Тема:  КВАДРАТНІ  РІВНЯННЯ.

Мета:  Систематизація знань, умінь і навичок учнів по розв’язуванню та                                                                                                                    складанню квадратних рівнянь.

Тип уроку:  Узагальнення та систематизація знань.

Вид уроку:  Урок з елементами гри.

“Математика настільки серйозна,  що варто  скористатись нагодою, аби зробити її цікавою”                                   

 (Паскаль)

Дошка:

Епіграф	1. Неповні квадратні рівняння. х2+х+с=0-повне квадратне  рівняння 1)х2+х=0 2)х2+с=0 3)х2=0	2. Зведені квадратні рівняння. Т. Вієта. Х2+РХ+=0    Х1+Х2=-Р    Х1*Х2=	3. Повні квадратні рівняння. Х2+Х+С=0 =2-4с
	1)3Х2-Х=0  (0;1/3) 2)4Х2-9=0  (√3/2;-√3/2) 3)Х2-3=0    (√3;-√3) 4)Х2+2=0   (н. Кор.)	(1;3);(5;-6);(-10;-5) Х2-4Х+3=0 Х2+Х-30=0 Х2+15Х+50=0

 

4. Задачі      х2+6х-187=0      Н х2+3х-180=0      Д х2+14х-120=0    А х2+4х-96=0         І х2+2х-98=0        Ф х2+х-36=0          О х2+8х-884=0      Т

5. х2-2х-1=0 х2+7х-1=0 х2-7х+1=0 х2-6х+11=0 х2+5х+6=0

6. 2х2+6х-1=0 ; х=1 3х2-2х-8=0 ; х=2 5х2-6х+1=0 ; х=0 х2-8х+7=0 ; х=7

 

Хід  уроку :

Вступ . Сьогодні  у  нас  підсумковий  урок  по  темі  “ Квадратні  рівняння “. Нам   необхідно  з’ясувати  наші  вміння  розв’язувати  повні  , зведені  та  неповні  квадратні  рівняння , показати  уміння  складати  квадратні  рівняння  за  текстом  задачі .

З  учнів  класу  утворено  чотири  команди  по  6 – 7 чоловік . Є  капітани  і  їх  помічники – учні  10 – го  класу. Кожен  учень  має  5  кружечків , які  дозволять  йому  отримати  консультацію  чи  від  капітана , чи  від  старшокласника – консультанта , при  цьому  учень  розраховується  кружечком . Письмові  завдання  виконуються  на  окремих  листках  і  оцінюються  після  уроку . При  використанні  2  кружечків , оцінка  знижується  на  1  бал , при  використанні  всіх – на  2  бали .

1.НЕПОВНІ  КВАДРАТНІ  РІВНЯННЯ .

1)На  дошці  учень  записує  типи  неповних  квадратних  рівнянь  і  пояснює  основні  моменти  при  розв’язуванні  кожного  з  типів .

2)Усно  розв’язати  рівняння :

а) 3х – х² = 0      б) 4х²  - 9 = 0       в) х² – 3 = 0     г)  х²  + 2 = 0

       ( 0 ; 1\3 )        ( 3\2 ; - 3\2 )         (√ 3 ; - √ 3 )       ( немає коренів )

3)Письмово : кожен  учень  розв’язує  три  неповних  квадратних  рівняння . Відповіді  у  всіх  варіантах  однакові :

     ( √2 ; - √2 ) , ( 0 ; 0,6 ) ,  ( н. коренів )

3х2 – 6 = 0 5х2 –3х = 0 3х2 + 4 = 0	2 – х2 = 0 6х – 10х2 =0 х2 + 1 = 0	4х2 = 8 7х2 + 1 = 0 х2 – 3\5х =0	4 – 2х2 =0 2х2 – 1,2х = 0 5 + х2 = 0
3х2 + 1 = 0 4х2 – 8 = 0 3х2 –1,8х = 0	1)16х2 = 32      2) 2,4х – 4х2 = 0      3) х2 = - 5	6х – 10х2 = 0 х2 + 5 =0 24 – 12х2 = 0

 

2.ЗВЕДЕНІ  КВАДРАТНІ  РІВНЯННЯ  ( т . Вієта )

1) Учень  записує  на  дошці  зведене  квадратне  рівняння , каже  і  записує  теорему  Вієта.

