Координати і вектори у просторі

  ТЕМА : Декартові координати в просторі. Відстань між точками та координати середини відрізка. Вектори в просторі, рівні вектори, компланарні вектори. Дії з векторами та їх властивості.

1. Декартові координати в просторі

Візьмемо три взаємноперпендикулярніпряміOх, Oy, Oz, якіперетинаються в однійточціО (див.рисунок).

Проведемо через кожну пару цихпрямихплощину. Площина, яка проходить через пряміOх і Oу, називаєтьсяплощиноюOxy. ДвііншіплощининазиваютьсявідповідноOxzіOyz.
ПряміOx, Oy, Ozназиваютьсякоординатними осями (Ox — вісьабсцис, Oy — вісь ординат, Oz— вісьаплікат).
Точка їхперетинуО — початок координат,

площини Oxy, Oxz,Oyz — координатні площини.
Точка О розбиваєкожну з осей координат на двіпівпрямі — півосі.Домовимось одну пів ось називати додатною, а другу — від’ємною.Візьмемо тепер довільну точку А й проведемo через не їплощину, паралельну площині Oyz. Вона перетинаєвісь Ox  у деякій точці. Координатою х  точки А називається число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині від­різка. Це число додатне, якщо точка лежить на додатній півосі Оx, івід’ємне, якщо точка лежить на від’ємній півосі.
Якщо точка збігається з точкоюО, то вважаємо, що. Аналогічно означаємо координати y і z точки A. Координати точки записуватимемо в дужках поряд  із буквеним позначенням точки: .
Якщо точка A не належить жодній із координатних площин, то ц іплощини разом із трьома паралельними їм площинами, як і проходять через точкуА, обмежують прямокутний паралелепіпед.
Звернітьувагу на таке.
1) осі Oх;

осіOу;

осіOz (див.рисунок).

2)

2. Відстань між точками та координати середини відрізка.

Для знаходження відстані між двома точками користуються формулою

Наприклад: Знайдіть відстань АВ, якщо А(-1; 3; -1), В(-1; 0; - 5).

Розв’язання

Відповідь.АВ=5

Наприклад:Знайти точку, яка знаходиться на однаковій відстані від трьох даних точок М₁(1;2), М₂(-1;-2), М₃(2;-5).

Розв’язання

Позначимо шукану точку через М(х; у), тоді М₁М = М₂М = М₃М.

За формулою відстані між двома точками:

Отже,

Нехай  – середина відрізка де .  Тоді

Наприклад: Які координати середини С відрізка АВ, якщо А(0; 2; -11), В (2; 0; -1)?

Розв’язання

Відповідь. С(1;1;-6).

1. Вектори в просторі, рівні вектори, колінеарні вектори, компланарні вектори. Дії над векторами.

 Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Позначають вектор або двома великими літерами зі стрілкою (іноді з рискою) над ними, або однією маленькою  літерою зі стрілкою.

Два вектора називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого. Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той самий напрям і однакову довжину. У  колінеарних векторів відповідні координати пропорційні. Довжина вектора називається абсолютною величиною або модулем вектора і позначається .