Конспект уроку для 10 класу на тему: "Періодичність тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій та їх властивості."

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНА КАРТА (план) ЗАНЯТТЯ № _____

Предмет: математика

Тема заняття:  Періодичність тригонометричних функцій.

  Графіки тригонометричних функцій та їх властивості.

Мета заняття:

Освітня:дати поняття «періодичність тригонометричних функцій», формувати вміння будувати графіки тригонометричних функцій, закріпити знання здобуті на попередніх заняттях, знаходжен­ня найменших додатних періодів тригонометричних функцій; формування умінь знаходити періоди функцій у = sin (kx + b), у = cos (kx + b),           у = tg (kx + b), у = ctg (kx + b).; розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу;

Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук, охайність.

Тип уроку: засвоєння нових знань

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина.

Перевірка присутніх/відсутніх студентів на занятті.

2. Перевірка домашнього завдання, перевірка раніше засвоєних знань

Проведення самостійної роботи.

І в.                               II в.

1. Побудуйте на одиничному колі точку Р_α, на яку відобража­ються початкова точка Р₀ (1; 0) при повороті на α рад навко­ло центра, якщо:

Відповідь:

І в.: 1. Рис. 55. 2. , , , . 3. Плюс.

ІІ в.: 1. Рис. 56. 2. , , , .3.мінус.

3. Мотивація навчальної роботи. Повідомлення теми і мети завдань.

Сьогодні на занятті ми з вами продовжимо розширювати наші знання про тригонометричні функції

4. Сприймання і первинне усвідомлення нового матеріалу, осмислення зв’язків і відношень в об’єктах вивчення.

1. Періодичність тригонометричних функцій.

.   

2. Робота з презентаціями.

3. Робота з підручником. (Шкіль М. І. ст.. – 44-49)

Розглянемо, як розв’язані вправи в вашому підручнику.

4. Побудова графіків тригонометричних функцій.

Графік кожної з тригонометричних функцій досить побудувати на проміжку, що дорівнює найменшому додатному періоду, а потім його можна продовжити на всю область визначення. При побудові графіків за точками скористаємось геометричним тлумаченням кожної з тригонометричних функцій на одиничному колі.

Графік функції побудуємо на відрізку [0;2π]. Оскільки синус числа α – це ордината точки одиничного кола, в яку переходить точка Р₀(1; 0) при повороті навколо центра на а рад, то побудуємо систему координат. Позначимо на осі Ox відрізок [0;2π], довжина якого наближено дорівнює .

Поза цим відрізком побудуємо коло з центром на осі Ox і радіусом, що дорівнює 1. Довжина кола також наближено дорівнює . Розіб'ємо відрізок [0;2π] і коло, починаючи від точки P₀, на 16 рівних частин. Через кожну точку поділу проведемо прямі, паралельні осі Ox. 3 кожної точки поділу кола проведемо перпендикуляри до осі Ox, довжини яких дорівнюють ординаті, а отже, синусу кута, утвореного радіусом OP₀ з віссю Ox і виміряного у радіанах. Кожна з цих ординат відповідає абсцисам α, позначеним точками поділу відрізка [0; 2π] на осі Ox. Провівши прямі, паралельні осі Oy в кожній точці поділу цього відрізка, до перетину з відповідною паралельною прямою, одержимо у перетині точки графіка функції . Проведена через ці точки суцільна крива називається синусоїдою.

Оскільки функція періодична з періодом 2nπ, де , тобто , то для продовження графіка за межі відрізка [0;2π] досить виконати побудову графіка функцій виду , , , , , , ... паралельно переносячи графік функції на 2π, 4π, 6π, ... одиниць ліворуч і праворуч.

Графік функції побудуємо, скориставшись формулою зведення і геометричним перетворенням відомого графіка. Отже, , тобто графік функції можна одержати з графіка функції паралельним перенесенням його ліворуч уздовж осі Ox на одиниць.

Графік функції побудуємо за допомогою лінії тангенсів на проміжку довжина якого дорівнює періоду π цієї функції. Побудувавши систему координат і виділивши на осі Ox проміжок поза ним побудуємо одиничне коло з центром на осі Ox і лінію тангенсів. Поділимо проміжок і праве півколо на вісім рівних частин. Через центр кола і точки поділу його проведемо прямі до перетину з лінією тангенсів. Утворені точки перетину визначають відрізки на лінії тангенсів з довжиною, що дорівнює тангенсу відповідного кута повороту, виміряною в радіанах. Числові значення цих кутів, позначені на проміжку осі дорівнюють .

Через точки T_α на лінії тангенсів проведемо прямі, паралельні осі Ox, а через точки поділу проміжка паралельні осі Oy . Перетини цих паралельних прямих визначають точки, що належать графіку функції . Провівши плавну крину через ці точки, одержимо графік функції на проміжку його межами, досить скористатися періодичністю функції тангенс, тобто тотожністю . Отже, треба виконати побудову функцій виду , , , , , паралельним перенесенням графіка функції на π, 2π, 3π, ... одиниць ліворуч і праворуч. Графік функції називають тангенсоїдою.

Графік функції легко одержати, скориставшись формулою зведення , і двома геометричними перетвореннями – паралельним перенесенням тангенсоїди на одиниць ліворуч і перетворенням симетрії утвореного графіка відносно осі Оx.

5. Узагальнення і систематизація знань.

1. Виконання вправ

с. 49 № 24 (1-5)

с. 49. № 27(1-2)

2. Доведіть твердження: якщо функція періодична з періодом Т, то функція також періодична з періодом .

3. Побудувати графіки функцій , .

Розв'язання. Використаємо геометричне перетворення відомого графіка функції . Якщо , то . Відомо, що графік функції можна одержати з графіка функції стисненням його до осі Oy при k > 1 і розтягуванням від осі Oy при 0 < k < 1.

Отже, графік функції можна одержати стисненням відомого графіка функції у два рази (рис. а), а графік функції – розтягуванням його у два рази (рис. б).

4. Побудувати графік .

Розв'язання. Перетворимо вираз даної функції так, щоб перед аргументом у дужках залишився коефіцієнт, що дорівнює 1, тобто подамо у вигляді . Це дасть змогу пізніше використати побудову графіка функції , де а > 0, паралельним перенесенням у напрямі осі Ox уже відомого графіка функції.

Послідовність побудови шуканого графіка може бути такою:

1. будуємо відомий графік функції;
2. будуємо графік функції , стискаючи графік функції у два рази до осі Oy;
3. будуємо графік функції _y = 3cos2x, розтягуючи у три рази від осі Ox графік функції ;
4. будуємо шуканий графік , паралельно переносячи раніше побудований графік праворуч уздовж осі Ox на одиниць.

6. Домашнє завдання.

7. Підсумки заняття.

Оцінювання роботи, підсумки. Вправа «Мікрофон»