x² + px +q = 0

x₁ + x₂ = -p

x₁ * x₂ = q

2) Усно : Скласти  квадратне  рівняння , використовуючи  теорему  Вієта , за  даними  коренями :

( 1 ; 3)           х² – 4х  + 3 = 0

(5 ; - 6)          х² + х – 30 = 0

 (- 10 ; -5 )      х²  + 15х  + 50 = 0

3) Письмово: Підібрати  корені  квадратного  рівняння , використовуючи  теорему  Вієта , нанести  їх  як  точку  , координати якої  записані  у  вказаному  порядку , на  координатну  площину . Кожен  стіл  отримує  картку  з  координатною  площиною .

х2 – 2х – 3 =0   ( 3 ; -1 )  ( б ; м ) х2 – х –2 = 0    ( 2; -1) ( б ; м)	х2 + 2х – 8 = 0  (2 ; -4)  ( б ;м ) х2 +х + 2 = 0   (-2 ; 1)  ( б ; м )
1)х2 + х – 12 = 0     (3 ; - 1 )  ( б ; м)      2) х2 – 9х + 20 = 0  (4 ; 5 )  (м ; б )	1) х2 – 8х + 7 = 0   (7 ; 1 )  ( б ; м )      2) х2 – 3х  -4 = 0   (-1 ; 4)  (м ; б )
1) х2 – 3х + 2 = 0   (2 ; 1 )  ( б ; м )      2) х2 – 10х +24 = 0  (6 ; 4 )  (б ; м)	х2 – 4х +3 = 0  ( 3 ; 1 )  ( б ; м )  х2 –х – 6 =0   ( -2 ; 3 )  ( м ; б )
1) х2 – 6х + 5 = 0  (1 ; 5 )   ( м ; б )      2) х2 – 10х  + 21 = 0  ( 7 ; 3 )  ( б ; м )

 

3.ПОВНІ КВАДРВТНІ РІВНЯННЯ

1. Учень записує на дошці повне квадратне рівняння і формули дискримінанта та коренів: х² + х +с = 0      Д= ²-4с 

  х₁=

 х₂=

2. ПИСЬМОВО: Розв’язати дане квадратне рівняння і букву, яка йому відповідає занести у клітинку для розшифровки слова. Кожна команда отримує окреме слово. Учень, який швидко виконав завдання, має змогу покращити свою оцінку розв’язавши додаткове рівняння.

 Додаткові рівняння

1. 3х²+7х²+4=0  (4/3;1)                                    х²+2х-2=0
2. 5х²-8х+3=0    (1;0,6) х²=6х+9
3. 2х²-9х+10=0  (2,5;2)                                     х²+х-1=0
4. 5х²-6х+1=0    (10,2)                                     7х²-25х+23=0
5. 4х²+3х-1=0    (1/4;-1)                                  х²-2х-2=0
6. 3х²-10х+3=0  (3;1/3)                                    х²-2х-1=0
7. 2х²-7х-4=0     (4;-0,5)                                  х²-2х-4=0

 

Вар.	рівняння	1	2	3	4	Від-відь
1.	3х2-7х+4=0	Т	І	Е	Ю	4/3; 1
2.	5х2-8х+3=0	Ш	Ж	Д	Н	1; 0,6
3.	2х2-9х+10=0	Л	Р	Т	Ь	2,5; 2
4.	5х2-6х+1=0	І	Д	К	Н	1; 0,2
5.	4х2+3х-1=0	Е	А	А	Т	¼; -1
6.	3х2-10х+3=0	Ф	Р	Р	О	3;1/3
7.	2х2-7х-4=0	Ь	К	М	К	4; -0,5

 

 

       (1;0,6)                (4/3;1)               (1;0,2 )               (3;1/3)              (-1;1/4)         (2,5;2) (4;-1/2)

 

 

 

 

 

(1;0,6)         (4/3;1) (2,5;2)                        (-1;1/4) (3;1/3)

 

 

 

(1;0,6)         (4/3;1) (1;0,2)      (-1;1/4)          (3;1/4) (2,5;2)

 

 

 

 (1;0,6) (2,5;2) (4/3;1)     (-1;1/4) (3;1/3) (1;0,2)

 

Після праць нідерландського математика Жірара (1595-1632) а також Декарта і Ньютона спосіб розв’язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Загальне правило розв’язування квадратних рівнянь, зведених до виду  х²+х+с=0 сформулював німецький математик М. Штіфель (1487-1567)

Виводом формули розв’язування квадратних рівнянь загального виду займався Ф. Вієт . Проте своє твердження він висловлював лише для додатних коренів (від’ємних чисел він не визнавав)

 

4. ЗАДАЧІ НА СКЛАДАННЯ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ.

