Конспект заняття "Парадокси теорії ймовірностей"

ТЕМА: ПАРАДОКСИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ.

Тип заняття: комбіноване заняття узагальнення та систематизації знань.

Мета: узагальнити та систематизувати знання студентів з теми, формувати навички застосовувати набуті знання для розв’язування практичних задач, використовуючи історичний матеріал, задачі підвищеної складності.

Освітні завдання:

• закріпити на практиці теоретичні знання;
• формувати вміння застосовувати теоретичні знання для розв’язування задач;
• формувати інформаційно-комунікативну компетенцію, одну з ключових компетенцій;
• ознайомити студентів з історією виникнення теорії ймовірностей;
• ознайомити з поняттям парадокс, зосередившись на розгляді парадоксів у теорії ймовірностей;
• здійснити контроль за допомогою тестів.

Розвиваючі завдання:

• розвивати пізнавальний інтерес, інтелектуальні та творчі здібності студентів;
• формувати інформаційну культуру, навики пошуку та аналізу інформації;
• розвивати загальнонаукові уміння, навички та способи діяльності
• здійснювати дослідницьку діяльність.

Виховні завдання:

• виховувати вміння самостійної діяльності;
• формувати свідомі мотиви навчання, самовдосконалення та самовиховання;
• виховувати цілеспрямованість та наполегливість у досягненні мети;
• виховувати взаємодопомогу.

Обладнання: комп’ютер, мультипроектор, слайдова презентація, роздатковий дидактичний матеріал (тести з шаблонами для взаємоперевірки), буклети «Піонери теорії ймовірностей».

Хід заняття

1. Організаційний момент

Перевірка присутніх

2. Перевірка домашнього завдання

Чи є запитання до домашнього завдання?

Двоє студентів на дошці розв’язують домашнє завдання (задачі професійного спрямування), один відповідає усно з місця, у решти перевіряється наявність виконаного завдання.

3. Повідомлення  теми і мети заняття

Вступне слово викладача

Сьогодні неможливо вказати науку, яка б в тією чи іншою мірою не використовувала б методи сучасної теорії ймовірностей. Ймовірнісні та статистичні поняття й методи широко використовуються у сучасному природознавстві, як теоретична основа для обробки результатів спостережень у фізиці, механіці, астрономії, геодезії, біології, обчислювальній математиці, програмуванні, економіці, військовій справі, а також для обґрунтування математичної та прикладної статистики, яка в свою чергу використовується при плануванні і організації виробництва, у спеціальності, до якої ви готуєтесь, аналізі технологічних процесів та для багатьох інших цілей.

Ще в 1812 році відомий французький математик П’єр Симон Лаплас в роботі «Аналітична теорія ймовірностей» писав: «Цікаво те, що науці, яка почалась з розгляду азартних ігор, судилося стати одним з найважливіших об’єктів людського знання».

Ми з вами закінчуємо вивчати розділ теорії ймовірностей «Випадкові події». Ви вже багато знаєте та вмієте. А сьогодні ми розв’язуватимемо задачі, тобто будемо застосовувати ваші знання на практиці.

Та перед тим як перейти до задач, а ми сьогодні розглянемо не звичайні задачі, потрібно пригадати відомості з теми «Випадкові події».

4. Актуалізація опорних знань

Тест, взаємоперевірка, оголошення оцінок.

5. Поетапне вивчення нового матеріалу із закріпленням його в процесі викладання.

Виконуючи тест ви повторили ті основні поняття, які нам необхідні для розв’язування задач. Я вже говорила, що задачі, які ми сьогодні розв’язуватимемо не прості, це історичні задачі, так звані задачі-парадокси.

Але для початку вияснимо, що таке парадокс. Вам було завдання знайти визначення поняття «парадокс».

Парадокс  (від др.-гр. παράδοξος — несподіваний, дивний; від др.-гр. παρα-δοκέω — здається)- висловлювання, яке розходиться із загальноприйнятою думкою і здається нелогічним (часто лише при поверхневому розумінні).

Саме поняття ймовірності здається інтуїтивно зрозумілим і простим. Але в той же час, як колись сказав Чарлз Сандерс Пірс: «В жодній іншій галузі математики дослідник не помиляється так легко, як в теорії ймовірностей». Доказом цього твердження є те, що історія розвитку теорії ймовірностей насичена значною кількістю цікавих парадоксів. Деякі з них стали відправною точкою великих змін. Видатні відкриття, як правило, розв’язували видатні парадокси, і в той же час ставали джерелами нових парадоксів. В історії теорії ймовірностей парадокси відігравали і продовжують відігравати надзвичайно важливу роль, часто виступаючи поштовхом і мотивом для подальшого розвитку.

