу

1.Факторіал          Сл.9

Поняття факторіал ви мали опрацювати дома. Перевіримо, чи вдалось Вам розібратись із дією, що позначається знаком оклику у математиці. Вам потрібно було вивчити означення, виконати приклади і з’ясувати, як знаходиться факторіал на калькуляторі. Я буду ставити питання , а Ви відповідаєте.

Отже,            Сл.7

2. Множини. (елемент множини, види множин, позначення множин).                                                                                                                                                             Сл.10

Пригадаємо основні поняття, що стосуються множин:

 Що ми називаємо множиною?

Що називаємо підмножиною?

Як поділяються множини в залежності від кількості елементів?

Розв'язуючи комбінаторні задачі, розглядають скінченні множини, утворені з елементів будь-якої природи, та їх підмножини. Залежно від умови задачі розглядаються множини, у яких не є істотним порядок елементів і множини, у яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або і те і те одночасно. Такі скінченні множини мають певну назву.

Множина, кожному елементу якої поставлений у відповідність певний номер, т.б. важливо в якому порядку розташовані елементи, називається впорядкованою.

 Уважно подивіться на слайд 11 і назвіть впорядковані і невпорядкі овані множини  (впорядковані-розклад уроків, розподіл призових місць.               Сл. 11

3.Перестановки

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Р_n.                                                           Сл.12              Таким чином, перестановки з n елементів відрізняються між собою лише порядком розташування елементів.

Робота в групах         Сл.13-14

 на аркушах ПЕРЕСТАНОВКИ    Робота  №1

Студенти виконують завдання передбачені для кожної із груп

Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п, тоб­то п! (читають: єн факторіалів).                                                                      Сл.15

Р_n = п!,   п! =1 ∙ 2 ∙ 3  ∙ ... ∙ n

Розв’яжемо задачу        Сл.16

У сім'ї 6 осіб, а за столом в кухні 6 стільців. Було вирішено щовечора перед вечерею розсідатися на ці 6 стільців по-новому. Скільки днів члени сім'ї зможуть робити це без повторень?

Розв'язування

P₆ = 6! =l · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.  

Відповідь: 720 днів, або протягом 2 років.

Робота в групах        

Кожній групі потрібно розв’язати свою задачу і записати розв’язок на дошці.                                                                                                                                                           Сл.17

1 група.

У класі навчається 10 юнаків. Скількома способами можна їх вишикувати у шеренгу?

2 група.

Скількома способами можна скласти список із 9 прізвищ?

3 група.

Скількома способами можна розкласти 8 різних листів у 8 різних конвертів, якщо в кожний конверт кладеться лише 1 лист?

 Подумайте і сформулюйте задачу яка б стосувалась вашої групи або нашого коледжу і в якій би можна було порахувати кількість перестановок і розв'яжіть її.                                                                                                                                                                         Сл.18

4. Розміщення

А скільки k - елементних упорядкованих підмножин можна утворити з n різних елементів, якщо n k? Такі упорядковані підмножини називають розміщеннями з  n елементів по k  еле­ментів.

Будь-яка впорядкована підмножина з k елементів даної    n-елементної множини називається розміщенням з n елементів по  k, k ≤ n.                             Сл.19

Робота в групах           Сл.20

на аркушах РОЗМІЩЕННЯ     Робота  №2

Назвіть число підмножин які ви отримали.

Кількість розміщень з n елементів по k позначається (читається: "А з ен по ка") і обчислюється за формулою                                                                                    Сл.21

Перевіримо, чи правильно виконали завдання 

Розв’яжемо задачу.         Сл.22

10 спортсменів розігрують одну золоту, одну срібну і одну бронзову медалі. Скількома способами ці медалі можуть бути розподілені між спортсменами?

Розв'язування

Відповідь: 720 способів.

Робота в групах    

Кожній групі потрібно розв’язати свою задачу і записати розв’язок на дошці.                                                                                                                                                           Сл.23

1 група

В 11 класі вивчається 14 дисциплін . Скількома способами можна скласти розклад занять на п’ятницю, якщо в цей день повинно бути 6 різних уроків?

2 група

Юнак має 10 різних художніх книг. Він хоче подарувати по 1 книзі чотирьом одногрупникам. Скількома способами це можна зробити?

3 група

У класі з 32 учнів для проведення зборів обирають голову, заступника і секретаря. Скількома способами це можна зробити?

Подумайте і сформулюйте задачу яка б стосувалась вашої групи або нашого коледжу і в якій би можна було порахувати кількість розміщень і розв'яжіть її.                                                                                                                                                                         Сл.24

Запам’ятайте! Розміщення і перестановки обов’язково враховують порядок розташування елементів                                                                                                  Сл.25

4. Комбінації (Сполуки)

Розміщення - це впорядковані підмножини даної множини. А скільки не-впорядкованих двохелементних підмножин можна скласти з тих самих елементів?

Будь-яка підмножина з k елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією (сполукою) з n елементів по k  елементів.

Отже, комбінацією (сполукою) називають будь-яку k - елементну підмножину даної  n - елементної множини.                                                                       Сл.26

Число комбінацій з n елементів по k позначають символом і обчислюють за формулою

.

Наприклад:

Робота в групах          Сл.27

 на аркушах КОМБІНАЦІЇ      Робота  №3

Скільки вийшло  прямих? 10. Перевіримо обчислення.

Розв’яжемо задачу.         Сл.28

В лотереї «Мегалот» необхідно закреслити 6 цифр з 42. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання :

В цій задачі n=42, а k =6, скористаємося формулою  :

Відповідь: 5 245 786 способів

Робота в групах      

Кожній групі потрібно розв’язати свою задачу і записати розв’язок на дошці.                                                                                                                                                           Сл.29

1 група.

 Для проведення іспиту створюється комісія із двох викладачів. Скільки різних комісій можна скласти із п’яти викладачів?

2 група.

Із 20 учнів треба виділити 6 для чергування. Скількома способами це можна зробити?

3 група.

 На полиці є 35 книжок. Скількома способами можна вибрати дві із них?

Подумайте і сформулюйте задачу яка б стосувалась вашої групи або нашого коледжу і в якій би можна було порахувати кількість комбінацій і розв'яжіть її.                                                                                                                                                                         Сл.30

Висновки:           Сл.31

• У випадку перестановок беруться всі елементи і змінюється тільки їх розташування.
• У випадку розміщення береться тільки частина елементів і важливо розміщення елементів один відносно одного.
• У випадку комбінації береться тільки частина елементів і не має значення розміщення елементів один відносно одного.

Як вибираємо формулу? На що звертаємо увагу?     Сл.32

Якщо все зрозуміло, розв’яжемо задачі з підручника (за наявності часу) Сл.33

6. Закріплення нового навчального матеріалу (Тести на слайдах)

Перейдемо до розв’язування задач формату ЗНО.       Сл.34

Перевір себе  ( інтерактивні тести).Робота з комп’ютерними тестами

Перевіримо, чи все зрозуміло з сьогоднішньої теми заняття. Виконайте наступні тести.                                                                                                                                             Сл.35-39

7. Підсумок заняття: узагальнення вивченого матеріалу, характеристика роботи групи на занятті.

• Узагальнення вивченого матеріалу
• Проаналізувати активність студентів на занятті.
• Рівень засвоєння теми.

Характеристика роботи студентів на занятті. 

8. Постановка домашнього завдання .