Кут між прямими та між прямою і площиною у просторі

Предмет: Геометрія                                                                                         Вчитель: Околіта М. В.

Клас 10

Тема: Кут між прямими та між прямою і площиною у просторі

Мета: формування в учнів поняття кута між двома прямими, між прямою і площиною у просторі, навчитися застосовувати ці поняття при розв’язуванні задач; розвивати увагу, розумову діяльність та пам'ять; сприяти розвитку в учнів просторової уяви, вміння знаходити даний кут на зображенні чи моделі.

Тип уроку: засвоєння знань і умінь.

Хід уроку

І. Організаційний етап.

- привітання;

- перевірка присутніх учнів і їх готовність до уроку;

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряю таким чином, проводжу бліц-опитування «Чи правильне твердження?»

ІІІ. Організація вивчення нового матеріалу.

Давайте пригадаємо з вами випадки взаємного розміщення прямих на площині. (до кожного випадку, учні повинні зробити малюнок на дощці)

• Прямі а і b перетинаються;
• Прямі а і b паралельні;
• Прямі а і b мимобіжні (це в просторі)

А тепер пригадаємо випадки розміщення прямої і площини.

• Пряма а і площина α паралельні.
•  Пряма а і площина α перетинаються.
•  Пряма а лежить в площині α.

Постає проблема – як знайти кут в кожному з цих випадків?

Мотивація навчання.

Визначити кут між мимобіжними прямими та прямою і площиною в просторі ми ще не можемо, через відсутність знань і означень.

Тому спробуємо спочатку дати відповідь на таке запитання: «У професії тракториста, де можна зустріти поняття кута і які саме кути пов’язані з трактором ви можете назвати? »

Чи можете ви сказати, як визначаються такі кути?

На сьогоднішньому уроці ми познайомимося якраз із такими поняттями, як кут між прямими, між прямою і площиною, а вже на наступному спробуємо визначити кут між площиною.

Засвоєння нового матеріалу.

При введенні кута між прямими чітко відокремлюємо три випадки:

 прямі а і b перетинаються. За аксіомою С3 прямі а і b визначають площину α. Дві прямі площини, що перетинаються, утворюють суміжні і вертикальні кути. Пригадуємо що це за кути і вводимо означення кута між прямими, що перетинаються. Кутова міра меншого з кутів називається кутом між прямими. Якщо прямі перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90º.

Прямі а і b паралельні. За означенням паралельних прямих у просторі, вони теж лежать в одній площині α. Вважають, що кут між паралельними прямими дорівнює нулю.

 Прямі а і b мимобіжні. Ставиться запитання, як учні уявляють собі кут між мимобіжними прямими і демонструють це на моделі. Вводимо означення кута між мимобіжними прямими. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні да ним мимобіжним прямим. Доводимо, що цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються. Пропоную учням на моделі каркасного паралелепіпеда показати мимобіжні прямі і кут між ними. Розглянемо поняття кута між прямою і площиною. Пропоную учням показати на моделі кут, який є на їхню думку кутом між прямою і площиною, які перетинаються.

Скільки прямих можна провести через точку А у площині α? – безліч

Чи однакові кути, утворені цими прямими з прямою а? – ні

Пропоную учням провести через точки прямої а перпендикуляри до площини . Основи цих перпендикулярів лежатимуть на прямій МВ. Бо вже один такий перпендикуляр і пряма а визначають площину β, яка перетинається з площиною α по прямій МВ. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину. Зауважимо, що кут між паралельними прямою і площиною дорівнює нулю, а між перпендикулярними - 90º. Кут між прямою і площиною, як і кут між двома прямими не геометрична фігура, а величина, кутова міра.

ІV. Практичне закріплення нового матеріалу.

  Розв’язування усних вправ за готовими малюнками.

-  АВ – похила, ВС – перпендикуляр до площини α.

-  Вказати кут між прямою АВ і площиною α.

-  Площина α проходить через сторону АД ΔАВД. Вказати кути нахилу сторін АВ і ВД до площини α.

  Колективне розв’язування задачі.

Точка А віддалена від площини на відстань h. Знайдіть довжини похилих, проведених з цієї точки під такими кутами до площини: 1) 30º; 2) 45º; 3) 60º.

V. Підведення підсумків уроку.

 На уроці засвоїли поняття кута між двома прямими, між прямою і площиною, навчилися знаходити ці кути на моделях і малюнках.

VI. Домашнє завдання.

§5, п 33, стор 177-184

Вправа 34.5, 34.8.