Геометрія 11 клас

Тема: Об’єм кулі.

Мета уроку: Вивести формулу для об'єму кулі. Формувати вміння  застосовувати математичні знання під час розв’язання  тестових завдань та прикладних задач; розвивати обчислювальні навички, просторову уяву, бажання пізнавати нове, прививати інтерес до математики;  виховувати почуття відповідальності, вміння швидко і правильно приймати відповідні рішення, старанність у навчанні.

Обладнання: мультимедійна презентація, карточки з завданнями для самостійної роботи, моделі тіл обертання, глобус.

Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь.

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація опорних знань

1. Фронтальне опитування.

• Які тіла обертання ви знаєте ?
• Що таке циліндр?
• 3)Сформулюйте означення конуса.
• Сформулюйте означення зрізаного конуса.
• Що таке куля? Що таке сфера?

Можна дати й інші означення сфери і кулі.

Сферою називається поверхня кулі, яка склада­ється з усіх точок простору, що розташовані на даній відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром).

Кулею називається тіло, що складається з усіх точок про­стору, які розташовані від даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань — радіусом кулі.

2. ЗНО 2013

 

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

 

3.Установіть відповідність між фігурою та її об`ємом

(на дошці)

ТІЛА ОБЕРТАННЯ
Циліндр (малюнок, означення)
Конус (малюнок, означення)
Зрізаний конус (малюнок, означення)
Куля (малюнок, означення)

ІІІ. Повідомлення теми та мети уроку.

ІV. Мотивація навчальної діяльності.

Вчитель. Вивчення властивостей кулі було актуальне у різні історичні епохи, важливими вони залишаються і в наш час.

-Діти, ваше завдання було з`ясувати історію походження термінів та понять, пов’язаних з кулею. Вправа «Уявний мікрофон»

Учень. Початкові відомості про властивості геометричних тіл люди знайшли, спостерігаючи навколишній світ і в результаті практичної діяльності.

До Фалеса в світі геометрії ніхто не займався. У геометричних фігур не було назв. Тому люди почали вигадувати їм свої назви. М’яч (з грецької) має назву сфера. Тому фігура, яка обмежує кругле тіло обертання називається сфера.

 Учень. Відомо, що перерізом кулі є круг. У своїй праці «Вимірювання круга» Архімед встановив відношення довжини кола до його діаметра. Він визначив число π= 3,14 з точністю до 0,01. Це число називається архімедовим.

Вчитель. –Діти, а ви знаєте коли день народження числа Пі?

 Доповнює вчитель. (Я вам допоможу. Поміняйте місцями дробову та цілу частину числа Пі. Крім того, 14 березня відзначають день народження творця теорії відносності Альберта Ейнштейна)

-Де зустрічають кулю в повсякденному житті?

Учень. Земля, на якій ми живемо, одна з 9 планет сонячної системи. Як і всі планети, Земля має форму кулі, середній діаметр якої 12750 км. Планета наша дещо приплюснута: її полярний радіус  на 21 км менший від еква­торіального. Моделлю земної кулі є глобус. У глобуса радіус у мільйони разів мен­ший, тому приплюснутість на глобусі показати неможливо.

Учень. Кришталева куля усмоктує негативну енергію, пов'язану з недоброзичливими  розмовами й породжує гармонію й успіх мешканців дому. Вона сприяє плавному перебігу життя, що виключає ускладнення й озлобленість.

Учень. Іспанська фірма, що займається винаходом інноваційних видів транспорту, придумала спосіб, що дозволяє ходити по воді.

Учень. Кулі зустрічаються техніці. В цьому можна переконатися, якщо подивитися на форму різних приладів, агрегатів. Найпростіша деталь автомобіля - підшипник. В ньому кульки вставляються однакового розміру. Вони зазнають найменшого тертя під час роботи підшипників.

Доповнення учня. Ще кулі використовують:

а) при перемиканні передач — кульки не дають змоги увімкнути відразу дві передачі;

Вчитель Усе це свідчить про те, що такі тіла обертання, а саме куля, широко застосовуються в різних галузях діяльності людини.

V. Вивчення нового матеріалу

Спочатку давайте згадаємо формулу для обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції навколо її основи?

  , де S(x) — площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до відрізка [а; b].

Робота з підручником ст.265

Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену графіком непере­рвної функції у = f(x), віссю х, прямими х=а і х=b (рис. 258). Якщо цю криволінійну трапецію обертати навколо осі х, то дістанемо що? (тіло обертання). Кожна площина, яка перпендикулярна до осі х і перетинає її в точці х є перетинає дане тіло по чому? (по кругу радіуса f(x)).  Площа перерізу S(x) = πг² = πf²(x),

Повторили формулу площі круга.

