Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості.

Мета уроку: Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь п-го степеня і арифметичний корінь п-го степеня. Вивчення властивостей коренів п-го степеня.

 

Хід уроку

 

I. Повторення відомостей про квадратний корінь.

Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 1.

Питання до класу

1.  Що називається квадратним коренем з числа?

2.  Чому дорівнює квадратний корінь з чисел:

а) 25;      б)16;      в) 100;     г) 0;       д) -10?

3.  Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?

4.  Що називається арифметичним квадратним коренем з числа а?

5.  При яких значеннях а має смисл вираз _а ?

Таблиця 1

квадратного кореня Означення з числа а:	Квадратні корені Означення арифметичного  квадратного кореня з числа а:
число, квадрат якого дорівнює а.	b 0, аb 2 a. b 
Корінь рівняння: х2 = а.	Тотожності  а2 = а,  а > 0. а = | a |, a  R.       Основні властивості , a0, b0.

 

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 2).

Коренем п-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 2³ = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 3⁴ = 81, (-3)⁴ = 81.

   Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хⁿ = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а.

   Якщо п — парне, тобто п = 2k, k  N, то рівняння х^2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0. 

   Якщо п — непарне, тобто п = 2k + 1, k  N, то рівняння х^2k+1 = а завжди має лише один корінь.

 

Таблиця 2

Корінь n-г Означення кореня n-го степеня з числа а: число, n -й степінь якого дорівнює а. Корінь рівняння: х2 = а	o степеня Означення арифметичного кореня n-го степеня з числа а: n ab                                                         b 0 a 0  n a b  nN,n 2  3 a , 5 a ,…,2k1a - існують для аR. Якщо а < 0, то 2k1a = - 2k1a . a , 4 a , … , 2k a - існують для а  0.   Тотожності Якщо n а існує, то n an = а .  2n 2n a , а  R а  2n1 2n1 a , а  R. а        Основні властивості ,

 

Невід'ємний корінь рівняння хⁿ = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.

 

 

Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так: ⁿ а . Число n називають показником кореня, число а — підкореневим числом (виразом).

Якщо п = 2, то замість ² а пишуть а і називають арифметичним квадратним коренем. 

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем. 

У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметичний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь п-го степеня».

 

Приклад. Знайдемо значення: 

а) ³ 8 ;       б) ⁴ 81;      в) ⁵ 1 ;        г) ¹⁰⁰0 .

а) ³ 8 = 2, оскільки 2³ = 8 і 2 > 0;

б) ⁴ 81 = 3, оскільки 3⁴ = 81 і 3 > 0;

в) ⁵ 1 = 1, оскільки 1⁵ = 1 і 1 > 0;

г) ¹⁰⁰0= 0 , оскільки 0¹⁰⁰ = 0.

Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже, вираз ^2k a має смисл, якщо a0 і набуває невід'ємних значень.

Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.

Для коренів непарного степеня справедлива рівність 2k^1a = – ^2k1a .          2k1 2k12k1a2k1 a .

Дійсно  2k 1a             (1)

Рівність 2k^1a = – ^2k1a дозволяє виразити корінь непарного степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.

 

Приклад. Знайдемо значення:

а) ³ 8 ;           б) ⁵ 32 ;          в) ³ 27 .  

a) ³ 8 = - ³ 8 = -2; б) ⁵ 32 = - ⁵ 32 = -2 ; в) ³ 27 = - ³ 27 = -3 .

2k1a має смисл для будь-якого а  R і може набувати будь-яких Отже, вираз значень.

 

Виконання вправ______________________________ 1. Розв'яжіть рівняння:

а) х³ = 64;      б) х⁵ = - ;     в) х⁴ = 81;  г) х⁶ = - 64;    д) х³ = 15;   е) х⁴ = 15.

Відповідь: а) 4;   б) -  ; в) 3; - 3; г) немає коренів; д) ³ 15 ; е) ⁴ 15 ; - ⁴ 15 .

2. Знайдіть область визначення функцій:

 

              г) у = _                          ;                д) у = ⁶ х +⁴ х ;     е) у =        _  

                               3 х 3 х                                                                              6 х 10 х

Відповідь: а) х _ 2;   б) х  R;   в) х _ 3;   г) х ≠  0;   д) 0; е) не визначена.

 

Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степеня випливає:

 

^1.                 Якщо ⁿ а існує, то ( ⁿ а )ⁿ = а .

                                                     2k                                             а, якщоа 0,

^2.                 а2k  a а, якщоа 0.

 

^3.                 2n1а2n1 a

 

Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні властивості мають і

корені n-го степеня.

 

  Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-го степеня із                             чисел  a іb дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку: ⁿ а ·ⁿ b =ⁿ аb .

Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го

ⁿ a        a степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки: _{n b}  ⁿ _b .

Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа

   k       ⁿ a^k . а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а: ^{n a }

 

Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна     перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: m n a  n m a  mn a .

Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкореневого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число: np amp  n am .

 

Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3—5:

3)   Так як а _ 0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює а^k. Згідно з властивостями степенів з цілим показником маємо:

  n аk n n аkn n аn k ak



4)   При а > О ліва і права частини невід'ємні. Тоді

 

np amp — це таке невід'ємне число, n-й степінь якого

5)   Згідно з означенням кореня дорівнює а^mp, тобто досить довести ⁿ a^m  a^mp . np

ⁿ a^m np ⁿ a^m n p a p  mp

Маємо m                                                                                           a . 

                                                             

Виконання вправ__________________ 1. Знайдіть значення виразів: ³ 0,027125; б) ⁴ 2560,0081; в) ³ 125 ; г) ⁴ 625 ; д) ³ 33 .  а)

                                                                                                             1000           16             8

Відповідь: а) 1,5;  б) 1,2;   в) 0,5;    г) 2,5;   д)  .

2.  Обчисліть:

³ 2 ·³ 500;  б) ⁴ 324·⁴ 4 ;    в) ³₃542 ;    г) ⁴₄805 . а) Відповідь: а) 10;   б) 6;   в) 3;   г) 2.

3.  Знайдіть корінь із степеня:

а) 3 59 ;    б) 5 0,310 ;   в) 5 0,310 215 ; г) 10  1 20 430 .

 2

Відповідь: а) 125;   б) 0,09;   в) 0,72;  г) 16. 

4.  Спростіть вирази:

               а) ^{8 3} 25 ;     б) ^{3 3} 27 ;     в)         4 ;      г) ³       5 .  

 

Відповідь: а) ²⁴ 25 = ¹² 5 ;   б) 3 ;   в) ⁴ 2 ;   г) ⁶ 5 .

 

III. Підсумок проведення уроку.