Конспект уроку на тему "Подільність націло та її властивості"
Цикл уроків з теми «Основи теорії подільності» стане у нагоді вчителям, що працюють у класах з поглибленим вивченням математикиє. І хоча дана тема не є простою, але вона одна з тих, де найбільш яскраво проявляється здатність учнів до евристичного мислення. Усім урокам характерне використання різноманітних форм роботи на різних етапах засвоєння знань. Деякі уроки доповнені презентаціями, це допоможе вчителю зробити уроки цікавими і доступними для учнів.
- 1.ppt ppt
- 2.ppt ppt
- 1 подільність націло та її властивості .doc doc
Історія виникнення подільності чисел
Піфаго́р (580 до н. е. — 500 до н. е.) — давньогрецький філософ, релігійний та політичний діяч, засновник піфагореїзм став легендою і джерелом дискусій уже в стародавні часи. Властивості простих чисел і питання подільності займали думки науковців і філософів протягом двох з половиною тисячолітть, принаймні з часів Піфагора, і ще досі не вичерпали себе. Завдяки розвитку криптографії і розповсюдженню заснованних на теорії чисел алгоритмів, пов'язані з перевіркою на простоту і факторизацією дослідження знаходяться на передовому краю математики.
Евклі́д (близько 365 — близько 300 до н. е.) — старогрецький математик і визнаний основоположник математики. Питання подільності натуральних чисел розглядалися уже в античні часи. Евкліду належить один з найвідоміших результатів математики, твердження, що не існує найбільшого простого числа, тобто множина простих чисел — нескінченна.
Анімація алгоритму Евкліда для чисел 252 та 105. Рисочки відповідають числам кратним 21, найбільшому спільному дільникові (НСД).На кожному кроці менше число віднімають від більшого, поки одне з них не дорівнюватиме нулю. Число, що лишилось і є НСД. Він також навів найперший в історії алгоритм, а саме алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох натуральних чисел. Цікаво відзначити, що це — не тільки найдавніший, а й один з найефективніших алгоритмів в математиці, який майже не був вдосконалений за більш ніж дві тисячі років, що минули по тому. Але набагато раніше за Евкліда, Піфагор і піфагорейці розробили теорію досконалих і дружніх чисел, які відігравали важливу роль у їх філософській системі.
Йоганн Карл Фрідріх Ґаус або Ґаусс ( 30 квітня1777 — 23 лютого 1855, ) — німецький математик, астроном, геодезист та фізик. Подільність чисел, більш загальних ніж цілі, було ретельно досліджено у 19 ст., починаючи з роботи Гауса про властивості гаусових цілих чисел, комплексних чисел вигляду де -це звичайні цілі числа,а -це уявна одиниця.Гаус відкрив аналог алгоритма Евкліда і в такий спосіб довів однозначність факторизації гаусових цілих чисел.
П'єр Ферма́ (17 серпня 1601— 12 січня 1665) — Французький математик, засновник аналітичної геометріїі теорії чисел. П'єр де Ферма — найзагадковіша постать у науковому світі XVII століття. Чимало із спроб доведення великої теореми Ферма спиралося на однозначність факторизації алгебраїчних цілих чисел вигляду .Однак виявилося, що у випадку загального такі числа поводяться набагато складніше, ніж звичайні цілі, зокрема, для них не виконується однозначність факторизації на прості множники.
Абстра́ктна або ви́ща а́лгебра — галузь математики. В сучасній науковій літературі називається просто алгебра. Ознака «абстрактна» підкреслює, що об'єктами вивчання є абстрактні структури, такі як групи, кільця, поля і модулі, на відміну від алгебраїчних виразів, що вивчаються в елементарній «шкільній» алгебрі. У роботах Куммера , Кронекера і Дедекінда з теорії подільності алгебраїчних цілих чисел з'явились фундаментальні для сучасної математики поняття теорії кілець, на яких, разом з введеним Галуа поняттям групи, ґрунтується сучасна абстрактна алгебра.
Едуард Куммер Леопольд Кронекер
Ріхард Дедекінд Еварист Галуа
ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ 1. Подільність націло та її властивості
ОЗНАЧЕННЯ Ціле число а ділиться націло на ціле число b, b≠0, якщо існує таке ціле число k, що а=bk
ЗАПИС Якщо а ділиться на b, то пишуть: Наприклад,
ТЕРМІНИ Якщо , то число b називають дільником числа а, а число а – кратним числа b. Також кажуть, що число а кратне числу b
ВЛАСТИВОСТІ ПОДІЛЬНОСТІ 1. Якщо , то 2. Якщо , то 3. Якщо , то 4. Якщо і , то 5. Якщо і , то 6. Якщо і , то і
ДІЛЕННЯ З ОСТАЧЕЮ Теорема: Для будь-якого цілого числа а і натурального числа b існує єдина пара цілих чисел q і r таких, що а = bq+ r, де 0 r < b
ТЕРМІНИ Якщо , то число q називають неповною часткою. Число r називають остачею.
ПРИКЛАДИ Для чисел а=2, b=7 існує пара q=0 і r=2, тобто 2=7·0+2. Для чисел а=-2, b=5 існує пара q=-1 і r=3, тобто -2=5·(-1)+3. Для чисел а=-8, b=4 існує пара q=-2 і r=0, тобто -8=4·(-2)+0.
ТЕОРЕМА Для заданого натурального числа m, де m>1, множину Z можна розбити на m підмножин, які не перетинаються, таким чином, що першій підмножині належатимуть усі числа, які при діленні на m, дають в остачі 0
ТЕОРЕМА Якщо цілі числа а і b при діленні на натуральне число m дають однакові остачі,…. то
ОЗНАЧЕННЯ Цілі числа a і b називають конгруентними за модулем m (mєN), якщо остачі при діленні їх на число m рівні
Такий запис називають конгруенцією. Читають так: “a конгруентне b за модулем m” Як записувати?
