Конспект уроку. Алгебра 10 клас.

Тема уроку: Синус, косинус, тангенс і котангенс кута.

Мета уроку: Повторити означення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника і ввести означення тригонометричної функції довільного кута.

І. Організаційний момент.

II. Повторення відомостей про тригонометричні функції гострих кутів прямокутного трикутника.

в) 2 cos 30° + 6 cos 60° – 4 tg 45°; г) 2 ctg 60° – 2 sin 60° . 6. Спростіть:

a) (l – cosα)(l + cosα);        6) tgα – ctgα + sin² α + cos² α. III. Повторення відомостей про тригонометричні функції довільного кута. У курсі геометрії для кутів від 0° до 180° було дано означення синуса, косинуса, тангенса за допомогою кола. Нагадаємо ці означення. Нехай дано коло радіуса R, центр якого знаходиться у початку координат. Відкладемо від додатної півосі у верхню півплощину кут α, друга сторона якого перетне коло в точці Р_α(х; у) (рис. 32).

Синусом кута називається відношення ординати точки y

Р_α(х; у) кола до його радіуса: sin .  

R

Косинусом кута називається відношення абсциси точки Р_α(.х; у) кола до його x

радіуса: cos .  R

Тангенсом кута називається відношення ординати точки Р_α(х; у) до її y

абсциси:tg  .  x

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки Р_α(х; у) до її

Роганін Алгебра 10 клас, Урок 5                                        2

x

ординати: ctg . y Приклад 1. Знайти sin α, cos α, tg α, ctg α, якщо α = 120°. Побудувавши точку Р_120º, маємо (рис. 33):

1

-                                                                                 R

                   sin120^o                                 ; cos120o _^OA_ ² _

                                                                                                                          OP         R

1

-                                                                                 R

tg120o ctg120o  OP  2  1 ;

                                                                                                                AP         3                3

-                                                                                 R

2

Якщо будь-який кут розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки у двох можливих напрямах (додатному — проти годинникової стрілки, від'ємному — за годинниковою стрілкою), то дане визначення можна використовувати для будь-яких кутів. Приклад 2. Знайти sin α, cos α, tg α, ctg α, якщо α = 270°. При повороті на 270° навколо точки О радіус ОА, який дорівнює R, перейде в радіус ОР, тоді (рис. 34)

Р_270º·(0; -R ) і, отже, sin 270° = ^R = -1, cos 270° = ⁰ = 0,

                                                                                                  R                                     R

0 ctg270° =       = 0 ,  tg 270° не має змісту.

1

Із курсу геометрії відомо, що величина кута в градусах виражається числом від 0° до 180''. Кут Повороту може виражатися в градусах, яким завгодно дійсним числом від -_ до +_.

Приклад 3. Якщо початковий радіус ОА зробив повний оберт проти годинникової стрілки, то кут повороту буде дорівнювати 360° (рис. 35). Якщо початковий радіус ОА зробив півтора оберти проти годинникової стрілки, то кут повороту буде дорівнювати 540º (рис. 36). Якщо початковий радіус ОА зробив два повних оберти і чверть оберту за годинниковою стрілкою, то кут повороту буде дорівнювати 2 (-360°) - 90° = - 810° (рис. 37).

Розглянемо радіуси ОА і ОВ. Існує безліч кутів повороту, при яких початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ (рис. 38). Нехай <AОВ = α, тоді відповідні кути повороту будуть дорівнювати α + 360°n, де n — ціле число (п  Ζ).

Якщо початковий радіус переходить у радіус ОВ при повороті на кут а, то в залежності від того, у якій четверті буде радіус 0B, кут α називають кутом цієї чверті. Так, якщо 0° < α < 90°, то α – кут І чверті; якщо 90° < α < 180°, то α — кут II чверті; якщо 180° < α < 270°, то α — кут III чверті; якщо 270° < α < 360°, то α — кут IV чверті. Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360° не відносяться ні до якої чверті.

У курсі геометрії було доведено, що значення синуса, косинуса і тангенса кута α, де 0° < α < 180° залежить тільки від α і не залежить від довжини R. І в загальному вигляді sin α, cos α, tg α, а також ctg α залежать тільки від кута α.

Вирази sin α і cos α, визначені для будь-яких а, так само як для будь-якого

кута повороту, можна знайти відношенням  ^y і ^x .

                                                                                                                       R      R

Вираз tg α має смисл при будь-яких а, крім кутів повороту ±90°; ±270°; ±450°, тобто α  90°+180° n , (п  Ζ).

Вираз ctg α має смисл при будь-яких а, крім кутів повороту 0°; ±180°; ±360°.., тобто, α  180° n , (п  Ζ).

Кожному допустимому значенню α відповідає єдине значення sin α, cos α, tg α, ctg α, тому синус, косинус, тангенс, котангенс є функціями кута α. Їх називають тригонометричними функціями. Виконання вправ

1.      Чому дорівнюють кути повороту, які показано на рисунку 39.

Рис. 39

2.      Накресліть коло із центром у початку координат і побудуйте кут повороту, що дорівнює: а) 135°;       б) -120°;     в) 540°;       г) -810°.

3.      Запишіть всі кути поворотів, при яких радіус ОА переходить у радіус ОВ

(рис. 40).

Рис. 40

4.      Побудуйте коло з центром у початку координат і кути повороту, що дорівнюють:

а) 90° + 360° n, (п  Z);      б) 180° + 360° n, (п  Z);

в) –90º + 180° n, (п  Z);     г) ±60° + 360º n, (п  Z).

5.      Визначте, кутом якої чверті є кут α, якщо кут а дорівнює:

а) 181°;   б) 179°;   в) 271°;   г) 361°;   д) 345°;   є) 800°.

Роганін Алгебра 10 клас, Урок 5                                        4

IV.   Підсумок уроку.

V.      Домашнє завдання.

§ 7. Вправи № 7.4, 7.6, 7.10, 7.18.