Навіть саме висловлювання "обчислити ймовірність" містить парадокс. Адже ймовірність - це поняття, протилежне достовірності, тобто те, чого не знають. Як же можна обчислювати те, про що немає жодних знань?

Саме на сьогоднішому занятті ми з вами познайомимося з найвідомішими парадоксами теорії ймовірностей, без яких, можливо, зовсім по-іншому відбувався б розвиток усієї теорії. Спробуємо, маючи вже певні знання з теорії випадкових подій, пояснити ці парадокси, пройти тим же шляхом, що і відомі вчені у свій час.

Отож перейдемо до парадоксів і їх історії.

1.       Парадокси гральних кубиків

Хоча сьогодні теорія ймовірностей має стільки ж спільного з азартними іграми, як геометрія з вимірюваннями площі при земельних роботах, все ж таки перші парадокси виникли з популярних азартних ігор.

Трішки з історії парадоксу

Гра в кубики була найпопулярнішою азартною грою до кінця середньовіччя. Саме слово “азарт” походить від арабського слова “аль-зар”, що перекладається як “гральний кубик”. Якщо картярські ігри стали популярними в Європі лише в ХІV столітті, то ця користувалася успіхом ще в Древньому Єгипті і пізніше в Греції, а потім в Римській імперії. Найбільш ранньою книжкою з теорії ймовірностей є “Книга про гру в кубики” Джероламо Кардано (1501-1576).

Парадокс Тарталья

На яку суму очок, що випали при киданні двох гральних кубиків, найвигідніше робити ставки?

Пояснення

2 1 + 1

3 1 + 2; 2 + 1

4 1 + 3; 3 + 1; 2 + 2

5 1 + 4; 4 + 1; 2 + 3; 3 + 2

6 1 + 5; 5 + 1; 2 + 4; 4 + 2; 3 + 3

7 1 + 6; 6 + 1; 2 + 5; 5 + 2; 3 + 4; 4 + 3

8 2 + 6; 6 + 2; 3 + 5; 5 + 3; 4 + 4

9 3 + 6; 6 + 3; 4 + 5; 5 + 4

10 4 + 6; 6 + 4; 5 + 5

11 5 + 6; 6 + 5

12 6 + 6

Видно, що  доцільно зробити ставку на випадання у сумі 7 очок, оскільки вона виходить найбільшою кількістю варіантів, а, отже, має більше шансів на випадання, чим інші суми.

Помилка Даламбера

Підкидаємо дві однакові монети. Яка ймовірність, що вони впадуть на одну і ту ж сторону?

Пояснення

Аж дивно, що ця задача вважалася страшенно складною.

Дослід має чотири рівноможливі наслідки:

1) Обидві монети впадуть на «цифру»;

2) Обидві монети впадуть на «герб»;

3) перша з монет впаде на «цифру», друга на  «герб»,

4) перша з монет впаде на «герб», друга на  «цифру».

З них сприятливими буде два наслідки, тому

Зауваження

Ця задача певним чином звязана з напрямками фізики ХІХ і ХХ століть. Нехай замість кубика ми маємо справу з фізичними частинками. Нехай кожна грань кубика відповідає фазовій комірці, в якій частинка опиняється випадковим чином і яка характеризує її стан. В цьому випадку гра в кубики єквівалента моделі Максвелла-Больцмана для фізичних частинок. В цій моделі, яка звичайно використовується для молекул газу, кожна частинка з рівними шансами потрапляє в довільну комірку, так що при заданні просторі рівноможливих подій слід враховувати порядок так само, як і в задачі про кубики.

Парадокс де Мере

Трішки з історії парадоксу

З цим відомим парадоксом пов’язана історія, з якою часто ідентифікують момент зародження теорії ймовірностей як науки. У цій історії, яку вперше, як вважається, опублікував Лейбніц, розповідається про те, що відомий французький гравець XVII шевальє де Мере по дорозі в свій маєток у Пуату зустрів одного з найвідоміших вчених того часу Блеза Паскаля. Де Мере поставив Паскалю дві задачі, обидві пов’язані з азартними іграми. Ці задачі Паскаль у своєму листуванні в 1654 р. обговорював з іншим відомим вченим П’єром Ферма. При цьому обидва науковці прийшли до однакових висновків.

Парадокс

При чотирикратному підкиданні грального кубика що відбувається частіше: шістка випаде хоча би один раз чи шістка не випаде ні разу

Пояснення

•      На кожній з чотирьох кубиків може випасти будь-яке із шести чисел незалежно один від одного. Всього варіантів

      6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296

•      Кількість варіантів без шістки буде відповідно дорівнювати

      5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625

•      У решті 1296 – 625 = 671 випадків шістка випаде хорча б один раз.
•      Отже, поява шістки хоча б один раз при чотирикратному підкиданні відбувається частіше, ніж її не поява.

