Координати і вектори у просторі

ТЕМА: Скалярний добуток. Кут між векторами,

Скалярний добуток векторів, що задані своїми координатами.

Якщо вектори задані своїми координатамиiв прямокутній декартовій  системі координат, то

Отже, скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Якщо з двох векторів хоча б один  вектор нульовий, то скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю.

Скалярний добуток векторів позначають . Отже, за означенням

                  (1)

Якщо , то скалярний добуток набирає вигляду . Його називають скалярним квадратом вектора і позначають символом . Очевидно, що .

Властивості скалярного добуткувекторів

1.Якщо вектори ненульові, то скалярний добуток дорівнює нулю тільки у випадку, якщо перпендикулярні.

2. Якщо   - гострий кут, то

3.Якщо  - тупий кут, то

4.Скалярний добуток має переставну властивість

5. Скалярний добуток має розподільну властивість

6. Скалярний множник можна виносити за знак скалярного добутку, тобто

Обчислення кута міждвома векторами.

За означенням скалярного добутку    .

Отже, якщо , то

                 (2)

тобто, косинус кута між ненульовими векторами дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їхніх довжин.

Нехай у просторі маємо прямокутну декартову систему координат, і нехай задано вектори задані своїми координатамиi. Тоді як відомо

, ,  , дістанемо формулу

        (3)

Ця формула дає змогу обчислити косинус кута між векторами  за координатами цих векторів.

Приклади

1.  Знайти скалярний добуток векторів і , якщо (-2; 3; 1), (-4; -5; 2).

Розв’язування.

· =-2

2 . Дано вектори (2; -1; 4), (5; 3; n). При якому значенні п скаляр­ний добуток векторів дорівнює -3?

Розв’язування.

· =2;

10-3+4n=-3;

4n= -10;

 n= -2, 5