«Краса чисел» Математика

 

 

 

 

Посібник

 

 

 

 

 

«Краса чисел»

Математика

ЗМІСТ

Введення.

Основна частина.

1. Про числе.
2. Фігурні і многоугольные числа.
3. Простые числа і числа-близнюки.
4. Зовершенные і дружественные числа.
5. Палиндромы і репьюниты.

Висновок.

Список використаних джерел.

Додатка.

Анотація

 

Чи можна уявити собі світ без чисел? Сучасна людина в повсякденному житті постійно стикається з числами: ми запам'ятовуємо номери телефонів, в магазині підраховуємо вартість покупок. Числа, цифри... вони з нами скрізь. Саме виникнення поняття числа – це одне з геніальних винаходів людського розуму. Дійсно, числа вимірюють, порівнюють, обчислюють, а ще малюють, проектують, грають, роблять умовиводи, висновки.

Ще в початковій школі ми знайомилися з натуральними числами, дізналися, що числа бувають парними і непарними, на уроках математики в 6 класі з'являються числа прості і складені, цілі і дробові. Виявляється, есть ще числа вчинені і дружні, фігурні і багатокутні, паліндроми і репьюниты. Числа бувають різні, про яких я, учениця 7 класу, ще не знаю.  Історія чисел захоплююча і загадкова. Людству вдалося встановити цілий ряд законів і закономірностей світу чисел, розгадати деякі таємниці і використовувати свої відкриття в повсякденному житті. Без чудової науки про числа – математики – немислимо сьогодні ні минуле, ні майбутнє. А скільки еще нерозгаданого! У своїй роботі я розкриваю світ дивовижних чисел, їх красу, про яких в шкільному підручнику математики не завжди є відомостія.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основна частина

1. Про числа

Число є одним з основних понять математики. Існує велика кількість визначень поняття «число». Про числах перший почав міркувати Піфагор. Піфагору належить вислів «Все прекрасно завдяки числу». За його вченням число 2 означало гармонію, 5 – колір, 6 – холод, 7 – розум, здоров'я, 8 – кохання та дружбу. Перше наукове визначення числа дав Евклід у праці «Начала»: «Одиниця є то, відповідно, з чим кожна з існуючих речей називається одного. Кількість є множина, складена з одиниць». Так визначав поняття числа і російський математик Магницький в підручнику «Арифметика» (1703 р.).  Вважається, що термін «натуральне число» вперше застосував римський державний діяч, філософ, автор праць з математики, теорії музики Боецій (480 – 524 рр..), але ще грецький математик Нікомах з Геразы говорив про натуральному, тобто природному ряді чисел.

Первісні уявлення про число з'явилися в епоху кам'яного століття, при переході від простого збирання їжі до її активного виробництва. Числові терміни важко зароджувалися і повільно входили до вживання. Сто століть знадобилося, щоб вибудувати ряд коротких натуральних чисел від одиниці до нескінченності:1, 2, ... ∞ . Натуральних тому, що ними позначалися реальні неподільні об'єкти: люди, тварини, речі... Найважче було придумати нуль. Його придумали на багато століть пізніше, ніж інші цифри. Перша точно датована запис, в якій зустрічається знак нуля, відноситься до 876 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Фігурні і многоугольные числа.

Давним-давно, допомагаючи собі при рахунку камінчиками, люди звертали увагу на правильні фігури, які можна викласти з камінчиків. Можна просто викладати камінчики в ряд: один, два, три. Якщо класти їх у два ряди, щоб виходили прямокутники, то виходять всі парні числа. Можна викладати каміння у три ряди: вийдуть числа, що діляться на три.

Фігурні числа – загальна назва чисел, пов'язаних з тією або іншою геометричною фігурою.

Розрізняють наступні види фігурних чисел:

Лінійні числа – числа, не розкладаються на множники, тобто ряд збігається з рядом простих чисел, доповненим одиницею: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Плоскі числа – числа, представимые у вигляді добутку двох співмножників, тобто складові: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...

Тілесні числа – числа, представимые добутком трьох співмножників: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, ...

Викладаючи різні правильні багатокутники, можна отримати різні класи багатокутних чисел. Імовірно від фігурних чисел виникло вираз: «Звести число в квадрат чи куб».

Послідовність трикутних чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 і т. д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 і т. д.).

Квадратні числа представляють собою добуток двох однакових натуральних чисел, тобто є повними квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, і т. д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).