Парадокс розподілу ставки Пачолі

Трішки з історії парадоксу

Цей парадокс був вперше опублікований у Венеції в 1494 р. у книзі Луки Пачолі «Сума знань з арифметики, геометрії, відношень та пропорційності». Сам Пачолі не пов’язував цю задачу з теорією ймовірностей, він розглядав її як задачу про пропорції. Її намагався розв’язати Н. Тарталья, але його розв’язання виявилось невірним. Після кількох невдалих спроб Паскаль і Ферма в 1654 р. незалежно один від одного знайшли правильне розв’язання.

1654 – рік, коли Паскаль і Ферма після декількох невдалих спроб розв’язали задачу «про поділ ставки», відомої ще математикам XV сторіччя, багато хто вважає роком народження теорії ймовірностей як науки. Настільки несподіваним і парадоксальним виявився результат, отриманий цими видатними французами.

Парадокс

Суть парадоксу полягає в наступному: двоє рівносильних гравців грають у гру. Той, хто першим виграє 6 партій, отримає весь приз. Припустимо, що гра зупинилась в той момент, коли перший гравець виграв 5 партій, а другий - 3. Як справедливо розподілити приз?

Зауважимо, що насправді ця проблема не є парадоксом, але безуспішні спроби багатьох відомих вчених розв’язати її та суперечливі відповіді створили їй імідж парадоксу. Згідно одного з розв’язань, приз слід розподілити у відношенні 5:3 (за кількістю виграних партій). Тарталья запропонував ділити приз у відношенні 2:1 (оскільки перший гравець виграв на 2 партії більше, що складає третину від необхідних для перемоги 6 партій, то перший гравець повинен отримати третину призу, а частину, що залишилась слід розділити навпіл).

Насправді ж справедливим є розподіл у відношенні 7:1.

Пояснення парадоксу

Для визначення невідомих ймовірностей можна скористатись ідеєю Ферма, який запропонував продовжити гру трьома фіктивними партіями (навіть якщо якісь із них виявляться зайвими, тобто перший гравець виграє приз раніше). Таке продовження робить всі 2*2*2=8 наслідків рівноймовірними.

Оскільки тільки в одному з 8 випадків другий гравець отримає приз, а в усіх інших перемагає перший гравець, то справедливим є розподіл у відношенні 7:1.

Парадокс незалежності Галілео Галілея

Ми його трішки перефразуємо на сучасний лад.

Юнак збирається зіграти три теннісних матчі зі своїми батьками, і він повинен перемогти два рази підряд. Порядок матчів може бути або “батько – мати – батько”, або “мати – батько – мати”. Юнакові слід вирішити, якому порядку йому слід віддати перевагу, враховуючи, що батько грає краще матері.

Спочатку може здатися, що порядок (2) для юнака кращий, тому що він двічі грає з матір'ю. Але в цьому випадку йому доведеться за одну спробу перемогти батька, інакше він не переможе два рази поспіль. Що ж буде, якщо юнак вибере варіант (1)? Якщо він виграє з ймовірністю p у батька і з ймовірністю q у матері, то p<q, тому що батько грає краще матері.

Отож, для першого випадку ймовірність виграшу юнака становитиме pqp+pq(1-p)+(1-p)qp=pqp+pq-pqp+pq-pqp=pq+qp-pqp

Для другого випадку ймовірність становитиме qpq+qp(1-q)+(1-q)pq=qpq+qp-qpq+pq-qpq=qp+pq-qpq.

Не важко побачити, що ймовірність виграшу юнака для першого випадку більша, за ймовірність виграшу у другому випадку.

І ще один цікавий парадокс – парадокс Монті Холла

«Парадокс Монті Холла – одна з відомих задач теорії ймовірності, розв’язання якої, на перший погляд, протирічить здоровому глузду. Завдання формулюється як опис гіпотетичної гри, заснованої на американському телешоу «Let’s Make а Deal», і названа на честь ведучого цієї передачі. Найбільш поширене формулювання цього завдання, опубліковане в 1990 році в журналі Parade Magazine, звучить таким чином:

Ви берете участь в телевікторині, і у вас є шанс виграти машину. Ведучий показує троє дверей. Він говорить, що за однією знаходиться машина, а за двома іншими – дві кози. Він просить вас вибрати одну з дверей. Ви вибираєте двері, але вон поки що залишаються закритими. Ведучий відкриває одну з тих двох дверей, які ви не вибрали, і демонструє вам козу (сам він знає, що ховається за кожною з дверей). Потім він говорить, що у вас є один, останній шанс передумати, перш ніж відкриються двері і ви отримаєте машину або козу. І він запитує, чи не хочете ви змінити рішення і вибрати інші двері. Що ви станете робити?