Об'єм тіла обертання знайдемо за формулою:

(звернути увагу) Π - стала величина і його можна винести за знак інтеграла.

На основі даної  формули доведемо теорему про об'єм кулі.

 (учениця доводить формулу, вчитель розповідає про Остроградського)

 Одне з почесних місць в історії математики належить нашому співвітчизнику Михайлові Васильовичу Остроградському. Багато теорем і формул Остроградського ввійшли до різних математичних курсів, зокрема метод інтегрування, відомий усім студентам як інтеграл Гаусса-Остроградського, Слава вченого була настільки велика, що батьки, бажаючи заохотити молодих людей до навчання, говорили: «Вчися, і будеш, як Остроградський». Лекції Михайла Васильовича завжди були ретельно підготовлені. Слухати його приходили не лише студенти, але й викладачі, професори, відомі математики. Остроградський писав, що вчителі повинні любити свою справу, бо «у хороших учителів будуть і хороші учні».

Пояснення учениці. ЗАПИС У ЗОШИТІ

VІ. Формування знань. Осмислення нових знань.

Розв`язування задач (колективно), запитання учнів до кожної задачі.

1.Радіус кулі дорівнює 9 см. Знайдіть об'єм кулі. (Відповідь. 972π см³)

2.Об'єм кулі дорівнює 36π см³. Знайдіть радіус кулі. (Відповідь. 3 см)

3. Радіуси трьох куль дорівнюють 3, 4 і 5 см. Знайдіть радіус кулі, об'єм якої дорівнює сумі об'ємів даних куль. (Відповідь. 6 см)

VІІ. Формування вмінь. Закріплення й осмислення нового матеріалу.

Задачі для самостійного розв‘язання (різнорівневі задачі).

«Ярмарок задач»

Виконану задачу презентувати біля дошки.

І команда

1.                 (в) ЗНО 2011

 

2.               Щоб ви вибрали б: з`їсти кавун, радіус якого дорівнює 10 см, у трьох. Чи з’їсти кавун радіус якого 20 см у вісьмох? (Вважаємо, що кавун має форму кулі)?

Відповідь: у вісьмох.

 

3.               (1-г; 2-а; 3-в; 4-б)  ЗНО 2013

 

 

ІІ команда

1.                      (г) ЗНО 2010

 

2.                      Діаметр Місяця складає (приблизно) четверту частину діаметра Землі. Знайдіть відношення об’ємів Землі та Місяця, вважаючи їх за кулі.

Відповідь: 64 : 1.

3. В циліндр вписано кулю радіуса R. Знайти відношення об’ємів кулі та циліндра .

Якщо циліндр, описаний навколо кулі, то цей циліндр рівнобокий.

Нехай R — радіус кулі, тоді радіус циліндра дорівнює R, а висота циліндра 2R.

  

 

ІІІ команда

1.                                                     (а) ЗНО 2009

 

 

           2. (а)

 

3. У кулі, радіус якої дорівнює 10 см, просвердлений циліндричний отвір уздовж його діаметру. Обчислити об'єм решти кулі, якщо радіус отвору дорівнює 6 см. Значення числа π в обчисленнях округлити до 3.

VІІІ. Підсумок уроку. Рефлексія.

А, чи знаєте ви, що 4 жовтня 1957році був запущений перший штучний супутника Землі. Супутник мав форму кулі діаметром 58 см і вагою 83,6 кг.

 Пропоную обчислити об'єм першого штучного супутника Землі.

Оцінюваня.

І на завершення:

• Що повторили на уроці?
• Що вивчили?
• Що вдалося?
• Що не вдалося?

Або використати Метод «Прес»

•                Позиція «Я вважаю, що …»
•                Обгрунтування «Тому що …»
•                Приклад «Наприклад …»
•                Висновок «Отже, я вважаю …»

Вчитель. Мудрець сказав: Дві людини, які обмінялись золотими монетами, не стали багатшими. Але якщо вони обмінялись думками, то кожний з них стає вдвоє багатшим.  Ця істина – проста, але зміст її – глибокий. І ви, я впевнена, обмінюючись сьогодні думками, ідеями, знаннями, стали багатшими інтелектуально, бо вчилися практичному застосуванню отриманих знань до розв’язування задач.

Я бажаю вам щоб знання, які ви отримали на уроці, стали вам в нагоді. В першу чергу бажаю успіхів при складанні ЗНО та ДПА.

ІХ. Домашнє завдання. Диференційоване домашнє завдання.

1.§ 34, № 1346, № 1353

2. Знайти та підготувати повідомлення про цікаві факти з життя та діяльності  видатного вченого, педагога Михайла Васильовича Остроградського.

 Додатково: скласти задачу прикладного змісту по темі « Об’єм кулі».