На картках є дві задачі: одна (перша) закодована, друга—додаткова. Домовимось позначати через х менше число. Код до задач і рівняння на дошці. Слово скласти у клітинках (на парті).

 

 

(12;15) (12;8) (7;8) (9;11) (6;20) (11;17) (26)

 

 

РІВНЯННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ І КОДИ

1. х²+6х-187=0                    Н            (11;17)                                                                                                                              
2. х²+3х-180=0                    Д            (12;15)                                                                        
3. х²+14х-120=0                  А            (6;20)                                                                           
4. х²+4х-96=0                       І             (12;8)                                                               
5. х²+2х-99=0                      Ф            (9;11)                                                              
6. х²+х-56=0                        О            (7;8)                                                                 
7. х²+8х-884=0                    Т             (26)                                                                          

Діофант – старогрецький вчений, математик із Олександрії (ІІІ ст.н. ери). Своє вчення він виклав у тринадцяти книгах “Арифметика”, з яких до нас дійшли тільки 6. В них містяться задачі, які зводяться до розв’язування рівнянь виду ах²=в.

Задачі

І. 

1)     Добуток двох натуральних чисел =187. Одне з них на 6 більше другого. Знайти ці числа.

2. Катети прямокутного трикутника відносяться як 8:15, а гіпотенуза дорівнює 6,8м. Знайти катети трикутника.

 ІІ

1)   Одне додатне число на 3 більше другого, а їх добуток дорівнює 180. Знайти ці числа.

2)   Відношення гіпотенузи прямокутного трикутника до одного з катетів =13:12 , а другий катет  =15см. Знайти периметр трикутника

ІІІ

1)   Подайте число 120 у вигляді добутку двох додатних чисел, одне з яких на 14 більше другого.

2)   Знайти катети прямокутного трикутника, коли відомо, що їх сума дорівнює 14 см, а гіпотенуза  =10см

IV

1. З двох додатних чисел одне більше другого на 4 а їх добуток 96. Знайти ці числа
2. У прямокутному трикутнику один катет на 3 см менший другого, а гіпотенуза 15 см. Знайти периметр трикутника.

V

1. Подайте число 99 у вигляді добутку двох додатних чисел, одне з яких на 2 менше другого.
2. У прямокутному трикутнику один з катетів на 1 см менший за гіпотенузу, а другий катет на 8 см менший за гіпотенузу. Знайти периметр трикутника.

VI

1. Добуток двох послідовних натуральних чисел =56. Знайти ці числа.
2. У прямокутному трикутнику один з катетів на 3 см менший за гіпотенузу, а другий катет на 6 см менший за гіпотенузу. Знайти гіпотенузу.

VII

1. В кінотеатрі в кожному ряду місць на 8 більше, ніж рядів. Скільки рядів у кінотеатрі, якщо всього там 884 місця.
2. Знайти сторони прямокутника, коли відомо, що одна з них на 14 см більша другої, а діагональ прямокутника =34 см.

 

5. НЕ РОЗВ’ЯЗУЮЧИ РІВНЯННЯ, З’ЯСУВАТИ, ЧИ МАЄ ВОНО КОРЕНІ, ЯКЩО МАЄ, ТО ВИЗНАЧИТИ ЇХ ЗНАК:ї

 

1) х²-2х-1=0  два, різні

2) х²+7х+1=0 два, різні

3) х²-7х+1=0  два, додатні

4) х²-6х+11=0 немає коренів

5) х²+5х+6=0 два, від’ємні

6. НЕ РОЗВЯЗУЮЧИ РІВНЯННЯ, З’ЯСУВАТИ ЧИ Є ДАНЕ ЧИСЛО ЙОГО КОРЕНЕМ:

1) 2Х²+3Х-1=0  2) 3Х²-2Х-8=0   3) 5Х²-6Х+1=0

     Х=1 (НІ) Х=2  (ТАК) Х=0  (НІ)

7. ПІДСУМОК УРОКУ