Правильною відповіддю до цього завдання є наступне: так, шанси виграти автомобіль збільшуються в два рази, якщо гравець слідуватиме пораді ведучого і змінить свій первинний вибір. Найбільш просте пояснення цієї відповіді полягає в наступному міркуванні. Для того, щоб виграти автомобіль без зміни вибору, гравець повинен відразу вгадати двері, за якими стоїть автомобіль. Вірогідність цього дорівнює 1/3. Якщо ж гравець спочатку потрапляє на двері, за якими стоїть коза (а вірогідність цієї події 2/3, оскільки є дві кози і лише один автомобіль), то він може однозначно виграти автомобіль, змінивши своє рішення, оскільки залишаються автомобіль і одна коза, а двері з козою ведучий вже відкрив. Таким чином, без зміни вибору гравець залишається при своїй первинній вірогідності виграшу 1/3, а при зміні первинного вибору, гравець обертає собі на користь в два рази більшу ймовірність. Також інтуїтивне зрозуміле пояснення можна зробити, помінявши місцями дві події. Перша подія – ухвалення рішення гравцем про зміну дверей, друга подія – відкриття зайвих дверей. Це допустимо, оскільки відкриття зайвих дверей не дає гравцеві жодної нової інформації . Тоді завдання можна звести до наступного формулювання. У перший момент часу гравець ділить двері на дві групи: у першій групі одні двері (ті, що він вибрав), в другій групі двоє дверей, що залишилися. У наступний момент часу гравець робить вибір між групами. Очевидно, що для першої групи вірогідність виграшу 1/3, для другої групи 2/3. Гравець вибирає другу групу. У другій групі він може відкрити обидва дверей. Одну відкриває ведучий, а другу сам гравець.

Зауваження

У фільмі «Двадцять одне» викладач, Мікі Роса, пропонує головному героєві, Бену, розв’язати таку задачку: за трьома дверима два самоката і один автомобіль, необхідно вгадати двері, щоб виграти автомобіль. Після першого вибору Мікі пропонує змінити вибір. Бен погоджується і математично аргументує своє рішення. Так він мимоволі проходить тест в команду Мікі.

У романі Сергія Лукьяненко «Недотепа» головні герої за допомогою такого прийому виграють карету і можливість продовжити свою подорож.

У телесеріалі «4ісла» (13 епізод 1 сезону «Man Hunt») один з головних героїв, Чарлі Еппс, на популярній лекції з математики пояснює парадокс Монті Холла, наочно ілюструючи його за допомогою маркерних дощок, на зворотних сторонах яких намальовані кози і автомобіль. Чарлі дійсно знаходить автомобіль, змінивши вибір. Проте слід зазначити, що він проводить всього один експеримент, тоді як перевага стратегії зміни вибору є статистичною, і для коректної ілюстрації слідує проводити серію експериментів.

Парадокс Монті Холла обговорюється в щоденнику героя повісті Марка Хеддона «Загадкове нічне вбивство собаки».

6. Підведення підсумків заняття

7. Повідомлення домашнього завдання та завдання на самостійне опрацювання

Додатки

З першого листа Блеза Паскаля до П’єра Ферма

Париж,

передмістя Сен-Мішель,

28 листопада 1654 року,

пану П’єру Ферма,

Тулуза.

“...Більшість людей вважають: якщо вони про щось не мають повного знання (а ми ніколи не маємо повного знання), то вони взагалі про це не знають.

Я ж упевнений, що такий погляд глибоко помилковий. Часткове знання теж є знання, і неповна впевненість повною мірою має деяке значення, особливо коли мені відома міра цієї впевненості. Хто-небудь може запитати : “А чи можна виміряти міру впевненості числом?” Звичайно, відповім я: особа, що грає в азартні ігри, обгрунтовує свою впевненість саме цим. Коли гравець кидає гральну кістку, він наперед не знає , яка саме кількість очок випаде. Але дещо він усе ж знає.

Наприклад те, що всі шість чисел – 1, 2, 3, 4, 5, 6 – мають однакову частку успіху. Якщо ми домовимося прийняти можливість виникнення достовірного за одиницю, то можлвість випадання шістки, так само як і кожного з решти п’яти чисел, виразиться дробом 1/6.

...Якщо шанси наставання деякої події і того, що вона не настане, точно збігаються (як, наприклад, при киданні монети шанси випадання орла і решки), то я кажу, що міра впевненості в наставані цієї події складає 1/2, тобто вона точно дорівнює мірі впевненості в тому, що ця подія не настане.

...Зауважу відразу, що міру можливості (впевненості) події я назвав ймовірністю. Я багато розмірковував над вибором відповідного слова і нарешті саме його вважаю найвиразнішим. На мою думку, воно повністю відповідає звичайному слововживанню”.