П'ятикутні числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Пірамідальні числа виникають при складанні круглих камінчиків гіркою так, щоб вони не розкочувалися. Виходить піраміда. Кожен шар у такій піраміді - трикутне число. Нагорі один камінчик, під ним - 3, під тими - 6 і т. д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Кубічні числа виникають при складанні кубиків: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... і так далі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Прості числа і числа-близнюки.

Такі вони «прості», ці прості числа?

Числа, які мають лише два різних дільника, називаються простими. Наприклад, 7=1∙7, 23=1∙23 і т. д. замое маленьке просте число – 2. Це єдине парне просте число.

Проведемо невелике дослідження. Уявімо натуральні числа у вигляді добутку простих множників: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 і т. д. Тепер легко пояснити роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будують всі інші числа. Можна порахувати всі прості числа? Грецький геометр Евклід у своїй книге «Початку» стверджував зледующее: найбільшого простого числа не існує.

Т. к. прості числа відіграють важливу роль у вивченні всіх інших чисел, треба було скласти їх список. Звичайно, не можна було сподіватися отримати список всіх простих чисел: ми вже знаємо, що найбільшого простого числа немає. Тому складання списку всіх простих чисел настільки ж безнадійна справа, як складання списку всіх натуральних чисел. Але можна спробувати скласти список всіх простих чисел, що не перевершують, наприклад, тисячі. Над тим, як складати списки, задумався, який жив у III столітті до н.е. олександрійський учений Эрастосфен. Це був напрочуд різнобічна людина: він займався і теорією чисел, і вивчав зірки. Але назавжди його ім'я увійшло в науку саме у зв'язку з придуманим або методом знаходження простих чисел. З «решетом Ератосфена» ми знайомилися з підручником. Розглянемо кілька інших цікавих методів відшукання простих чисел. Розмістимо послідовність натуральних чисел 6 стовпців (Додаток 1).

Отримаємо модель «решета» Эрастофена для відсіювання простих чисел. Всі числа в кружечках – прості. Складені числа перелікуеркнуты. Систему проведення прямих, викреслюють складені числа, зрозуміти легко. Всі прості числа від числа 5 і далі звили собі гніздечка тільки в 2 стовпчиках: у 4 і 6. Коли в якомусь рядку 4 та 6 стовпців обидва прості числа, то це пара «близнюків»: (5;7), (11;13), (17;19) і т. д.

Багато математики намагалися вивести формулу для знаходження простих чисел. Жив у 17 столітті у Франції математик П'єр Ферма думав, що він знайшов таку формулу: р=2^2п + 1. Дійсно, при n = 1, 2, 3, 4 ця формула дає прості числа 5, 17, 257, 65537. Але пізніше виявилося, що при n = 5 виходить складене число: воно ділиться на 641. Досі невідомо, чи є серед чисел Ферма ще хоч одне просте, крім знайдених ним самим.

Ще одна з формул p = n² – n + 41. Для деяких чисел ця формула правильна, але не при n = 41.

Отже, прості числа можна виявити лише шляхом довгих кропітких розрахунків. Недавно було знайдено просте число, яке містить 25692 цифри! Щоб довести, що воно просте, быстродействующему комп'ютера знадобилося кілька тижнів. Як видно, прості числа спритно ховаються, і тому їх стали використовувати в секретних шифрах, а ми скористаємося простими числами для відшукання дивовижних чисел.

Прості числа, різниця яких дорівнює 2, називаються близнюками.

Цікаво, що в натуральному ряду є навіть «трійня» – це числа 3, 5 і 7.

Перші прості числа-близнюки: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73), (101,103), (107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,193), (197,199), (227,229), (239,241), (269,271), (281,283), (311,313), (347,349), (419,421), (431,433), (461,463), (521,523), (569,571), (599,601), (617,619), (641,643), (659,661), (809,811), (821,823), (827,829), (857,859), (881,883).

Всі пари простих близнюків, крім (3,5) мають вигляд 6n  1. По мірі віддалення від нуля близнюків стає все менше і менше, хоча дослідження, що проводяться в глибокому числовому космосі», продовжують виявляти ці прекрасні й загадкові пари.

Близнюки можуть збиратися в скупчення, утворюючи четвірки виду (n-4, n-2, n+2, n+4), наприклад (5, 7, 11, 13) або (11, 13, 17, 19). Як багато таких скупчень – поки невідомо.

 

 

4. Звершенные і дружественные числа.

Дільником натурального числа називається таке число, на яке число а ділиться без залишку.

Натуральне число n називається досконалим, якщо сума всіх його власних дільників, відмінних від самого n, в точності дорівнює n.

