Тема уроку. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів.
Мета уроку: формування понять кута між векторами, скалярного добутку векторів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.
Обладнання: схема "Вектори в просторі»
1. Фронтальна бесіда з класом за контрольними запитаннями № 18— 20 з використанням схеми «Вектори в просторі» (див. с. 233).
2. Відповіді на запитання, які виникли в учнів при розв'язуванні задач № 51-53.
3. Математичний диктант.
Дано вектори:
Варіант 1 — (3; 0; 4);
(7; 0; 2); Варіант 2 —
(2; -2; 0);
(3; 0; -3).
Запишіть:
1) координати вектора , якщо
=
+
, (2 бали)
2) координати вектора , якщо
= 2
-
; (2 бали)
3) довжину вектора +
; (2 бали)
4) координати вектора , якщо відомо, що довжина вектора
втричі більша довжини вектора
; (2 бали)
5) при якому значенні k вектор (k; 0; 6) колінеарний вектору
; (2 бали)
6) чи компланарні вектори ,
та
(0; 0; 1)? (2 бали)
Відповідь. Варіант 1. 1) (10; 0; 6). 2)
(-1; 0; 6). 3) 2
.
4) (-9; 0; -12),
(9; 0; 12). 5) k = 21. 6) Так.
Варіант 2. 1) (5; -2; -3). 2)
(1; -4; 3). 3)
.
4) (6; -6; 0),
(-6; 6; 0). 5) k = - 6. 6) Hi.
Скалярним добутком векторів (аx; аy; аz) ∙
(bx; by; bz) називається число (скаляр)
·
= аx · bx + аy · by + аz · bz.
1. Знайдіть ·
, якщо
(-2; 3; 1),
(-4; -5; 2).
2. Дано вектори (2; -1; 4),
(5; 3; n). При якому значенні п скалярний добуток векторів дорівнює -3?
Із означення скалярного добутку двох векторів і
випливають його властивості.
1) ·
=
·
.
2) ( +
) ·
=
·
+
·
.
3) Скалярний добуток векторів і
дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними:
·
=
·
cos φ (рис. 297).
Від точки О відкладемо вектор OВ =
(рис. 298) і ОА =
. Виберемо декартову систему координат так, щоб точка О була початком координат, пряма ОА збіглася з віссю у, вісь z була б перпендикулярна до прямої ОА і знаходилася в площині ОАВ, вісь х перпендикулярна до площини уz. Визначимо координати векторів
і
:
А(0; || ; 0); B(0; |
| cos φ; |
| sin φ);
(0; |
|; 0);
(0; |
| cos φ; |
| sin φ).
Знайдемо скалярний добуток:
·
= 0 · 0 + |
| · |
| cos φ + 0 · |
| sin φ = |
| · |
| cos φ.
Наслідки із властивості 3:
1)
2) Два відмінні від нуля вектори і
перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Дійсно, якщо ·
= 0, то
·
· cos φ = 0 , cos φ = 0, φ =
, і навпаки, якщо φ = 0 , то
·
=
·
· cos φ =
·
· 0 = 0.
III. Домашнє завдання
§ 4, п. 35, 36; контрольні запитання № 18—20; задачі № 55 (1; 4), 56 (с. 58).
IV. Підведення підсумку уроку
1) Що називається скалярним добутком векторів (аx; аy; аz) і
(bx; by; bz)?
2) Сформулюйте властивості скалярного добутку векторів.
3) Яка умова ортогональності двох ненульових векторів?
4) У просторі дано вектори (1; 1; -1),
(0; -1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:
а) = 1;
б) вектори і
перпендикулярні;
в) вектори +
і
не перпендикулярні;
г) ·(
+
) = 1;
д) вектори і
+
утворюють кут, косинус якого дорівнює
.