НАПРИКЛАД
Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) Поняття конгруентності за модулем впровадив у математику видатний німецький математик Гаус. Роботи Гауса справили значний вплив а розвиток алгебри, теорії чисел, диференціальної геометрії, теорії електрики і магнетизму, геоденезії, теоретичної астрономії.
ТЕОРЕМА Для того, щоб цілі числа a і b були конгруентними за модулем m, (mєN), необхідно й достатньо, щоб різниця a-b ділилася націло на m
Цикл уроків з алгебри на тему «Основи теорії подільності»
для 8 класів з поглибленим вивченням математики
Урок №1 Тема: Подільність націло та її властивості
Мета: Навчити учнів доводити подільність цілих чисел, розв’язувати рівняння з двома змінними в цілих числах; розвивати розумові операції, вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати, розмірковувати за аналогією; розвивати творче мислення; виховувати волю і мотиви діяльності.
Тип уроку: комбінований урок
Обладнання: підручник, презентація1, презентація 2
Хід уроку:
- Мотивація навчання
- Як ви вважаєте, що вивчає теорія подільності чисел? Яке її основне завдання? Які властивості подільності ви пам’ятаєте з молодших класів?
- Під час вивчення основ теорії подільності ми навчимося доводити подільність цілих чисел, розв’язувати рівняння з двома змінними в цілих числах, ознайомимось з такими поняттями, як конгруенція, а також з рядом теорем, що пов’язані з подільністю чисел. (Презентація 1)
- Пояснення нового матеріалу (Презентація 2)
Означення: Кажуть, що ціле число а ділиться націло на ціле число b, 
, якщо існує таке ціле число k, що 
.
-
Якщо а ділиться на b, то пишуть:
, наприклад, 
.
-
Якщо
, то число b називають дільником числа а, а число а – кратним числа b. Також кажуть, що число а кратне числу b
- Розглянемо основні властивості подільності націло
-
Якщо
, то 
.
-
Якщо
, то 
.
-
Якщо
, то 
.
-
Якщо
і 
, то 
.
-
Якщо
і 
, то 
. 6) Якщо 
і 
, то 
Розв´язування вправ
- Усне розв’язання вправ («Математичний футбол»)
1. Чи дiлиться число a на -a? Чи дiлиться число -a на a?
2. В якому випадку два цiлих числа a i b мають таку властивiсть, що a дiлиться на b i b дiлиться на a?
3. Числа a i b такi, що 0 < a < b. Чи може a дiлитися на b?
4. Доведiть, що добуток трьох послiдовних натуральних чисел дiлиться на 3.
5. Доведiть, що якщо ab + cd дiлиться на 
, то ad+bc також дiлиться на a-c.
6. Доведiть, що число mn (m +n) — парне.
7. Вiдомо, що a кратне 3, b кратне 2. Доведiть, що 2a + 3b кратне 6.
8. Дрiб
скоротний. Чи скоротний дрiб 
?
9. Доведiть, що 13 +23 +33+ ... 993 дiлиться на 100.
10. Доведiть, що будь-яке натуральне число, десятковий запис якого складається iз 3n(n є N) однакових цифр, дiлиться на 37.
11. Доведiть, що:
а) 
кратне 9;
б) 
кратне 99;
в) 
дiлиться на 11;
г) 
дiлиться на 11.
12. Доведiть, що якщо 
ціле число, то 
також цiле число.
13. Доведiть, що якщо в трицифровому числi двi останнi цифри однаковi, а сума його цифр дiлиться на 7, то i саме число дiлиться на 7.
14. Яких чисел бiльше серед першої тисячі натуральних чисел: тих, якi дiляться на 3 або на 5, чи тих, якi не дiляться нi на 3, нi на 5?
15. Чи iснує таке натуральне число n, щоб сума 1+2+3…+n дорiвнювала трицифровому числу, яке складалося б з однакових цифр?
16. Доведiть, що:
a) (a2-b2)
в) (a2-b2)
- Колективне розв’язування «Метод пропозицій»
1) Цілі числа 
такі, що 
. Доведіть, що 
.
Розв’язання: Маємо: 
. Оскільки 
, то за властивістю 6 
. Тоді з властивості 3 випливає справедливість твердження, що доводиться.
Означення: Розв’язати рівняння з двома змінними в цілих числах означає знайти всі пари цілих чисел, які є розв’язками цього рівняння.
2) Розв’яжіть у цілих числах рівняння 
.
Розв’язання: Розкладемо ліву частину рівняння на множники: 
. Тоді можливі чотири випадки:
Відповідь: (2;3), (64-5), (0;-5), (-4;3)
3) Цілі числа 
такі, що 
. Доведіть, що 
.
Розв’язання: Маємо 
. Оскільки 
, а з умови і властивості 3 випливає, що 
, то за властивістю 6 різниця, що розглядається, кратна 31.
- Домашня робота
-
Число
кратне 7. Доведіть, що 
.
-
Число
кратне 4. Доведіть, що 
-
Числа
такі, що 
. Доведіть, що 
-
Розв’яжіть у цілих числах рівняння: а)
, б) 
Використані джерела:
1. Алгебра підручник для 8 класу з поглибленим вивченням математики,
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір, - Харків, «Гімназія», - 2009
2. Алгебра та початки аналізу 10 клас, профільний рівень
А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір, - Харків «Гімназія», - 2010
3. О.Ю. Карік, Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків, математика 5-7, Харків, - «Основа», - 2008
про публікацію авторської розробки
Додати розробку