Знаменитий грецький філософ і математик Нікомах Герасский, що жив у 1 ст., зазначав, що вчинені числа красиві, а красиві речі рідкісні і нечисленні. Він не знав, скільки є досконалих чисел. Не знаємо цього і ми. До цього часу немає відповіді на два важливих питання:

1) чи Існує найбільше досконале число?

2) Існує досконале число непарне?

Першим прекрасним досконалим числом, про яке знали математики Стародавньої Греції, було число «6». На шостому місці на урочистому бенкеті лежав найповажніший, найпочесніший гість. У біблійних переказах стверджується, що світ був створений за шість днів, адже більш досконалого числа, серед скоєних чисел, ніж «6», немає, оскільки воно перше серед них.

Розглянемо число 6. Число має дільники 1, 2, 3 і саме число 6. Якщо скласти дільники, відмінні від самого числа 1 + 2 + 3 то ми отримаємо 6. Значить, число 6 дружньо самому собі і є першим досконалим числом.

Таким досконалим числом, відомих древнім, було «28». Мартін Гарднер вбачав у цьому числі особливий сенс. На його думку, Місяць оновлюється за 28 діб, тому що число «28» – досконале. У Римі в 1917 році при підземних роботах було відкрито дивну споруду: навколо великого центрального залу розташовані двадцять вісім келій. Це була будівля неопифагорейской академії наук. В ній було двадцять вісім членів. До останнього часу стільки ж членів, часто просто за звичаєм, причини якого давним-давно забуті, належало мати у багатьох вчених товариства. До Евкліда були відомі тільки ці два числа вчинених, і ніхто не знав, чи існують інші досконалі числа і скільки таких чисел взагалі може бути.

Завдяки своїй формулі Евкліда зумів знайти ще два досконалі числа: 496 і 8128.

Майже півтори тисячі років люди знали лише чотири числа вчинених, і ніхто не знав, чи можуть існувати ще числа, які можна подати у евклидовской формулою, і ніхто не міг сказати, чи можливі досконалі числа, що не відповідають формулі Евкліда. Формула Евкліда дозволяє без праці доводити численні властивості досконалих чисел.

•     Всі досконалі числа трикутні. Це означає, що, взявши вчинені число куль, ми завжди зможемо скласти з них рівносторонній трикутник.
•     Всі досконалі числа, крім 6, можна представити у вигляді часткових сум ряду кубів послідовних непарних чисел 13 + 33 + 53...
•     Сума зворотних всім делителям досконалого числа, включаючи його самого, завжди дорівнює 2.

До сьогоднішнього дня не виявлено жодного непарного досконалого числа, хоча і не доведено, що такого числа не існує. Все вчинене рідко зустрічається у світі. Рідко зустрічаються і досконалі числа.

Випробувавши величезний масив послідовних натуральних чисел, дослідники знайшли вже понад 30 вчинених: 6, 28, 496, 8128, 33550336...

Знайомлячись з досконалими, не можна не сказати про дружні числа.

Одного разу Піфагор на питання, кого слід вважати одним, нібито відповів так: «Того, хто є моїм другим я, як числа 220 і 284». Мабуть, якесь незвичайне властивість зблизило ці числа настільки, що сам Піфагор визнав їх парою дружніх чисел. Ось це властивість: 220 = 1·2·2·5·11 – поділяється на 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 (саме число виключається з переліку дільників, тоді інші дільники називаються власними), а сума всіх власних дільників числа 220 дорівнює 284.

У свою чергу, 284 = 1·2·2·71 ділиться на 1,2,4,71 і 142 і сума його власних дільників дорівнює 220! Значить, 220 – це як би «друге я» числа 284. У середні століття вважалося, що талісман з числами 220 і 284 сприяють зміцненню любові.

Можливо, що саме Піфагор і був першовідкривачем цієї пари дружніх чисел – першої, найменшою з можливих і єдино відомої протягом більш ніж 15 наступних століть.

Дамо визначення: дружніми числами називаються два натуральних числа, якщо сума власних дільників одного числа дорівнює другому числу і, навпаки, сума власних дільників другого числа дорівнює першому.

Другу пару: 17296 і 18416 – відкрив марокканський вчений ібн аль-Банна (близько 1300 р). Не знаючи цього через 300 років (1636 р) цю ж пару відкрив П'єр Ферма.

Третю пару знайшов Рані Декарт у 1638 році, а через 100 років Ейлера викладає 5 різних методів виявлення дружніх чисел і підносить їх рівно 59 пар!

Наступним математиком після Ейлера, хто поповнив колекцію дружніх чисел ще однією парою, був наш великий співвітчизник П. Л. Чебышев (1851 р), а за ним - теж однією парою (1866 р) – шістнадцятирічний італієць Ніколо Паганіні (тезка знаменитого скрипаля).

Але перевершити Ейлера за кількістю пар нікому з математиків не вдавалося аж до останніх десятиліть нашого часу. Першим побив рекорд Ейлера Поль Пулі (62 нові пари до 1948 р). Нарешті, самої рекордної видобутку досяг американець Елвін Дж. Чи – 300 пар за 1968-1972 роки! Для обчислень він користувався ЕОМ.

До теперішнього часу колекція дружніх чисел перевищує 1000 пар, в ній є тепер навіть двадцатипятизначные пари чисел. З цієї колекції рівно 13 пар розміщуються на відрізку (1:100 000) (Додаток 2).

 

 

 

 

 

 

 

5. Паліндроми і репьюниты.

Обернене число – це число, записане тими ж цифрами, але розташованими в зворотному порядку. Наприклад, 1234 звернене 4321.

Палиндромическое число – рівне зверненому. Наприклад, 121, 5995, 12321 і т. д.

Репьюниты – натуральні числа, запис яких складається тільки з одиниць. В десятковій системі числення репьюниты позначаються коротше – R_n: R₁=1, R₂=11, R₃=111, R₄=1111, ...

«Прізвище» цього сімейства – Repunit – утворена злиттям англійських слів: repeated unit (повторена одиниця). Виявлено чимало цікавих властивостей репьюнитов. Наприклад, у колекції репьюнитов виявлено поки тільки 5 простих чисел: R₂, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇ і R₁₀₃₁.

Цікава табличка простих дільників складових репьюнитов:

111=3∙ 37;

1111=11∙101;

11111=41∙271;

111111=3∙7∙ 11∙13∙37;

1111111=239∙ 4649 і т. д.

 В результаті множення репьюнитов виходить палиндромическое число:

11∙11 = 121;

11∙111 = 1221;

1111∙11 = 12221;

111² = 12321.

 

Висновки

Числа оточують людину протягом усього його життя. Історія чисел захоплююча і загадкова. Людству вдалося встановити цілий ряд законів і закономірностей світу чисел, розгадати деякі таємниці і використовувати свої відкриття в повсякденному житті. Без чудової науки – математики – немислимо сьогодні ні минуле, ні майбутнє.

В ході роботи над темою реферату я знайшла відповіді на багато питань. Прочитала багато статей в енциклопедіях, книгах і на сайтах всесвітньої павутини. Познайомивлась з історією розвитку, дізналася значення незрозумілих раніше слів, прочинива двері у світ дивовижних чисел: простих, скоєних, дружніх та ін.

Розказано далеко не всі, список дивовижних чисел можна продовжити, але варто ще раз підкреслити, що з натуральних чисел починається вся математика.

І мені б хотілося продовжити вивчати ці числа, їх властивості, закономірності....

Він такий дивовижний СВІТ чисел!

 

 

 

Список використаних джерел

 

1. Депман І. Я., Віленкін Н.Я.. За сторінками підручника математики. Посібник для учнів 5-6 кл. середовищ. шк. – К.: Просвітництво, 1989.
2. Депман І. Я. Світ чисел. К. 1982.
3. Е. Ф. Карпеченко. Таємниці чисел. Математика/дод. до газети "Перше вересня" - №13-2013 [https://ps.1sept.ru/].
4. Internet ресурси:
   •        https://dic.academic.ua/dic.nsf/ruwiki/5319
   •        https://dic.academic.ua/dic.nsf/ruwiki/27267
   •        https://www.nkj.ua/archive/articles/17984/
   •        https://matworld.ua/teorija-chisel/prostye-chisla.php
   •        Avtora. Сайт для студентів та учнів URL: https://www.avtora.com.ua (дата звернення: 29.06.2026)

 

 

 

 

 

 

Додаток

Додаток 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 2

Коротка таблиця дружніх чисел

220 і 284 (Піфагор, близько 500 року до н.е.)

1184 і 1210 (Паганіні, 1860)

2620 і 2924 (Ейлер, 1747)

5020 і 5564 (Ейлер, 1747)

6232 і 6368 (Ейлер, 1750)

10744 і 10856 (Ейлер, 1747)

12285 і 14595 (Браун, 1939)

17296 і 18416 (Ібн аль-Банна,1300; Ферма,1636)

63020 і 76084 (Ейлер, 1747)

66928 і 66992 (Ейлер, 1750)

67095 і 71145 (Ейлер, 1747)

69615 і 87633 (Ейлер, 1747)

79750 і 88730 (Рольф, 1964)